22对数函数.docx

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22对数函数

2.2对数函数

2.2.1对数与对数运算

第一课时对数的概念

三维目标定向

〖知识与技能〗

理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗

从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗

增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：

指、对数式的互化。

教学过程设计

一、问题情境设疑

引例1：

已知，如果，则x=？

引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？

分析：

设经过x年国内生产总值比2006年翻两番，则有，即1.08x=4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式中，求b的问题。

能否且一个式子表示出来？

可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x表示出来。

二、核心内容整合

1、对数：

如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作。

其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

当a>0且时，（符号功能）——熟练转化

如：

，42=162=log416

2、常用对数：

以10为底写成；

自然对数：

以e为底写成（e=2.71828…）

3、对数的性质：

（1）在对数式中N=ax>0（负数和零没有对数）；

（2）loga1=0,logaa=1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；

（3）如果把中b的写成，则有（对数恒等式）。

三、例题分析示例

例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）54=625；

（2）；（3）；

（4）；（5）lg0.01=–2；（6）ln10=2.303。

例2、求下列各式中x的值：

（1）；

（2）logx8=6；

（3）lg100=x；（4）–lne2=x。

补充例题：

求值

（1）；

（2）。

四、学习水平反馈：

P64，练习1，2，3，4。

补充练习：

求下列各式中的值。

，。

五、三维体系构建

1、对数的相关概念，常用对数，自然对数；

2、对数与指数的互换；

3、对数的基本性质；

4、求值（已知对数、底数、真数其中两个，会求第三个）。

六、课后作业：

P74，习题2.2，A组1、2。

教学反思：

第二课时对数的运算

三维目标定向

〖知识与技能〗

理解并会推导对数的运算法则，并会用语言叙述该法则，理解并能用换底公式化简求值。

〖过程与方法〗

理解积、商、幂的对数运算法则，能灵活应用换底公式化简求值。

〖情感、态度与价值观〗

从新颖别致的运算法则中感受奇异美，并能体会对数运算的使用价值。

教学重难点：

灵活运用对数法则，求值或化简。

教学过程设计

一、复习引入

1、对数的概念：

，常用对数lgx，自然对数：

lnx。

2、对数的性质：

N=ax>0；loga1=0,logaa=1；。

3、课前练习：

（1）给出四个等式：

①②

③若，则x=10④若则其中正确的是。

（2）。

（3）。

（4）？

二、核心内容整合

对数的运算性质：

如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么：

（1）；

（2）；

（3）。

语言表达：

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和；

两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差；

一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数的n倍。

证明：

证：

设，由对数的定义可以得：

，

所以，

即证得。

学生类比证明

（2）（3）。

三、例题分析示例

例1、用表示下列各式：

（1）；

（2）。

例2、求下列各式的值：

（1）；

（2）。

课堂小结：

对数的运算性质

如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么：

（1）；

（2）；

（3）。

说明

（1）简易语言表达；

（2）有时可逆向运用公式；

（3）底数的取值必须是；

（4）注意：

，

巩固练习：

P68，练习1、2、3。

提高练习：

1

（1）若，则x=。

（2）的值为。

（3）。

四、探究

（1）；

（2）（换底公式）；

（3）。

分析：

（1）设，

所以。

（2）设，

所以。

（3）。

应用：

P75，练习，4。

五、课后作业：

P74习题2.2，A组，3、4、5。

教学反思：

第三课时对数运算性质的应用

一、课标定位

（一）知识与技能

1、掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题。

2、掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明。

3、能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答。

（二）过程与方法

1、利用类比的方法，得出对数的运算性质，体会数学知识的前后连贯性，加深对公式内容及公式适用条件的记忆。

2、结合实例探究换底公式，并通过换底公式的应用，体会化归与转化的数学思想。

3、通过师生之间、学生之间互相交流探讨，培养探究能力。

（三）情感态度与价值观

1、通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养严谨的科学精神。

2、通过计算器来探索对数的运算性质，认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，激发学生学习数学的热情。

二、教学过程设计

（一）知识梳理

1、对数的运算性质

如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么：

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

2、换底公式：

；

（二）对数运算性质的运用

例1、若，则下列各式中：

①；②；③；

④；⑤；⑥；

⑦；⑧。

其中成立的有（）

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

例2、。

练习1、若，则（）

（A）a

（三）对数换底公式的应用

例3、已知，求b的值。

例4、设，求的值。

练习2、若，则有（）

（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（2，3）（D）（3，4）

（四）、对数运算在实际问题中的应用

例5、20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。

这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA–lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。

（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；

（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）。

例6、科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14。

碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”。

动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变。

死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年。

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。

练习3、声音的强度D（dB）由公式：

给出，其中I为声音能量（），能量小于时，人听不见声音。

求：

（1）人低声说话（）的声音强度；

（2）平时常人的交流（）的声音强度；

（3）听交响音乐时，坐在铜管乐前（）的声音强度。

（五）探究创新

设满足，用表示，并求当x取何值时，取得最小值。

（六）课堂小结

1、利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围；

2、初学对数运算法则时，容易出现下面的错误：

，，，…；产生这样错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商幂混淆起来，把对数符号当作表示数的字母进行运算；

3、换底公式可将各种底的对数换算为常用对数或自然对数，是对数运算中非常重要的工具。

（七）作业：

课本P74，习题2.2，A组11，12；B组3。

教学反思：

2.2.2对数函数及其性质

三维目标定向

〖知识与技能〗

（1）掌握对数函数的概念、图象和性质；

（2）能够运用对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

〖过程与方法〗

通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，体会对数是一类重要的函数模型，借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

