秋人教版数学八年级上册 第12章全等三角形单元检测2.docx

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秋人教版数学八年级上册第12章全等三角形单元检测2

全等三角形单元检测

一．选择题（共12小题）

1．如图，△ABC与△DEF是全等三角形，即△ABC≌△DEF，那么图中相等的线段有（　　）

A．1组B．2组C．3组D．4组

2．在△ABC中，∠A=∠B，若与△ABC全等的三角形中有一个角为90°，则△ABC中等于90°的角是（　　）

A．∠AB．∠BC．∠CD．∠B或∠C

3．给出下列结论：

①面积相等的两个图形必全等；

②两个全等图形的面积必相等；

③面积不相等的两个图形必不全等；

④不全等的两个图形的面积必不相等．

其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．如图

（1），已知△ABC的六个元素，则图

（2）、图（3）、图（4）中的三角形和△ABC全等的有（　　）

A．图

（2）和图（3）B．图（3）和图（4）C．只有图（3）D．只有图（4）

5．如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD=AE．下列方法中，可以直接判断△ADB≌△AEC的是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

6．如图，用∠B=∠D，∠1=∠2直接判定△ABC≌△ADC的理由是（　　）

A．AASB．SSSC．ASAD．SAS

7．到一个角的两边距离相等的点（　　）

A．在一条射线上B．在两条互相垂直的射线上

C．在一条直线上D．在两条互相垂直的直线上

8．如图，△ABC纸片，要在纸片内找一点P，使它到三边的距离相等，点P是（　　）

A．边AB，AC的垂直平分线的交点

B．边AB，BC上的高的交点

C．边AB，AC的中线的交点

D．∠ABC与∠ACB的平分线的交点

9．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若∠BAC=30°，下列结论：

①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG与△EOG的面积比为1：

4．

其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③B．①④⑤C．①③⑤D．①③④

10．如图，长方形图中有许多三角形．如果要找全等的三角形，一共可以找出几对（　　）

A．8B．7C．6D．4

11．如图，在正方形网格上有五个三角形，其中与△ABC全等（不包括本身）的三角形有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

12．如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（　　）

A．大于EFB．小于EF

C．等于EFD．与EF的大小关系无法确定

二．填空题（共6小题）

13．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案　　全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片　　全等图形（填“是”或“不是”）．

14．如图，D、E分别是AB，BC上一点，△ABE≌△ACD．若点B和C对应，则AB对应边　　，AD对应边　　，∠A对应角　　，则∠AEB=　　，理由是　　，EB=　　，理由是　　．

15．如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为　　cm．

16．如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°

（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　．

（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　．

（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　．

（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　．

（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　．

17．如图，已知△ABC和△BDE，B为AD中点，BE=BC，∠1=∠2，∠3=∠4，请根据题意，写出图中的两对全等三角形：

　　．

18．在△ABC和△DEF中，AB=4，∠A=35°，∠B=70°，DE=4，∠D=　　°，∠E=70°，根据　　判定△ABC≌△DEF．

三．解答题（共8小题）

19．如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E

（1）求证：

PA⊥PC；

（2）当E、M在AB、CD上运动时，求∠3+∠4﹣∠1﹣∠2的值．

20．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，求∠DFB、∠DGB的度数．

21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，O为AC的中点，AD为高，OG⊥AC，交AD的延长线于G，OB交AD于F，OE⊥OB交BC于E，过点O作OH⊥BC于H，求证：

DF=HE．

22．如图，点A、D、E在直线l上，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥l于D，CE⊥l于E，求证：

DE=BD+CE．

23．如图，AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C．你能得到哪些有关角、边的结论？

△ABF与△CDE全等吗？

24．已知：

△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，F是DB上的一点，DF=AE，AG是∠BAC的角平分线，FH⊥AG垂足是H，FH、BC相交于I，求证：

