培训笔记三角函数向量三角.docx
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培训笔记三角函数向量三角
【引用】培训笔记——三角函数、向量、三角
【引用】培训笔记——三角函数、向量、三角恒等变换
2011年03月05日
近期参加了新教材的培训,聆听了关于三角函数本质的解读,茅塞顿开,收获颇丰,下面是听课笔记,不一定全面,仅供参考。
改变习惯从理解内容开始——以三角函数为例
一、强调“函数的角度”,强调刻画周期现象的数学模型。
三角函数与其他学科的练习与结合非常重要。
最重要的是它与振动和波动的联系。
“可以它几乎是全部高科技的基础之一”,这是当前数学教学的薄弱环节。
振动和波动都是周期现象,可以三角函数刻画,比如手机、电视机、网络、核磁共振、航天没有三角函数的不行的。
强化发挥单位圆的作用,强调利用向量方法,淡化三角恒等变形的技巧内容。
高考中恒等变换以前占的比例大,现在占的比例顶多是中下。
三角函数16课时,三角恒等变形8课时,解三角形8课时。
诱导公式2课时,比以前少。
教材编写顺序的变化:
和差角独立成章,不是三角函数的核心环节。
解三角形不是任意角三角函数的应用。
任意角三角函数有它自己的应用。
如果要调整,要把向量调整到任意角三角函数之前,而不是调整到后面。
思考:
为什么这样变化?
三角函数与其他函数的不同点到底在哪里?
为什么要强调单位圆的作用?
二、强调单位圆作用的理由
三角函数的本质。
过去对三角函数本质的理解是不到位的。
三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现。
用数学的模型表达出来就是三角函数。
这与三角函数的起源有关系:
匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题,三角学源自天文学。
正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动、密切配合的周期函数;它们的基本性质则是圆的几何性质(主要是对称性)的直接反应。
——项武义
圆有哪些几何性质,代数化以后就是三角函数的性质。
而且核心是对称性。
为什么?
因为圆是中心对称图形,而且关于任意一条直径对称。
这是唯一的图形。
把这个对称性表达出来就是三角函数的性质。
你如果不注意单位圆的作用,你落后了。
三角函数是以角为自变量的函数,角是什么呢?
角是“转”出来的。
初中不讲方向,也不讲超过一周怎么刻画。
高中要在初中的基础上进行拓展,拓展在哪里?
高中所讲的角就是转出来的,且要进行定量刻画,于是涉及到,始边和终边必需区分开来,于是必需有方向。
大小的问题相对好解决,核心是方向。
所以讲任意角是讲方向。
带上方向后有什么好处?
任意角不仅仅是可以取任意值的角,还有方向:
将任意角a旋转任意角b,得到的一定是a+b。
有向线段的长度对角的性质无影响,所以只讨论单位有向线段旋转所成的角。
把它的起点置于(0,0),终点是(x,y),x2+y2=1于是角就是单位圆上的点在去圆周上旋转所成的,称为任意角。
因此用弧度表示角是必要的。
在高等数学中,不用弧度制就会引来麻烦。
三、匀速旋转的研究内容
首先是角,a=wt+a0,a0是角的初始位置。
这有数学意义,更重要的是有物理意义。
课程衔接上,物理中的匀速运动在数学之后,于是在数学学习中没有突出其物理意义。
研究单位圆上的点的运动规律这就是三角函数的任务,这也是为什么采用单位圆定义法,它直接体现了单位圆上点的运动规律。
与原来的定义完全等价,但是原来的定义绕了一个弯子。
只要给出单位圆上的一个点,就给出了正、余弦函数,因此“正弦函数和余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘。
”两个函数除了相位的差别之外没有其他差别。
因此只要研究清楚了正弦函数,余弦函数就清楚了。