〖情感、态度与价值观〗

注意对比思想的应用，体验用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互转化。

教学重难点

〖重点〗对数函数的概念、图象和性质。

〖难点〗底数a对对数函数的影响，在解决有关问题时定义域对函数的影响。

教学过程设计

一、引例

复利是计算利息的一种方式，现假设有本金1元，每期利率为2.25%，本利和为y，试写出本利和y随存期x变化的函数解析式。

（）

1、根据对数的定义，这个函数写成对数式的形式是什么？

（）

2、若要本利和翻一番，至少要存多少期？

翻两番呢？

3、存期x是否也是本利和y的函数呢？

（是）

4、用y表示函数，x表示自变量，这个函数的解析式是什么？

（）

二、核心内容整合

1、对数函数的概念：

函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为。

2、对数函数模型

（1）火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的函数关系是：

；

（2）生物学家研究发现：

洄游鱼类的游速v和鱼的耗氧量O之间的函数关系：

；

（3）溶液的酸碱度是通过PH值来刻画的，PH值的计算公式为：

。

3、对数函数的图象和性质

（1）用列表法画出函数和的图象；

（2）几何画板演示对数函数的图象，并引导学生观察获得如下结论：

0

a>1

图

象

定义域

（0,+∞）

值域

R

性

质

（1）过定点（1，0），即x=1时，y=0

（2）在R上是减函数

（2）在R上是增函数

（3）同正异负，即01,x>1时，logax>0；

01或a>1,0

练一练：

比较a、b、c、d、1的大小：

答：

b>a>1>d>c。

三、例题分析示例

例1、求下列函数的定义域：

（1）；

（2）。

分析：

（1）；

（2）。

例2、比较下列各组数中两个值的大小：

1og23.4和log28.5。

分析：

考察对数函数，因为它的底数2>1，所以它在上是增函数，于是。

拓展1：

（1）；

（2）。

小结：

注意函数思想和分类讨论思想的应用。

练习：

已知下列不等式，比较正数m、n的大小：

（1）；

（2）。

拓展2：

（1）；

（2）；（3）。

小结：

体现了数形结合思想的应用；“介值法”体现了问题的转化思想。

练习：

已知0

四、学习水平反馈：

P73，练习。

思考题：

若函数在上恒有，求a的取值范围。

五、三维体系构建

1、自主探究新知识的方法：

从特殊到一般，具体到抽象的归纳；知识之间的类比。

2、本课知识点——对数函数的概念、图象和性质。

3、实现知识内涵到外延应用的途径。

六、课后作业：

P74，习题2.2，（A组）7、8；（B组）2。

教学反思：

对数函数性质的应用

三维目标定向

〖知识与技能〗

进一步熟练掌握对数函数的概念、图象和性质，设计对数型函数的定义域、值域、单调性等问题。

对于反函数，只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数，不要求学生讨论形式化的反函数的定义，也不要求学生求已知函数的反函数。

〖过程与方法〗

通过问题的探究研讨，体会函数与方程的思想、体会类比的方法解题、体会数形结合的思想、体会对数函数的模型功能。

〖情感、态度与价值观〗

进一步增强函数与方程意识，培养运用联系发展、变化的观点认识事物的本质，提高数学思维品质。

教学重难点：

对数函数性质的应用。

教学过程设计

一、复习引入

对数函数的图象与性质。

二、例题分析示例

例1、已知函数，

（1）求函数的定义域；

（2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）探究在其定义域内的单调性。

例2、已知函数，

（1）求的定义域；

（2）求的单调区间；

（3）求的最大值，并求取得最大值时的x的值。

例3、溶液酸碱度的测量：

溶液酸碱度是通过pH刻画的，pH的计算公式为pH=–lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。

（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的pH。

三、反函数

对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（以具体的函数如y=log2x与y=2x加以说明，几何画板展示。

）

注：

只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数，不要求学生讨论形式化的反函数的定义，也不要求学生求已知函数的反函数。

四、学习水平反馈

1、已知函数，若，则等于（）

（A）b（B）–b（C）（D）

2、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系是。

当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s？

3、求函数的单调区间。

4、已知函数的图象关于原点对称，

（1）求m的值；

（2）判断在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明。

5、求函数的最大值和最小值。

五、课后作业：

P74，A组：

9、12。

教学反思：

对数函数小结

学情分析：

本节要解决的主要问题是：

能熟练地进行简单的对数运算，能运用对数函数的图象与性质解决与之有关的问题。

解决上述问题的关键是：

熟练掌握对数式与指数式之间的互化，掌握对数的各种运算法则及适用条件。

要有数形结合意识，能结合对数函数的图象记忆并运用对数函数的性质。

有分类讨论意识，在底数不确定时，要分a>1和0

一、对数的定义与运算性质的应用

例1：

求下列各式中x的值。

（1）；

（2）；（3）。

例2：

求值：

（1）；

（2）。

二、对数函数图象的应用

例3：

已知y=lgx的图象，作出y=|lgx|和y=lg|x|的图象，并解答以下问题：

函数y=lg|x|（）

（A）是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增

（B）是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减

（C）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增

（D）是奇函数，在区间上（0，+∞）单调递减

练习：

将y=2x的图象（）

（A）先向左平移1个单位（B）先向右平移1个单位

（C）先向上平移1个单位（D）先向下平移1个单位

再作关于直线y=x的对称图象，可得到y=log2（x+1）的图象。

三、对数函数的值域及单调性的问题

例4：

已知，求m的取值范围。

练习：

求函数的递减区间。

四、对数函数性质的综合应用

例5：

已知函数，其中a∈R。

（1）若函数f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）的值域是R，求实数a的取值范围。

练习：

设函数y=|lgx|，若0f（b），证明：

ab<1。