居民区垃圾桶布局的一种优化方案设计以浦东新区证大家园为例.doc
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高中组
2人项目
数学类
居民区垃圾桶布局的一种优化方案设计
——以浦东新区证大家园为例
居民区垃圾桶布局的一种优化方案设计
——以浦东新区证大家园为例
摘要：
基于对实际情况的考察、分析，本文以上海市浦东证大家园一、二期为样本，设计了一套垃圾桶布局的优化方案，从三个方面建立了数学模型：
（1）通过满足需求的垃圾桶最小数量确定经济成本的有效率；
（2）以居民到垃圾投放地点距离不超过半分钟路程确定满意度；（3）以垃圾桶放置地点到小区主干道距离的远近确定垃圾的清运效率。
并借助层次分析法对三个方面加权，得出小区垃圾桶布局的合理度指标。
最后我们借助数学软件MATLAB进行了计算和检验，并将方案效果与实际情况进行了比较，指出了问题所在。
关键词：
垃圾桶布局；有效率；满意度；清运效率；层次分析；
一、研究背景
一直以来，环境卫生情况极大地影响着居民生活的质量。
一些居民区卫生环境较差，如垃圾随意丢放、垃圾桶垃圾溢出、垃圾桶的投放效率低下等等，这些和垃圾桶布局的不合理有直接关系。
不考虑垃圾投放者素质等人为因素，造成这种现象的主要原因在于：
或者垃圾桶太少导致无法满足需求；或者垃圾桶放置地点不合理，使用率低下，造成了资源的浪费。
垃圾桶的合理布局不仅会节约经济成本、方便清运，更主要的是会更好地改善区域卫生环境，提高区域居民生活质量。
目前，城市垃圾桶分布的位置和数量通常是工作人员凭经验确定的，其合理性有待于进一步提高。
因此，为满足居民需求，尽量减少浪费、方便清运，设计合理、可行、易操作的垃圾桶布局方案，供相关部门参考、采纳是有必要的。
二、问题分析与模型准备
考虑到社区的新旧以及规模大小，我们选择了上海浦东新区证大家园一期、二期为样本。
该小区共有35个垃圾放置处，每个垃圾放置处平均配放3个垃圾桶，其分布有疏有密，垃圾装不满或溢出的情况时有发生。
该社区的垃圾放置处的实际位置（图中☆处）如下图1所示：
图1.社区样本实际垃圾放置处的位置
我们先对小区进行分区，确立小区每个分区的垃圾放置处的位置，接着按照每个垃圾放置处覆盖的居民户数多少来确定每个垃圾放置处的应配备的垃圾桶数目，最后从垃圾桶数量有效率、居民满意度以及清运效率三个方面加权检验该方案的合理程度。
本文的技术路线图：
方案设计
居民楼分区
垃圾放置处位置确定
垃圾放置处垃圾桶数量确定
方案检验
有效率
满意度
清运效率
权重值计算
与实际情况的对比
三、符号说明与模型假设
（1）符号说明
第个区域，
每一个垃圾放置处的服务半径
每一个垃圾放置处服务范围内的居民户数
每户人家平均每日产生的垃圾
每个垃圾桶的容积
区域中第个单元门位置坐标
区域中第处垃圾桶放置位置坐标
第个区域中第个单元门到第垃圾放置处的距离，，，其余有（见表一）
第个区域内的单元门总数
第个区域内第个单元门内的住户数
第个区域内第个垃圾桶放置处垃圾桶的数量
（2）模型假设
假设1假设每户人家每天产生的垃圾量相同，扔垃圾时扔到距离单元门口最近的垃圾桶放置处；
假设2假设居民区内总户数不变，居民区每一户都有人住，不考虑人口迁入迁出；
假设3每个垃圾桶容积、功能都相同，不考虑垃圾分类；
假设4假设垃圾均为生活垃圾（即不考虑建筑垃圾），由于垃圾的体积不规则，垃圾桶实际可以容纳的垃圾体积占垃圾桶容积的80%[1]，即垃圾桶的填充系数为0.8；
假设5垃圾放置处的服务范围只需覆盖居民楼单元门口即可；不考虑居民下楼时间路程的差异；
假设6垃圾每天清理一次；
四、模型的建立和解答
4.1对社区居民楼分区
首先选定样本，通过卫星地图软件获得了样本居民区的平面图。
根据该小区居民楼分布特点，可大致将小区划分成18个区域，将其编号为，如图2所示，其中紫色圈出部分为居民区；蓝色圆点标记处为居民楼的单元门口位置，左下角蓝色阿拉伯数字标记处为小区别墅区（不作考虑）。