而且在这个定义下,三角函数的性质都是定义的推论。
这句话要认真琢磨。
所有的恒等变形公式也是从定义推出来,包括和差角,它们也是三角函数的性质。
诱导公式解决三角函数的旋转对称,和角公式解决旋转任意角的公式与原来角的关系。
三角恒等变形可以进一步简化——已没有太大用处了,因为过去是为了制作三角函数表,应付天文学、测量学的需要,现在这种计算用微积分的方法可以轻松完成(有人认为是“培养能力”)
一篇文章:
对三角函数定义修改的感悟,湖北阳新实验中学
修改两字不合适——选择了另一种定义。
数学上任何对象的定义都是不唯一的。
任何定义都不是十全十美的。
选择了就习惯了。
传统定义概念具有一般化,这种认识是不对的。
终边上的点是任意的,单位圆上的点是特殊。
这是理解是不对的。
单位圆上的点是一般性的,与终边上点了任意性没有任何差异。
二者是一致的。
具有很强的知识继承性和发展性。
与锐角三角函数。
这也是不对的,锐角三角函数是讨论解三角形,任意角是研究周期变化。
二者不完全一样。
当然借助锐角引入也是可以的。
不从单位圆出发,又要学生养成用单位圆研究的习惯是不容易的。
要利用好“先入为主”。
实际教学中用了新的定义之后,学生对定义的应用深入人心。
特殊角三角函数值的理解和记忆带来方便。
因为都是轴线角,用坐标很好理解。
有利于三角函数的符号的认识。
比如正弦函数值就对着坐标。
加深了对诱导公式的理解。
有利于三角函数图象的教学。
数形结合。
四、三角函数中需要加强的内容
重要的是三角函数的图象与性质的教学。
要充分应用它来解释三角函数的奇偶性、周期性,解释诱导公式的几何意义——变换的角度。
加强变换的思想的渗透。
诱导公式公式也有几何意义的:
圆的对称性,从图形表达就是图象的平移和轴对称。
五、诱导公式
希望在新的处理方式下面,对诱导公式的教学有所变化。
变化的核心在于希望能体现诱导公式是圆的对称性的解析表示——表现了三角函数的对称性,变化中的不变性和规律性,几何意义是圆的对称性(这是圆的最重要的性质。
)
基本不等式其实是表现了两个非负实数两种基本运算(两个实数的加法运算和乘法运算)之后的基本关系。
现在有不等式研究会,这属于一生二,二生三的问题。
先让学生讨论终边的关系。
核心思想:
充分利用单位圆,把诱导公式处理为圆的性质。
以前诱导公式是怎么讲的?
我们会求锐角三角函数的值,能不能将任意角三角函数转化为锐角三角函数呢?
可见是将诱导公式看做一中转化的工具。
不要机械的记公式,让学生认识诱导公式就是圆的性质。
这样教可以教的很简捷、很精彩。
如果学生的思考能力比较强的话,可以提问:
三角函数反应了单位圆的性质,圆最重要的是对称性,能不能利用圆的对称性,借助于单位圆,与角a的终边关于x轴对称的角b与a之间有什么关系呢?
他们的三角函数值之间有什么关系呢?
后者是前者的推论。
如果学生思考一般,可以采取从具体到一般的方法:
π/3的函数值我们知道,那么sin(-π/3)=?
可以做出两个角,先画出终边,观察其关系,多举几个例子,探讨一般的a与-a的关系。
这些方法都是一线教师和教研员设计的。
后者是薄弱校老师研讨设计出来的。
这种设计思路就是教概念如何教。
体现了对诱导公式本质的认识。
进一步可以从变换的角度从代数的角度将之固定下来。
所有变换a——±a±kπ/2都可以有a——a+π/2和a——-a生成。
后者是前者的基础,-a是轴对称,π/2旋转。
这里反应了现代数学核心思想概念之一:
变换。
传统内容新的处理方法。
为学生负责?
迈进大学门槛。
迈进大学门槛又怎么样?
厌学的遍地都是。
我们要教给学生什么东西让他持续发展。
变换是整个数学概念的核心之一。
坐标旋转很好解释a——a+π/2,画个图就可以明白。
也可以用向量:
i——j,j——-i,所以向量xi+yj变为-yj+xi
该变换的三角函数表达就是a+π/2的三角函数表达。
讲过复数的三角形式的教师这是很好理解的——其中的复数乘法的几何意义。
由此可以导出所有“公式”,由变换导出的!
