中考复习 旋转 压轴题 练习.docx
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中考复习旋转压轴题练习
旋转压轴题
一、解答题(每小题5分,共23题,共125分)
1、
(1)发现:
如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:
当点A位于_________时,线段AC的长取得最大值,且最大值为_________(用含a,b的式子表示)
(2)应用:
点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值.
(3)拓展:
如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
2、如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α=0°时,
;②当α=180°时,
.
(2)拓展探究
试判断:
当0°≤α<360°时,
的大小有无变化?
请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
3、
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为____;
②线段AD,BE之间的数量关系为____.
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=
,若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.
4、在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合),以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想:
如图
(1),当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系是:
________;
②BC、CD、CF之间的数量关系为:
________(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考:
如图
(2),当点D在线段CB的延长线上时,上述①、②中的结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明,若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
5、探索与计算:
在△ABC中,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,连接DE.
(1)如图1,若∠A=45°,AB=AC,BC=4,求DE的长.
(2)如图2,若∠A=60°,AB与AC不相等,BC=4,求DE的长.
猜想与证明:
(3)根据
(1)
(2)所求出的结果,猜想DE、BC以及∠A之间的数量关系,并证明.
拓展与应用:
(4)如图3,在△ABC中,AB=BC=5,
,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,AF⊥BC于点F,求△DEF的周长.
6、
(1)问题发现:
如图1,在等边三角形ABC中,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为________;
(2)深入探究:
如图2,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角形AMN,使∠ABC=∠AMN,AM=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由;
(3)拓展延伸:
如图3,在正方形ADBC中,AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中点,连接CN,若BC=10,
,试求EF的长.
7、已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是过点A的直线,过点D作DB⊥MN于点B,连接CB.
(1)问题发现
如图
(1),过点C作CE⊥CB,与MN交于点E,则易发现BD和EA之间的数量关系为________,BD、AB、CB之间的数量关系为________.
(2)拓展探究
当MN绕点A旋转到如图
(2)位置时,BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并给予证明.
(3)解决问题
当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C、D在直线MN两侧),若此时∠BCD=30°,BD=2时,CB=________.
8、
(1)【问题发现】
如图1,在Rt△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,点D为BC的中点,以CD为一边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合,则线段BE与AF的数量关系为__________
(2)【拓展研究】
在
(1)的条件下,如果正方形CDEF绕点C旋转,连接BE,CE,AF,线段BE与AF的数量关系有无变化?
请仅就图2的情形给出证明;
(3)【问题发现】
当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候,直接写出线段AF的长.
9、如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)何时△PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.
10、操作:
如图,边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC上,将△ABP沿AP向右翻折,得到△AEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.
探究:
(1)如图①,当点P在线段BC上时,①若∠BAP=30°,求∠AFE的度数;
②若点E恰为线段DF的中点时,请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置?
并求出此时∠AFD的度数.
归纳:
(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数是否会发生变化?
试证明你的结论.
猜想:
(3)如图②,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数是否会发生变化?
试在图中画出图形,并直接写出结论.
11、如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF.连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC.
(1)请判断:
FG与CE的数量关系是,位置关系是;
(2)如图2,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其它条件不变,
(1)中结论是否仍然成立?
请做出判断并给予证明;
(3)如图3,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其它条件不变,
(1)中结论是否仍然成立?
请直接写出你的判断.
12、在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,动点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=
∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1)当点P与点C重合时(如图①),求证:
△BOG≌△POE;
(2)通过观察、测量、猜想:
=,并结合图②证明你的猜想;
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图③),若∠ACB=α,求
的值.(用含α的式子表示)
13、问题:
如图1,DE∥GB,DE=GB,BD与EG相交于点F,证明:
△DEF≌△BGF.
拓展一:
如图2,在△ACB和△AED中,点E在AC上,AC=BC,AE=DE,∠DEA=∠BCA=90°,连接BD,取BD中点F,连接FE、FC,请你探究CF和EF之间的位置关系和数量关系.
拓展二:
如图3,四边形ABCD∽四边形BEFG,点E在AB的延长线上,P是线段DF的中点,连接CP、PG,若CP⊥PG,则四边形ABCD应满足的条件是;若CP⊥PG、且PC=
PG,则四边形ABCD应满足的条件是.