BI=CI．

25．已知△ABC，点E在直线AB上，点D在直线AC上，且BD=AE，过点E作EG∥BC交直线BD于点G，交直线AC于点F，且BG=AB，∠ABG=60°．

（1）当点D在线段AC上时如图①，求证：

EG=BC+DF；

（2）当点D在线段AC延长线上时，如图②；当点D在线段CA延长线上时，如图③，请分别写出线段EG、BC、DF之间的数量关系，不需要证明．

（3）若∠BAC=30°，AB=3

，则DF=　　．

参考答案

一．选择题（共12小题）

1．【解答】解：

∵△ABC≌△DEF，

∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，

∴EC=BF，

即图中相等的线段有4组，

故选D．

2．【解答】解：

∵与△ABC全等的三角形中有一个角为90°，∠A=∠B，

∴∠C=90°．

故选C．

3．【解答】解：

①面积相等的两个图形的对应边、对应角不一定相等，所以它们未必全等；故①错误；

②两个全等图形的面积必相等，故②正确；

③面积不相等的两个图形对应边、对应边上的高线肯定不相等，所以它们不全等，故③正确；

④不全等的两个图形的面积有可能相等，故④错误．

综上所述，正确的个数是2．

故选：

B．

4．【解答】解：

如图

（1）、

（2）根据一边、一角不能判定量三角形全等，故图

（2）中的三角形和△ABC不全等；

如图

（1）、（3）两角为58°、50°，对应相等，但是对应边不相等，不能判定它们全等，故图（3）中的三角形和△ABC不全等；

如图

（1）、（4）根据全等三角形的判定定理ASA可以证得它们全等，故图（4）中的三角形和△ABC全等．

综上所述，只有图（4）中的三角形和△ABC全等．

故选：

D．

5．【解答】解：

在△ADB与△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（ASA）．

故选：

C．

6．【解答】解：

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（AAS）．

故选A．

7．【解答】解：

到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线所在直线上．

故选C．

8．【解答】解：

∵点P到△ABC的三边的距离相等，

∴点P应是△ABC三条角平分线的交点．

故选D．

9．【解答】解：

Rt△ABC中，若∠BAC=30°，设BC=2，则AC=2

，AB=4；

∴AF=2，AE=2

，

∵∠BAC+∠OAE=30°+60°=90°，即△EFA是直角三角形，

∴tan∠AEF=

=

，即∠AEF=30°，EF平分∠AEC，

根据等边三角形三线合一的性质知：

EF⊥AC，且O是AC的中点；（故③正确）

①∵F是AB的中点，∴AF=BF；

根据等边三角形三线合一的性质知：

DF⊥AB，

∵∠BAC=30°，

∴∠AFO=90°﹣∠BAC=60°，即∠DBF=∠AFE=60°；

∵∠FAE=30°+60°=90°=∠BFD，

∴△DBF≌△EFA，故①正确；

②在Rt△ABC中，AB＞AC，

∵AB=AD，AC=AE，

∴AD＞AE，故②错误；

④由①的全等三角形知：

DF=EA，

又∵∠DFG=∠EAG=90°，∠DGF=∠EGA，

∴△DFG≌△EAG，即AG=GF，

∴AD=2AF=4AG，故④正确；

⑤由④知：

G是AF中点，由已知设AB=4，可以求出：

EO=3，AO=

，

∴S△EOG=

OE•（

OA）=

×3×

=

；

又S△AOG=

AG•AO•sin30°=

×1×

=

，

故△AOG与△EOG的面积比为1：

3，故⑤错误；

因此正确的结论是：

①③④，

故选：

D．

10．【解答】解：

∵ABCD是长方形，利用SAS可判定

∴△AOD≌△BOC，△DOC≌△AOB，△ABC≌△BCD，△BCD≌△ADC，

△ADB≌△ABC，△BCD≌△ADB，△ABC≌△ADC，△ADC≌△ADB，

所以共有8对，

故选A，

11．【解答】解：

根据SSS，可以判定图中有两个三角形与△ABC相似．

故选C．

12．【解答】解：

延长ED到G使DG=ED，连接CG，FG，

BD=CD，∠BDE=∠CDG，

可证得△BED≌△CGD，

∴CG=BE，

∵DE⊥DF，DG=ED，

∴EF=FG，

在△FCG中，FC+CG＞FG，

∴BE+CF＞EF．

故选A．

二．填空题（共6小题）

13．【解答】解：

由全等形的概念可知：

用一张相纸冲洗出来的2张5寸相片，各相片可以完全重合，故是全等形；由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片，大小不一样，所以不是全等图形．