如+π就是a+π/2+π/2。
诱导公式是圆的对称性的表现。
必须抓住三角函数是刻画匀速匀速圆周运动的数学模型,这样才真正抓住了要领,才能以简驭繁:
只要让学生真正懂得两个变换所表示的意义,再放手让他们逐步学着由此推导出需要的公式,当然还要在理解的基础上记住。
诱导公式的三要点:
依据——三角函数定义
思想方法——变换(旋转、对称),数学4讲完,或者在高考复习时研究旋转应该是一个好素材。
工具——单位圆
奇变偶不变是强加于人的,增加学生负担的坏东西。
六、如何认识“和(差)角公式”
归根到底是圆的对称性的解析表示:
“诱导公式”解决了旋转一直角问题,这里要解决旋转任意角的问题。
圆上任意一点在圆周上任意旋转,结果仍住圆上。
=单位向量转任意一个角a到,点B仍住圆上。
单位圆转来转去仍是单位圆,这是他的不变性,也就是它的对称性。
设单位向量对于任意角a,将任意转一个b角成,点B仍在圆上,对此有两种看法:
一是与终边对应的角为a+b,所以有:
=cos(a+b)i+sin(a+b)j
二是是……所以以为横轴建立坐标系,记其上单位向量为i’,与之垂直的几位j’,于是=cosbi’+sinbj’
接着建立I,j与I’,j’的关系,代入第二个式子,根据系数相等即可求得公式。
统一在变换下的三角函数公式:
关于x轴对称——a——-a
绕原点的旋转变换:
整数周:
2kπ+a——a
……
把公式串起来。
所以公式组织在和角公式的麾下。
所有公式和和差角公式的变形。
一个老师的改革:
只讲和角公式,其他让学生自己推,一般到特殊。
七、更上位地看
函数及其图象、函数的变换(映射)与坐标系德尔变换及其关系、对称性与不变性等都是18~19世纪以后的新思想,而且是当代的主流——我们应该交给学生先进的东西。
用现代数学教学生传统内容是真正的新。
解题有成就感,但是数学不仅仅是解题。
解题不叫教数学,解法一、解法二、题型一、题型二与数学没有关系。
从联系的观点、发展的眼光看。
这样处理三角函数,可以充分利用单位圆发挥向量的作用,并充分体现了变换的思想、对称性思想、不变性思想,使三角函数简单、好懂
向来就是复数,复数就是向量
八、三角函数定义的教学过程设计
核心思想是:
充分利用单位圆,照顾传统处理,从锐角到任意角。
聚焦于思想性和方法性:
如复习的问题:
任意角概念与锐角概念的不同是什么?
——反复体会旋转。
引进象限角有什么好处?
——数学的标准化处理,对角的讨论转为对中变得讨论。
弧度制的好处?
——长度,单位圆上角的运动就是弧长,单位圆的半径是1,于是与实数有了天然的联系。
强调坐标化。
显性组织者:
我们知道,函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型……这个设计解决学习的必要性问题。
从锐角三角函数引入,不熟复述定义,而是画一个锐角,借助于三角板确定正弦值,这个过程中就是在角的终边上任意取一点。
借助于象限角,放到坐标系中,藐视锐角三角函数可以吗?
这个问题就是要将比值坐标化。
但是比较繁杂,于是提出:
能不能把坐标表示的形式简单化?
于是引入单位圆,实现单位化。
然后给出定义。
没有必要让学生给,老师讲就行,因为定义是一种规定,是一种选择。
更多精力放在对定义合理性的理解。
然后讲定义的辨析。
第一是用一般函数概念解析定义的合理性。
第二,用定义求函数值。
合理性:
a给定,终边唯一确定,与单位圆交点确定,x,y唯一确定,函数值唯一确定,所以是符合函数的定义的。
例1例2的作用:
例1让学生熟悉定义,从中概括用定义解题的步骤。
这样的题目在学生学习定义的过程中是重要的,是落实双基的重要的环节。
但很多老师对此不屑一顾。
——嘉兴会议上学生算cosπ的函数值-0.998,说明学生不善于用定义解决问题。
老师习惯的做法是:
这个题目见过吗?