14、如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,D为AB的中点,∠EDF=90°,DE交AC于点G,DF经过点C.
(1)求∠ADE的度数;
(2)如图2,将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1,∠E2DF2,DE1交直线AC于点P,DF1交直线BC于点Q,DE2交直线AC于点M,DF2交直线BC于点N,求
的值;
(3)若图1中∠B=β(60°<β<90°),
(2)中的其余条件不变,判断
的值是否为定值?
如果是,请直接写出这个值(用含β的式子表示);如果不是,请说明理由.
15、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P,像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c.
特例探索
(1)如图1,当∠ABE=45°,c=2
时,a= ,b= .
如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a= ,b= .
归纳证明
(2)请你观察
(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.
拓展应用
(3)如图4,在▱ABCD中,点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2
,AB=3,求AF的长.
16、如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E,分别取BC,DE的中点M,N,连接MN.
(1)发现:
在图1中,
= ;
(2)应用:
如图2,将△ADE绕点A旋转,请求出
的值;
(3)拓展:
如图3,△ABC和△ADE是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,M,N分别是底边BC,DE的中点,若BD⊥CE,请直接写出
的值.
17、已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连接DF、CF.
(1)如图1,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2,在
(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时
(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3,在
(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC=
,求此时线段CF的长(直接写出结果).
18、已知,△ABC为等边三角形,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合).以AD为边作菱形ADEF,使∠DAF=60°,连接CF.
初步感知:
(1)如图1,当点D在边BC上时,①求证:
∠ADB=∠AFC;②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立;
问题探究:
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上时,其他条件不变,结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立?
请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系,并写出证明过程;
类比分析:
(3)如图3,当点D在边CB的延长线上时,且点A、F分别在直线BC的异侧,其他条件不变,请补全图形,并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系.
19、
(1)操作发现:
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D在线段BC上(不与点B重合),连接AD,将线段AD绕A点逆时针旋转90°得到AE,连接EC,如图①所示,请直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系.
(2)猜想论证:
在
(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,请你在图②中画出图形并判断
(1)中的结论是否成立,并证明你的判断.
(3)拓展延伸:
如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:
当锐角∠ACB等于 度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C、E重合除外)?
此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=3
时,请直接写出线段CF的长的最大值是 .
20、已知,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合),以AD为边在AD的上边作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想:
如图1,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为:
;②BC、CD、CF之间的数量关系为:
.
(2)数学思考:
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,以上①②关系是否成立,请在后面的横线上写出正确的结论.①BC与CF的位置关系为:
;②BC、CD、CF之间的数量关系为:
.
(3)如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GD,若已知AB=2
,CD=
BC,请求出DG的长(写出求解过程).
21、如图所示,平行四边形ABCD中,∠B=60°,将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F(不包括线段的端点).
(1)问题发现:
如图1,若平行四边形ABCD为菱形,
试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系 ,请证明你的猜想.
(2)类比探究:
如图2,若AB:
AD=1:
2,过点C作CH⊥AD于点H,求AE:
FH的比值;
(3)拓展延伸:
如图3,若AB:
AD=1:
4,请直接写出(AE+4AF):
AC的比值为 .
22、如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,点D、E分别在边AC、AB上,AD=DE=
AB,连接DE.将△ADE绕点A逆时针方向旋转,记旋转角为θ.
(1)问题发现
①当θ=0°时,
= ;
②当θ=180°时,
= .
(2)拓展探究
试判断:
当0°≤θ<360°时,
的大小有无变化?
请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决
①在旋转过程中,BE的最大值为 ;
②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时,线段CD的长为 .
23、如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是__________,位置关系是__________;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
二、填空题(每小题5分,共2题,共10分)
24、如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是____;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是____.
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
25、类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:
如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若
=3,求
的值.
(1)尝试探究
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是____,CG和EH的数量关系是____,
的值是
.
(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,若
=m(m>0),则
的值是
(用含有m的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移
如图3,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上的一点,AE和BD相交于点F.若
=a,
=b,(a>0,b>0)
,则
的值是____(用含a、b的代数式表示).