金山区学年度第一学期高三数学期末考试试题及答案上海版.docx

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金山区学年度第一学期高三数学期末考试试题及答案上海版

金山区2005学年度第一学期高三数学期末考试试题

（满分：

150分，完卷时间：

120分钟）

题号

1～12

13~16

17

18

19

20

21

22

总分

得分

签名

一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）

1、已知集合A={x|y=lg（x–3）}，B={x|y=

}，则A∩B=。

2、定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）的值为。

3、设函数f（x）=lgx，则它的反函数f–1（x）=。

4、函数y=sinxcosx的最小正周期T=。

5、若复数z1＝3–i，z2＝7+2i，（i为虚数单位），则|z2–z1|＝。

6、ΔABC中，若∠B=30o，AB=2

，AC=

，则BC=。

7、无穷等比数列{an}满足：

a1=2，并且

（a1+a2+…+an）=

，则公比q=。

8、关于x的方程2x=

只有正实数的解，则a的取值范围是。

9、如果直线y=x+a与圆x2+y2=1有公共点，则实数

的取值范围是。

10、袋中有相同的小球15只，其中9只涂白色，其余6个涂红色，从袋内任取2只球，

则取出的2球恰好是一白一红的概率是。

11、F1、F2是双曲线

的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于。

12、对于集合N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：

按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。

例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。

当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+（2–1）=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=。

（不必给出证明）

二．选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）

13．已知数列{an}的通项公式是an=2n–49（nN），那么数列{an}的前n项和Sn达到最小值时的n的值是（）

（A）23（B）24（C）25（D）26

14．在直角坐标平面中，若F1、F2为定点，P为动点，a>0为常数，则“|PF1|+|PF2|=2a”是“点P的轨迹是以F1、F2为焦点，以2a为长轴的椭圆”的（）

（A）充要条件（B）仅必要条件（C）仅充分条件（D）非充分且非必要条件

15．设x=sin，且

，则arccosx的取值范围是（）

（A）[0,]（B）[

]（C）[0,

]（D）[

]

16．设非零实常数a、b、c满足a、b同号，b、c异号，则关于x的方程a.4x+b.2x+c=0（）

（A）无实根（B）有两个共轭的虚根（C）有两个异号的实根（D）仅有一个实根

三、解答题（本大题共6题，共86分，解答下列各题必须写出必要步骤）

17．（本题满分12分）

过定点A（–1,1）是否存在直线l，使得点A恰为直线l与椭圆x2+3y2=9相交所得的线段的中点,若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

18．（本题满分12分）

在复数范围内解方程

（i为虚数单位）

19．（本题满分14分）

已知不等式x2–3x+t<0的解集为{x|1

（1）求t,m的值；

（2）若f（x）=–x2+ax+4在（–∞,1）上递增，求不等式loga（–mx2+3x+2–t）<0的解集。

20．（本题满分14分）

某企业准备在2006年对员工增加奖金200元，其中有120元是基本奖金。

预计在今后的若干年内，该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长8%。

另外，每年新增加的奖金中，基本奖金均比上一年增加30元。

那么，到哪一年底，

（1）该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计（以2006年为累计的第一年）将首次不少于750元?

（2）当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%?

21．（本题满分16分）

已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S12，S22、……、Sn2 ……，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90。

（1）求an、bn；

（2）从数列{

}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于

。

若能的话，请写出这个数列的第一项和公比?