熟悉吗?
应该问:
这个题目涉及到哪些概念?
如何变化适合于这个题目的解决。
三角函数概念的精致过程:
函数值符号问题,终边与坐标轴重合的三角函数值,终必那相同的教的同名三角函数值,……
课堂小结:
加强定义教学的思想性,要从问题是怎么提出来的开始——自然、水到渠成,思想高度——函数模型;研究的思想方法——与锐角三角函数的关系的因袭与扩张的关系,化归为最简单的也是最本质的模型和数形结合;归纳概括概念的内涵……
九、一点感想
改变习惯是很困难的,但必须改,否则跟不上时代发展的要求。
更深刻地理解所教的内容是改变习惯的基础。
“教什么”是数学教学的首要问题
在透彻了解内容本质的基础上,在用学生能理解的方式呈现出来,这是提高课堂教学质量的必由之路。
没有例子的理论不要讲,因为你也不懂。
教学也是这样。
专业化发展到路:
三个理解——理解数学、理解学生、理解教学。
课教不好首先要从数学的理解、学生的理解找原因。
题型技巧——概念、思想、方法,不同的教学内容是有差异。
教学设计点评:
角的概念的推广与数的概念的推广有很强的类比性。
课时教学三维目标,还讲到目标的发展。
这是太原市教学设计的首页的体现。
——建议还是要改成课堂教学目标。
三维目标不要和课堂教学目标整在一起。
三位目标是课程目标,不是课堂教学目标。
课程的目标是总体的,套在课堂中会过于宏观。
三维目标有内在的统一性,三者谁也离不开谁。
在一堂课里是不可能区分开的。
“紧密结合学生的认知水平,激发学生的学习兴趣”是无效的目标。
是被迫无奈写的。
这样的目标写一个礼拜不重复是不可能做到的。
因为它是宏观的,总体的。
三维目标是统一学习过程的三个维度,可以指导教学过程,思想性的东西就是其理性精神,这就是数学的最基本的思想。
三维目标是心中有佛,具体制定时要以学段目标、内容特点和学情来确定。
教学是要具体而扎实地把课程内容传递给学生,促进学生健康发展。
课堂教学目标:
知识、技能、方法为载体在过程中渗透情感态度价值观教育。
写的每一条教学目标都要包含教学内容,如果不能包含内容就不要写了。
第二条很对,但是没有把内容写进去:
通过类比让学生理解负角概念的引入。
通过类比有理数理解任意角的概念。
目标的制定是体现老师的真功夫的地方,体现了你对内容的理解,理解到位,目标才能制定合适。
教学重点、难点写的不错。
难点具体化一些:
本节课的难点有两个地方。
方向的引入对定量化描述。
终边相同的角的集合。
不管逆时针还是顺时针都回到原位,具体而言就是k的引入,a是一个代表。
如π/3是个代表,也可以是7π/3。
重点和难点都是根子上的问题。
具体的教学流程中:
情境创设做的不错。
老师举例还有学生举例。
不好的做法:
就是老师举例。
具体化一点,举完例子还想让学生干什么?