图2.社区平面图以及分区情况
4.2垃圾放置处位置的确定
通常情况下，人们专程出门扔垃圾时，从单元门口走到垃圾桶的时间在半分钟及以内较多，最多不超过一分钟。
根据数据调查，成年人的平均步速为1.2m/s，即72m/min。
为了保证绝大多数居民扔垃圾的便利，优先考虑m，即半分钟走到垃圾放置处的情况。
则有每一个垃圾放置处的服务半径m（即为居民扔垃圾时可接受的步行时间，为0.5分钟），每一个垃圾放置处的服务范围为，m²。
根据社区的美观需求，并且考虑到居民的便利，首先将一个区域内相隔最远的两个单元门用线段相连。
若该线段的长度大于36m，则将其中一点固定，把该点与另一单元门相连接，使其线段长度最长且小于或等于36m。
在此之后，以此线段的中点为圆心，18m为半径画圆。
则我们可以知道，在该圆内的任意一点到园内另一点的直线距离都小于或等于36m。
在这个圆内，考虑到保洁人员清运垃圾箱的便利，选择尽量靠近主干道位置确定垃圾桶的放置位置。
在此之后，以该垃圾放置处为圆心，36m为半径画圆进行服务范围的覆盖。
在该区域余下未被覆盖的区域，采用相同的方法设立另一个垃圾放置处。
下图3可以表示该过程：
图3.垃圾放置处位置的确立-流程
通过这种方法，我们确定了各个区域垃圾投放处的位置，如下图4所示（其中绿色五角星表示的位置为垃圾放置处的位置）：
图4.垃圾放置处的位置设计示意图
4.3各个垃圾放置处垃圾桶数量的确定
因为每一个垃圾放置处只需要满足其覆盖范围内所有居民的需求即可，在此我们通过统计每一个垃圾放置处覆盖的居民户数来计算每一个垃圾放置处每日需要承载的垃圾总量，而每一处垃圾放置处所需要的垃圾桶个数可以直观地由关系式得到。
当出现了相邻两个区域的垃圾放置处的直线距离明显小于时，以区域和为例，如下图5所示：
图5.区域和中相距过近的两个垃圾放置处
此时我们通过统计两个垃圾放置处共同覆盖的居民户数，以相同的方法计算出这两处垃圾放置处需要的垃圾桶总数，并根据实际情况合理分配在这两处即可。
通过这样的计算就可以避免垃圾桶数目超出需求而引起的资源浪费，以达到垃圾桶的充分利用。
经过统计，区域至以及的居民楼规格均为每栋6层，每层2户，而区域，区域至的居民楼规格均为每栋5层，每层2户。
区域和区域的居民楼的规格为每栋11层，每层4户。
根据国家检测数据以及相关研究得出的数据[2]，生活垃圾的平均密度约为488.85kg/m³，即0.48885kg/L[3]，而参考相关新闻报道[4]，估计上海市人均每日垃圾产生量约为1.5kg/人。
考虑到城市中平均每户人家有四口人，即计算每户人家每日产生1.5*4=6kg垃圾。
根据密度公式可以计算得出每户人家每日产生垃圾的体积为12.27L。
在计算时，常见的社区垃圾桶规格为240L，这也是样本小区采用的垃圾桶规格。
给每一个区域的每一个垃圾放置处编号为根据公式（0.8为垃圾桶的填充系数），我们可以计算得到每一个垃圾放置处需要的垃圾桶的数量，考虑到填充系数以及实际情况，对于计算得到的小数采用2舍8入的方式处理。
数据如下表1所示（其中整数为实际需要的垃圾桶个数，括号内为计算得到的实际数值）：
表1.各个垃圾放置处需要的垃圾桶个数
垃圾桶放置处编号
垃圾桶个数
垃圾放桶置处编号
垃圾桶个数
3（3.07）
2（1.28）
3（2.3）
3（3.07）
4（3.84）
3（2.56）
4（3.84）
5（4.22）
3（3.07）
5（4.22）
4（3.84）
6（5.63）
3（3.07）
6（5.63）
3（3.07）
3（2.56）
3（3.07）
3（3.2）
4（3.71）
4（3.84）
4（3.84）
2（1.92）
4（3.84）
2（1.92）
3（3.07）
4（3.84）
2（1.54）
3（3.2）
3（3.07）
3（2.56）
3（2.56）