若不能的话，请说明理由。

22．（本题满分18分）

函数f（x）=

（a，b是非零实常数），满足f

（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个解。

（1）求a、b的值；

（2）是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m–x）=4恒成立？

为什么？

（3）在直角坐标系中，求定点A（–3,1）到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

金山区2005学年度第一学期高三数学期末考试试题

评分标准

一、填空题

1、{x|3

8、

9、–

≤a≤

10、

11、1712、n.2n–1

二、选择题

13、B14、B15、C16、D

17、设过A点的直线交椭圆于B、C两点，B（x1,y1）、C（x2,y2）

则有x12+3y12=9，x22+3y22=9，…………………………………………………………3分

两式相减得：

（x1+x2）（x1–x2）+3（y1+y2）（y1–y2）=0…………………………………………6分

因为A点是线段BC的中点，所以x1+x2=–2，y1+y2=2………………………………8分

代入得：

kBC=

=

……………………………………………………………10分

所以l的方程为y=

（x+1）+1……………………………………………………………11分

检验知：

x–3y+4=0为所求的方程。

……………………………………………………12分

18、原方程化简为

………………………………………………3分

（只要写出右边1–i就得3分）

设z=x+yi（x、y∈R）,代入上述方程得x2+y2+2xi=1–i,………………………………5分

（只要写出左边就得2分）

所以x2+y2=1且2x=–1，……………………………………………………………8分

（写对一个得2分）

解得x=–

…………………………………………………………………………9分

y=±

…………………………………………………………………………11分

所以原方程的解是z=–

±

i。

…………………………………………………12分

19、

（1）由条件得：

，………………………………………………………3分

所以

………………………………………………………………………………6分

（2）因为f（x）=–（x–

）2+4+

在（–∞,1）上递增，

所以

≥1，a≥2………………………………………………………………………8分

loga（–mx2+3x+2–t）=loga（–2x2+3x）<0=loga1

所以

，………………………………………………………………10分

所以

……………………………………………………………………12分

所以0

或1

…………………………………………………………………14分

20、

（1）设基本奖金形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，（或a1=120,，d=30，或an=120+30（n–1））…………………………………………………………………………1分

Sn=a1n+

n（n–1）d……………………………………………………………………2分

则Sn=120n+15n（n–1）=15n2+105n=15（n2+7n）……………………………………………4分

注意：

若直接写出Sn的整理式子（上面三个之一）4分全给

令15n2+105n≥750，即n2+7n–50≥0，而n是正整数,∴n≥5。

…………………5分

（不区分≥、>、=，这一结果只影响最终结果）

到2010年底该企业历年所增加的工资中基本工资累计将首次不少于750元。

6分

（2）设新增加的奖金形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，（或b1=200，q=1.08，或bn=bn–1q）………………………………………………………………………………7分

则bn=200·（1.08）n–1……………………………………………………………………9分

（在第2小题任意处出现上式，均给3分，即使b1=200，q=1.08，和bn=bn–1q同时出现，而没有代入，也给3分）

由题意可知an>0.85bn，有120+30（n–1）>200·（1.08）n–1·0.85。

…………………11分

（不区分≥、>、=，这一结果只影响最终结果）

由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=5，………………………………13分

到2010年底，当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%……14分

注意：

如果直接列表计算也可，但表格必须完整，不能用……代替，否则第1小题只给2分，第2小题只给3分，对于表格中的数据，只要完整，不去验证具体数据。

21、

（1）{Sn}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+（n–1）=n+2

因为an>0，所以Sn=

（nN）………………………………………………………2分

当n≥2时，an=Sn–Sn–1=

–

又a1=S1=

，所以an=

（nN）……………………………4分

设{bn}的首项为b1，公比为q，则有

………………………………6分

所以

，所以bn=3n（nN）…………………………………………………………8分

（2）

=（

）n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，首项为c1=（

）p，公比为（

）k，（p、kN），它的各项和等于

=

，……………………………………………………10分

则有

，所以（

）p=

[1–（

）k]，…………………………………………12分

当p≥k时3p–3p–k=8，即3p–k（3k–1）=8，因为p、kN，所以只有p–k=0，k=2时，

即p=k=2时，数列{cn}的各项和为

。

……………………………………………14分

当pp右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、kN，

所以唯一存在等比数列{cn}，首项为

，公比为

，使它的各项和等于

。

……16分

22、

（1）由f

（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程

=x的解，

所以

=1无解或有解为0，………………………………………………………3分

若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，

若有解为0，则b=1，所以a=

。

……………………………………………………6分

（2）f（x）=

，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m–x）=4恒成立，

取x=0，则f（0）+f（m–0）=4，即

=4，m=–4（必要性）……………………………8分

又m=–4时，f（x）+f（–4–x）=

=……=4成立（充分性）……………10分

所以存在常数m=–4，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m–x）=4恒成立，…………11分

（3）|AP|2=（x+3）2+（

）2，设x+2=t，t≠0，…………………………………………13分

则|AP|2=（t+1）2+（

）2=t2+2t+2–

+

=（t2+

）+2（t–

）+2=（t–

）2+2（t–

）+10

=（t–

+1）2+9，…………………………………………………………………16分

所以当t–

+1=0时即t=

，也就是x=

时，

|AP|min=3………………………………………………………………………18分