师:
谈感受,及时旋转方向。
章:
就是回扣到任意角产生的过程上。
任何时候注意:
不要离开概念让学生做事情。
让学生用概念思考。
概念构建的过程:
整体不错。
改进之处:
与有理数理解时的区别。
方向更加突出。
要确定一个角,唯一的确定一个角的条件,可以再强调一下。
这是两件带有本源性的。
不要有歧义,要有唯一性,这是数学中重要的一点。
终边相同的角的表示。
设计采取了从特殊到一般,这个思路是正确的。
在学生讨论思考,归纳的过程再回扣一下形的问题。
取数1,2,3的几何意义是什么。
数形结学生就清楚了。
比如学生求-390°的终边时,转化是学生可能求的k=-1,而不是-2。
概念教学必须体现概念的形成——以平面向量起始课为例
什么叫做向量法。
用向量法解决平面几何、立体几何问题时存在穿了一件向量的衣服,用的还是综合几何的方法。
根本原因在于所用的方法,给出的方法没有充分的体现应用向量的优势。
即基向量的优势。
一、当前概念教学的问题
不重视章节起始课的教学,没有把本章节要解决的问题、基本过程和主要思想方法等纳入到教学任务中;
概念教学走过场,没有给学生充分的概括本质特征的机会,认为让学生多做几道题目更实惠。
——这是误人子弟的教学
有些老师不知如何教概念。
最难教的是概念课,真正显水平的是把复杂的问题用简单的题目讲清楚。
概念教学是衡量老师教学水平的试金石。
二、教概念的意义
李邦河院士:
数学根本上是玩概念的,不是玩技巧。
技巧不足道也。
以接替教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正规,对学生的数学素养是没有好处的,是削弱数学育人功能的毒瘤。
最终是解题水平也不能真正提高,因为他不会变式。
三道高一摸底测试题:
1.解方程:
(x+1)2+1=0
学生都是平方展开,化简后用德尔塔判断。
这就是长期训练的结果。
而这个问题是靠概念,希望学生用方程的解判断。
可见学生不会用概念思维。
有的老师在培训现场,还是带着题来做,你很认真,但是这种认真是会害了你的学生的。
解题不能围绕概念的教学对于学生的发展没有太大的作用。
2.求出方程x+y-1=0的两组解。
80%的学生是空着的。
学生的回到:
老师,你的题目出错了。
因为两个未知量只给一个方程,怎么解。
这就是老师教坏了,机械操作。
中考试卷中二元一次方程不会解错,但是真正的数学学到了吗?
3.已知a,b都是正整数,且2 大部分学生不会做。
只要理解了条件,应该是小学生都会做。
为什么?
学生说:
老师你的题目太奇怪了,我们没有见过。
这个题目不考知识点,是考分析能力的。
学生丧失了这种能力。
计算能力世界第一,想象能力倒数第一,创造力排名倒数第五。
中国的孩子对自己的好奇心和想象力没有自信,只有4.7%认为自己有好奇心和想象力,希望培养的14.9%
4.求y=(sinx+2)2+1的最大值和最小值。
老师讲了几种解法,重点讲将此函数式展开,换元,化归为二次函数最值型。
这是中国老师最典型的题型加技巧。
本题应该聚焦在三角函数的有界性,推出sinx+2的范围,逐渐求解,充分应用三角函数和不等式的性质。
5.求函数y=+的最大值和最小值。
一堂高三复习课上的题目。
是一道高考复习填空题。
老师依然是讲了四种解法。
解法1是函数两边平方,可以忍受,因为要去根号。
解法二是三角代换,第三种,令u=,v=,转化为直线和圆的位置关系。
第四种可以用导数方法,以你为该方法是程序化了所以课上不讲,课后自己解决。
点评:
最应该讲的是导数法。
第二、第三种方法纯属雕虫小技。
把概念教好,用概念思维。
三、教概念的核心
概括:
将凝结在数学概念中的数学家的思维打开,以典型丰富的实里为载体,引导学生展开观察、分析各实例的属性、抽象概括共同本质属性,归纳得出数学概念。
数学老师要有这样的功力,打开数学家的思维,也就是数学的理解。
有功底还要有例子。
四、概念教学的六环节
典型丰富例证——属性的分析、比较、综合。
例子不是教辅上的例题。
收集例子,这是教师专业化发展的抓手。
好老师与一般老师的区别在于前者例子多。
