实验方法 Microsoft Word 文档Word下载.docx
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↘A3（好结果）
如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之：
↗B1
A3C1→B2（好结果）
↘B3
得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之：
↗C1
A3B2→C2（好结果）
↘C3
试验结果以C2最好。
于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。
这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。
首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。
因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。
其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。
简单对比法的最大优点就是试验次数少，例如六因子五水平试验，在不重复时，只用5+（6-1）×
（5-1）＝5+5×
4＝25次试验就可以了。
考虑兼顾这两种试验方法的优点，从全面试验的点中选择具有典型性、代表性的点，使试验点在试验范围内分布得很均匀，能反映全面情况。
但我们又希望试验点尽量地少，为此还要具体考虑一些问题。
如上例，对应于A有Al、A2、A3三个平面，对应于B、C也各有三个平面，共九个平面。
则这九个平面上的试验点都应当一样多，即对每个因子的每个水平都要同等看待。
具体来说，每个平面上都有三行、三列，要求在每行、每列上的点一样多。
这样，作出如图2所示的设计，试验点用⊙表示。
我们看到，在9个平面中每个平面上都恰好有三个点而每个平面的每行每列都有一个点，而且只有一个点，总共九个点。
这样的试验方案，试验点的分布很均匀，试验次数也不多。
当因子数和水平数都不太大时，尚可通过作图的办法来选择分布很均匀的试验点。
但是因子数和水平数多了，作图的方法就不行了。
试验工作者在长期的工作中总结出一套办法，创造出所谓的正交表。
按照正交表来安排试验，既能使试验点分布得很均匀，又能减少试验次数，
图2正交试验设计图例
而且计算分析简单，能够清晰地阐明试验条件与指标之间的关系。
用正交表来安排试验及分析试验结果，这种方法叫正交试验设计法。
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2．正交表
本书附录给出了常用的正交表。
为了叙述方便，用L代表正交表，常用的有L8（27），L9（34），L16（45），L8（4×
24），L12（211），等等。
此符号各数字的意义如下：
L8（27）
7为此表列的数目（最多可安排的因子数）
2为因子的水平数
8为此表行的数目（试验次数）
L18（2×
37）
有7列是3水平的
有1列是2水平的
37）的数字告诉我们，用它来安排试验，做18个试验最多可以考察一个2水平因子和7个3水平因子。
在行数为mn型的正交表中（m，n是正整数），
试验次数（行数）＝Σ（每列水平数一1）+l
（1）
如L8（27），
8＝7×
（2-1）+l
利用上述关系式可以从所要考察的因子水平数来决定最低的试验次数，进而选择合适的正交表。
比如要考察五个3水平因子及一个2水平因子，则起码的试验次数为
5×
（3-1）+1×
（2-1）+1＝12（次）
这就是说，要在行数不小于12，既有2水平列又有3水平列的正交表中选择，L18（2×
37）适合。
正交表具有两条性质：
（1）每一列中各数字出现的次数都一样多。
（2）任何两列所构成的各有序数对出现的次数都一样多。
所以称之谓正交表。