故分别填是，不是

14．【解答】解：

∵△ABE≌△ACD，点B和C对应，

∴AB对应边AC，AD对应边AE，∠A对应角∠A，

则∠AEB=∠ADC，理由是：

全等三角形的对应角相等，

EB=DC，理由是：

全等三角形的对应边相等，

故答案为：

AC，AE，∠A，∠ADC，全等三角形的对应角相等，DC，全等三角形的对应边相等．

15．【解答】解：

∵△ACF≌△DBE，∠E=∠F，

∴CA=BD，

∴CA﹣BC=DB﹣BC，

即AB=CD，

∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4（cm），

∴AB=2（cm）．

故答案为：

2．

16．【解答】解：

（1）若∠A=∠D，BC=EF，又因为∠C=∠F=90°，所以可根据AAS判定Rt△ABC≌Rt△DEF；

（2）若∠A=∠D，AC=DF，又因为∠C=∠F=90°，所以可根据ASA判定Rt△ABC≌Rt△DEF；

（3）若∠A=∠D，AB=DE，又因为∠C=∠F=90°，所以可根据AAS判定Rt△ABC≌Rt△DEF；

（4）因为∠C=∠F=90°，若AC=DF，AB=DE，所以可根据HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF；

（5）若AC=DF，CB=FE，又因为∠C=∠F=90°，所以可根据SAS判定Rt△ABC≌Rt△DEF．

故答案为AAS、ASA、AAS、HL、SAS．

17．【解答】解：

∵B为AD中点，

∴AB=BD，

在△ABM和△DBN中，

，

∴△ABM≌△DBN；

∵∠4=∠1+∠C，∠3=∠2+∠E，

∴∠C=∠E，

在△ABC和△DBE

，

∴△ABC≌△DBE，

故答案为△ABM≌△DBN，△ABC≌△DBE．

18．【解答】解：

根据题意，AB=DE，∠E=∠B，则∠A=∠D=35°，

∵△ABC≌△DEF（ASA）

故分别填35，ASA．

三．解答题（共8小题）

19．【解答】

（1）证明：

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠DCA=90°，

∵PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，

∴∠PAC=

∠BAC，∠PCA=

∠DCA，

∴∠PAC+∠PCA=

（∠BAC+∠DCA）=90°，

∴∠APC=90°，

∴PA⊥PC；

（2）解：

②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确．理由如下：

作PQ∥AB，如图，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4=180°，即∠APQ=180°﹣∠3﹣∠4，

由PQ∥CD得∠5=∠2，

∵∠APQ+∠5+∠1=90°，

∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1=90°，

∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2=90°．

20．【解答】解：

∵∠ACB=105°，∠B=25°，

∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠B=180°﹣105°﹣25°=50°，

∵∠CAD=10°，

∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=50°+10°=60°，

在△ABF中，∠DFB=∠B+∠BAF=25°+60°=85°；

∵∠D=25°，

∴在△DGF中，∠DGB=∠DFB﹣∠D=85°﹣25°=60°．

21．【解答】证明：

∵AC=2AB．O为AC的中点，

∴AB=AO=OC，

∵∠BAC=90°，OG⊥AC，

∴∠BAC=∠AOG=90°，

∴∠BAC+∠AOG=180°，

∴AB∥OG，

∴∠G=∠BAD，

∵AD⊥BC，

∴∠BDA=∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠BAD=90°，∠ABC+∠C=90°，