2（1.28）
4.4建立方案的合理度模型
对于垃圾桶放置的合理与否，我们主要综合分析考察了三个主要方面：
通过满足需求的垃圾桶最小数量确定经济成本的有效率；以居民到垃圾投放地点距离不超过半分钟路程确定满意度；以垃圾桶放置地点到小区主干道距离的远近确定垃圾的清运效率。
为了便于计算，我们以图中心的某一点为原点建立平面直角坐标系，通过比例尺换算得到每一个点的坐标。
最后计算总的合理度，我们决定采用层次分析法AHP（AnalyticHierarchyProcess）[5][6][7]来评定比较我们设计的方案与社区原有方案。
4.4.1建立层次结构模型，构造判断矩阵
目标层垃圾桶布局优化方案
准则层居民满意度有效率清运效率
方案层设计方案A实际方案B
2014年8月-9月期间，我们随机对样本小区居民（18人次）和物业管理人员、保洁人员（11人次）进行询问调查，综合分析得到下表2
表2.垃圾桶布局方案准则层对目标层的两两比较
居民满意度
有效率
清运效率
居民满意度
1
3
5
有效率
1/3
1
2
清运效率
1/5
1/2
1
故比较判断矩阵为
用MATLAB软件求解得
A的最大特征根为
对应特征向量为
将特征向量P归一化处理后得准则层对目标层的对应权重：
同样，得方案层对每一个准则层的比较判断矩阵为：
；；，则有
；
归一化后得对应权重：
；
计算得我们设计的方案组合权重：
样本小区实际方案组合权重为：
我们得到
4.4.2居民满意度的计算方法
通常，小区居民到垃圾投放点的平均距离越小总满意度越高，分别计算以下数据：
小区的住户总数为
第个区域中第个单元门到个垃圾放置处的最小距离为
最小距离总和为
距离平均值为
经过计算，方案中每户居民到与之最近的垃圾放置处的距离平均值为24.08m，标准差为9.43m。
根据实际情况，居民到与之最近的垃圾放置处的平均距离为24.36m，标准差为11.60m。
则由此可见在设计方案中，垃圾放置处的分布更加均匀，位置更加合理。
4.4.3垃圾桶有效率的计算方法
满足居民垃圾投放的垃圾桶数目越少，成本越少，越有经济效率；根据实际情况，在满足垃圾投放需求前提下，适当降低居民满意度，减少垃圾桶数量，可提高有效率及清运效率。
根据实际情况，在满足垃圾桶需求前提条件下，我们优先考虑居民满意度，若半分钟以内路程走到垃圾投放处为基本满意。
此时根据上文的表1中计算所得的数据，对小数进行2舍8入处理，得到全部居民满意的方案需要的垃圾桶数目为个，样本小区实际垃圾桶数目为个。
此时将表格1内需要2个垃圾桶的垃圾放置处取消，使原垃圾放置处所服务的居民在就近的垃圾放置处投放垃圾。
将两个相邻的需要2个垃圾桶的垃圾放置处合并，在不影响垃圾桶需求情况下，得到更有效的垃圾桶数量个。
则设计方案有效率为。
样本社区方案有效率为
数据表明：
样本社区时有垃圾溢出现象发生，正是因为垃圾桶数目少，虽然有效率较高，但不能满足居民垃圾投放的基本需求，因此有必要改进。
4.4.4垃圾清运效率的计算方法
清运效率则是从物业管理以及保洁人员清理的角度出发，衡量垃圾桶放置位置的合理性。
越是靠近主干道的垃圾桶放置处越是便于清理，从而节省劳动力达到了提高保洁人员工作效率而节约成本的效果。
计算时通过两个方面来衡量该标准，一是通过计算在主干道上的垃圾放置处的数量的比例，该比例越大则清运效率越高；二是通过计算不在主干道上的垃圾放置处到主干道的距离之和，其数值越小则清运效率越高。
经过计算，我们设计的方案中，在主干道上的垃圾放置处的比例为53.125%，不在主干道上的垃圾放置处到主干道的距离之和为368.5m，而对照小区现有的实际情况：
在主干道上的垃圾放置处的比例为48.57%，不在主干道上的垃圾放置处到主干道的距离之和为492.5m。
从这两方面比较，我们设计的方案优于样本小区方案。
4.4.5建立合理度综合评价标准模型
记方案合理度为；居民满意度为；有效率为；清运效率为