例如在L9（34）中（见表1），各列中的l、2、3都各自出现3次；
任何两列，例如第3、4列，所构成的有序数对从上向下共有九种，既没有重复也没有遗漏。
其他任何两列所构成的有序数对也是这九种各出现一次。
这反映了试验点分布的均匀性。
3．试验方案的设计
安排试验时，只要把所考察的每一个因子任意地对应于正交表的一列（一个因子对应一列，不能让两个因子对应同一列），然后把每列的数字"
翻译"
成所对应因子的水平。
这样，每一行的各水平组合就构成了一个试验条件（不考虑没安排因子的列）。
对于[例1]，因子A、B、C都是三水平的，试验次数要不少于
3×
（3-1）+1＝7（次）
可考虑选用L9（34）。
因子A、B、C可任意地对应于L9（34）的某三列，例如A、B、C分别放在l、2、3列，然后试验按行进行，顺序不限，每一行中各因素的水平组合就是每一次的试验条件，从上到下就是这个正交试验的方案，见表2。
这个试验方案的几何解释正好是图2。
三个3水平的因子，做全面试验需要33＝27次试验，现用L9（34）来设计试验方案，只要做9次，工作量减少了2／3，而在一定意义上代表了27次试验.。
再看一个用L9（34）安排四个3水平因子的例子。
[例2]某矿物气体还原试验中，要考虑还原时间（A）、还原温度（B）、还原气体比例（D）、气体流速（C）这四个因子对全铁合量X〔越高越好）、金属化率Y（越高超好）、二氧化钛含量Z（越低越好）这三项指标的影响。
希望通过试验找出主要影响因素，确定最适工艺条件。
首先根据专业知以确定各因子的水平：
时间：
A1＝3（小时），A2＝4（小时），A3＝5（小时）
温度：
B1＝1000（℃），B2＝1100（℃），B3＝1200（℃）
流速：
Cl＝600（毫升／分），C2＝400（毫升／分），
C3＝800（毫升／分）
CO:
H2：
D1＝1:
2，D2＝2:
1，D3＝1:
1
这是四因子3水平的多指标（X、Y、Z）问题，如果做全面试验需34＝81次试验，而用L9（34）来做只要9次。
具体安排如表3。
同全面试验比较，工作量少了8／9。
由于缩短了试验周期，可以提高试验精度，时间越长误差于扰越大。
并且对于多指标问题，采用简单对比法，往往顾此失彼，最适工艺条
件很难找；
而应用正交表来设计试验时可对各指标通盘考虑，结论明确可靠。
4．试验数据的直观分析
正交表的另一个好处是简化了试验数据的计算分折。
还是以[例1]为例来说明。
按照表2的试验方案进行试验，测得9个转化率数据，见表4。
通过9次试验，我们可以得两类收获。
第一类收获是拿到手的结果。
第9号试验的转化率为64，在所做过的试验中最好，可取用之。
因为通过L9（34）已经把试验条件均衡地打散到不同的部位，代表性是好的。
假如没有漏掉另外的重要因素，选用的水平变化范围也合适的话，那么，这9次试验中最好的结果在全体可能的结果中也应该是相当好的了，所以不要轻易放过。
第二类收获是认识和展望。
9次试验在全体可能的条件中（远不止33＝27个组合，在试验范围内还可以取更多的水平组合）只是一小部分，所以还可能扩大。
精益求精。
寻求更好的条件。
利用正交表的计算分折，分辨出主次因素，预测更好的水平组合，为进一步的试验提供有份量的依据。
其中I、Ⅱ、Ⅲ分别为各对应列（因子）上1、2、3水平效应的估计值，其计算式是：
Ⅰi（Ⅱi,Ⅲi）=第i列上对应水平1（2，3）的数据和
K1为1水平数据的综合平均=Ⅰ/水平1的重复次数
Si为变动平方和=
[例1]的转化率试验数据与计算分析见表4。
先考虑温度对转比率的影响。
但单个拿出不同温度的数据是不能比较的，因为造成数据差异的原因除温度外还有其他因素。
但从整体上看，80℃时三种反应时间和三种用碱量全遇到了，86℃时、90℃时也是如此。
这样，对于每种温度下的三个数据的综合数来说，反应时间与加碱量处于完全平等状态，这时温度就具有可比性。
所以算得三个温度下三次试验的转化率之和：
80℃：