比如函数开篇的三个例子,尤其后两个是有意而为之,就是没有解析式的函数。
接着是思考问题,这就是第二个环节。
概括共同本质特征得到概念的本质属性;
下定义(准确的数学语言描述);
概念的辨析——以实例(正例、反例)为载体分析关键词的含义;
用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的具体步骤;
概念的精致——建立与相关概念的联系。
但是对于教材中简单的题目挖掘不够,简单对答案。
接着就补充复杂例题。
这是不理解教材编写意图的教学。
留下了隐患。
五、“平面向量”起始课的认识
导游图的作用。
是本章学习的先行组织者。
应有充分的重视。
根据内容特点确定教学形式:
序言课——解析几何
核心概念的引入——
从概念的形成角度看内容:
重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法,蕴含了用数学的观点刻画和演技现实事物的方法和途径,这是一个带有“本源”性质的过程,即要使学生从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”。
向量概念的教学:
从具体背景中抽象出共同本质特征——定义——定性表示——定量表示:
刻画大小就需要“单位元”、“0元”,刻画方向就要定义平行、共线、相反等特殊关系。
什么叫“相等”(这很重要,但往往不备注意),这是分类的需要,数学是研究一类对象的。
六、教学过程简述
1.向量概念的形成
引入:
学生举例
向量的表示
问题:
定义概念后通常要用符号表示它。
怎样把你所举例子中的向量表示出来呢?
先让学生自己做,再问学生为什么这么做,最后说明完整地表达是怎样的。
要明确:
“既有大小,又有方向”,数与形的统一体,所以只有数或只有形都不足以表示,必须数形结合。
从概念的开始就把它体现出来。
对向量几何的认识
问题:
你认为在所有向量组成的集合中,哪些向量较特殊。
追问:
大家为什么认为它们最特殊?
你们怎么想的?
——唤醒实数的学习经验,渗透类似实数研究向量概念的思想。
注:
可以让学生类比1的作用。
2.相等向量、平行向量、共线向量、相反向量概念的形成
让学生参与生成。
问题:
观察正六边形给图中的一些线段加上箭头表示向量,并说说其关系。
相反向量有一些问题,其他学生都能自己解决。
还可以与物理中的矢量进行异同讨论。
3.阅读课本
有没有遗漏,有没有不同。
于是把概念多,又恨容易理解的课上的生动活泼。
4.作业5.课堂小结
能否画个图将今天的东西梳理一下。
学生:
平面向量——表示方法(几何、代数、模)、特殊对象(0、单位向量)、特殊关系(平行、相等、相反)、……
这……表示以后还要研究什么呢?
七、教学反思
1.起始课应把“基本套路”作为核心目标
大家应该好好想一下:
什么是真正的向量法?
关于“两角差的余弦公式”的教学分析
一、本节的教学目标
1.体会向量法
2.推其他公式
3.进行简单的恒等变形
二、课堂教学的选择
几种方案的比较:
(1)解决好锐角,任意角的推广让学生完成
(2)用好单位圆的旋转对称性
(3)直接用向量法
(4)从“锐角问题”引出一般公式的猜想,再用向量法证明
教科书用了(4)。
理由是:
学生感受比较亲切自然,从锐角出发。
从特殊到一般、具体到抽象的过程。
重点放在用向量法。
选择这种方案的代价:
三角函数的几何背景削弱;锐角问题并不太容易,要有平面几何的基础;可能导致教学目标的偏差,在解决锐角问题时。
事实上重点放在向量法就好了。
三、关于公式教学的思考
讲背景,讲过程。
落实基础。
四、怎样落实基础
五、本课如何落实思维的教学
核心目标:
获得公式,在过程中体会“向量法”——所有设计都围绕于此。
思维从问题开始:
回到概念去——在单位圆上表示出对象
向量法是如何想到的
由数量积对夹角范围的限制和a-b是任意角的差异,想到讨论a-b取值分布,其中的思维量很大。
数学5中不等式就是讲了3个不等式模型:
一元二次、二元一次不等式组、基本不等式。
三者相互独立,把其中的线性规划可以放在数学2中讲。
等差数列、等