建立方案的综合合理度模型如下：
其中为权重，且
，
最后得设计方案A的合理度综合评分为，
样本小区实际方案B的合理度综合评分为
则有
由此可见，设计方案A相较实际方案B更为合理。
4.4.6计算与检验
我们在2014年11月9日晚上22:
30时随机抽查了十处垃圾放置处的填充情况（每处垃圾放置处有三个垃圾桶）。
经过测量、估算，得到每个垃圾放置处的平均垃圾量为0.96*240L=230.4L。
计算该样本95%的置信区间为
此时统计小区所有住户数量为1590户，计算检验得估算值“每户人家每日产生12.27L垃圾”的均值为
可以得到：
经过资料查找、计算得到的数据较为合理。
结合4.4.5中计算的设计方案及实际方案的合理度综合评分，可见设计方案优于实际情况，值得应用、推广。
五、模型的创新点、评价与改进
本课题的创新点在于：
在满足居民垃圾投放需求100%满足的前提下，
（1）优先考虑居民满意度，以半分钟路程为直径画圆覆盖小区居民楼单元门位置，以尽量靠近主干道、靠近楼两侧等为顺序，在该圆内先确定垃圾桶放置的位置；
（2）以确定的垃圾桶安放位置为圆心，半分钟路程为半径画圆，计算该圆内覆盖人家数，计算该区域垃圾桶需求数量，考虑了重复覆盖的情况，进而确定该放置点满足需求的垃圾桶最小数量；（3）抽样检验了小区10处垃圾桶的平均填充率，以95%的置信度验证了优化方案中采用的平均每户居民每天垃圾投放量的合理性。
在研究的过程中，我们没有考虑居民行为习惯对垃圾桶合理布局的影响。
考虑到通常，居民习惯在上班或外出时顺便投放垃圾，多会选择顺路或外出主干道方向的垃圾桶，而不一定是扔在离单元门最近却与之反向的垃圾桶处。
所以，在后期改进模型时应将此因素纳入考虑范围，使方案更加合理。
在垃圾分类问题上，由于现阶段许多市民对于垃圾分类的概念并不清晰，并且样本社区的居民也未能配合社区的初步垃圾分类管理，我们经过资料查找，发现许多大城市如北京、上海早已开始尝试垃圾分类，而效果却并不明显，故本课题没有将其纳入考虑范围。
当条件成熟，社区需要垃圾分类时，可以采用相同的思路调整本课题中提出的方案（以分“厨余垃圾”、“干垃圾”以及“可回收纸张”三类为例）：
通过调查居民平均每日产生的厨余垃圾、干垃圾和可回收纸张的大致比例，以相同的方式计算每个垃圾放置处需要的各分类垃圾桶的数量进行重新分布，并相应调整个别垃圾放置处的位置。
最后，可以从理论角度出发，确定垃圾放置处的位置和数量，将这个问题理论化进行进一步的探索和研究。
希望能够从理论角度来指导方案的设计，使其更为科学。
六、参考文献
[1]隋玉梅，李振山，曲晓燕，杨蕾.北京市生活垃圾分类小区垃圾桶配置的模拟计算.北京大学学报（自然科学版）,网络版（预印本），2009,3:
80
[2]戴捷，陈丽雯，白建生等.荆州市城区生活垃圾性质调查与分析.环境卫生工程，2013.2（第21卷第1期）:
24-25
[3]百度知道
[4]杭州市民每人每天垃圾产生量1.3千克市区人均生活垃圾日产量仍保持增长
[5]万德龙，校园内服务设施选址问题的研究与评价建模[学位论文]，2011:
23-34
[6]杨桂元，李天胜，数学建模入门——125个有趣的经济管理问题，中国科学技术大学出版社，2013年6月第1版：
140-143
[7]刘振航，数学建模，中国人民大学出版社，2004年5月第1版：
105-117
附录一
图纸及坐标
（地图见附件）
附录二
样本小区随机抽查的10处垃圾桶放置处平均每个垃圾桶的垃圾填充量
垃圾桶编号
A
B
C
D
E
垃圾填充情况
0.7
0.85
1.1
1.2
0.8
垃圾桶编号
F
G
H
I
J
垃圾填充情况
0.9
0.95
1.0
1.1
1.0
附录三
各个垃圾放置处的坐标以及居民楼单元门的坐标
见附件：
《坐标及计算.xlsx》
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