∴∠C=∠BAD，

∴∠C=∠G，

∵OB⊥OE，

∴∠BOE=90°，

∵∠BFA=∠BDA+∠OBE=90°+∠OBE，∠OEC=∠BOE+∠OBE=90°+∠OBE，

∴∠BFA=∠OEC，

在△ABF和△COE中，

，

∴△ABF≌△COE（AAS），

∴BF=OE，

∵∠BFA=∠OEC，

∴∠BFD=∠OEH，

在△BDF与△OEH中，

，

∴△BDF≌△OHE，

∴DF=HE．

22．【解答】证明：

∵∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠EAC，

∴∠DBA=∠EAC；

在△ABD与△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∴DE=BD+CE．

23．【解答】解：

角：

∠AFB=∠CED，∠AFD=∠CEB，边：

AF=CE，BF=DE，△ABF与△CDE全等．

理由：

∵AB∥CD，

∴∠B=∠D，

在△ABF和△CDE中，

，

∴△ABF≌△CDE（ASA），

∴∠AFB=∠CED，AF=CE，BF=DE，

∴∠AFD=∠CEB．

24．【解答】证明：

延长FH交AC的延长线于点M，作CN∥AB，交FM于点N，

∵AG是∠BAC的角平分线，FH⊥AG，

∴∠FAH=∠MAH，∠AHF=∠AHM=90°，

在△AFH和△AFM中，

，

∴△AFH≌△AFM，

∴∠M=∠AFH，AF=AM，

∵CN∥AB，

∴∠CNM=∠AFH，∠B=∠ICN，

∴∠CNM=∠M，

∴CM=CN，

∵CM=AM﹣AC=AF﹣AC=AD+DF﹣AE﹣EC，DF=AE，

∴CM=AD﹣EC

∵BF=AB﹣AF=2AD﹣AD﹣DF=AD﹣DF，DF=CE，

∴BF=CN=CM，

在△BFI和△CIN中，

，

∴△BFI≌△CIN，

∴BI=CI．

25．【解答】

（1）证明：

在AC上找到H点使得BH=BC，连接AG，

∵AB=BG，∠ABD=60°，

∴△ABG为等边三角形，

∴∠BAG=60°，AG=AB，

在△ABD和△GAE中，

，

∴△ABD≌△GAE，（SAS）

∴∠AGE=∠BAD，EG=AD，∠AEG=∠ADB，

∵∠AEG+∠AFE+∠EAF=180°，∠ADB+∠ABD+∠EAF=180°，

∴∠AFE=∠ABD=60°，

∵EG∥BC，

∴∠C=60°，

∵BH=BC，

∴△BCH为等边三角形，

∴BH=BC，∠AHB=120°，

在△ABH和△GAF中，

，

∴△ABH≌△GAF，（AAS）

∴AF=BH，

∴AF=BC，

∵AD=AF+DF，

∴EG=BC+DF；

（2）证明：

①延长DA至H使得BH=BD，连接AG，

∵BH=BD，

∴∠H=∠D，AE=BH，

∵∠ABG=60°，BG=AB，

∴△ABG是等边三角形，

∴AB=AG，∠ABG=∠BAG=60°，

在△BDA和△AEG中，

，

∴△BDA≌△AEG（SAS），

∴EG=AD，∠E=∠D，

∴∠H=∠D，

∵BC∥EF，

∴∠BCA=∠EFC，

在△CBH和△FAE中，

，

∴△CBH≌△FAE（AAS），

∴BC=AF，

∵AD=AF+DF，

∴EG=BC+DF；

②连接AG，

∵∠ABG=60°，BG=AB，

∴△ABG是等边三角形，

∴AB=AG，∠ABG=∠BAG=60°，

∴∠DBA=∠EAG=120°，

在△DBA和△EAG中，

，

∴△DBA≌△EAG，（SAS）

∴AD=EG，∠DAB=∠AGE，

∵∠CBA=∠E，∠E+∠AGE=60°，

∴∠DCB=∠CBA+∠DAB=∠E+∠AGE=∠BAG=60°，

∴△DCB∽△DGA，

∴

=

，

∵∠EAF=∠DAB，∠DAB=∠AGE，

∴∠EAF=∠AGE，

∴△EAF∽△AGE，

∴

=

，

∵BD=AE，AD=EG，

∴

=

，

∴AF=BC，

∵DF=AF+AD，

∴DF=BC+EG；

（3）解：

根据∠BAC=30°画出图形，

∵∠AGE=∠BAC，∠BAC+∠D=60°，

∴∠CGF=90°，∠D=30°，

∵BC∥GF，∴∠CBD=60°，

∴∠ACB=30°，

∴BC=AC，CD=2BC=2AC，

∵AF=BC，

∴DF=AD+AF=AC+DC+AF=4AC=12．