ⅠA＝xl+x2+x3＝31+54+38＝123；
85℃：
ⅡA＝x4+x5+x6＝53+49+42＝144；
90℃：
ⅢA＝x7+x8+x9＝57+62+64＝183。
分别填在A列下的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三行。
再分别除以3，表示80℃、85℃、90℃时综合平均意义下的转化率，填入下三行Kl、K2、K3。
R行称为极差，表明因子对结果的影响幅度。
同样地，为了比较反应时间；
用碱量对转化率的影响，也先算出同一水平下的数据和IB、ⅡB、ⅢB，Ic、Ⅱc、Ⅲc，再计算其平均值和极差。
都填入表4中；
由此分别得出结论：
温度越高转化率越好，以90℃为最好，但可以进一步探索温度更好的情况。
反应时间以120分转化率最高。
用碱量以6％转化率最高。
所以最适水平是A3B2C2。
5.正交试验的方差分析
（一）假设检验
在数理统计中假设检验的思想方法是：
提出一个假设，把它与数据进行对照，判断是否舍弃它。
其判断步骤如下：
（1）设假设H。
正确，可导出一个理论结论，设此结论为R。
；
（2）再根据试验得出一个试验结论，与理论结论相对应，设为R1；
（3）比较R。
与Rl，若R。
与Rl没有大的差异，则没有理由怀疑H。
，从而判定为：
"
不舍弃H。
（采用H。
）；
若R。
与R1有较大差异，则可以怀疑H。
，此时判定为：
舍弃H。
。
但是，R1／R。
比l大多少才能舍弃H。
呢？
为确定这个量的界限，需要利用数理统计中关于F分布的理论。
若yl服从自由度为φ1的χ2分布，y2服从自由度为φ2的χ2分布，并且yl、y2相互独立，则（y1/φ1）/（y2/φ2）服从自由度为（φ1，φ2）的F分布。
F分布是连续分布，分布模数是两个自由度（φ1，φ2）。
称φ1为分子自由度，称φ2为分母自由度。
在自由度为（φ1，φ2）的F分布中，某点右侧面积为p，也就是F比此值大的概率为p，把这个值写为（p）。
若检验的显著性水平（或危险率）给定为α时，则可以把（α）作为临界值来检验假设。
这里，Se／σ2服从自由度为φe，的χ2分布；
当H。
成立，σ2＝0时，SA／σ2也服从自由度为φA的χ2分布；
又SA与Se相互成立，所以（SA/（φAσ2）/Se/（φeσ2））=VA/Ve服从自由度为（φA，φe）的F分布。
这就是假定H。
正确时的理论结论R。
而试验结论Rl要与理论结论R。
相比较。
由给定的显著性水平，通常是α＝0．05；
分子自由度φ1＝φA＝a-l，分母自由度φ2＝φe=a（n-1）；
查F分布表得出（α）。
所以H。
：
αl＝α2=……＝αa＝0（σA2＝0）的检验是：
（显著性水平α）
FA=VA/Ve>
（α）→舍弃H。
FA=VA/Ve≤（α）→不舍弃H。
通常，（α）一般性地表示成Fα（φA,φB）。
假设因子A对试验结果的影响不显著，那么A的两个水平的效应该表现为相等或相近，即假设H。
α1＝α2＝0。
如果因子A显著，则舍弃假设。
为了判断因子A是否显著，首先要计算比值
显然，这个比值越大，因子A对指标的影响越显著；
反之，因子A就不显著。
在给定置信度α后，如α＝0.05，查F分布表，自由度φA是因子A的，自由度φe是误差的，其临界值Fα（φA,φe），如果
FA＞Fα（φA,φe）
就舍弃假设，可以认为因子A是显著的；
如果
FA≤Fα（φA,φe）
就没有理由否定假设，而只能认为因子A是不显著的。
因为按照F分布表的物理念义，F值小于Fα（φA,φe）的概率是95％，即有95%的机会出现小于Fα（φA,φe）的F值，既然出现了这种情况，就有了95％的把握，所以就没有理由否定假设，只能接受假设，认为因子A不显著。
另一方面，F值大于Fα（φA,φe）的概率是5％，也就是只有5％的机会出现大于Fα（φA,φe）的F值，这是小概率事件，如果小概率事件居然发生了，则可认为情况异常，假设不可信，必须否定假设，因子A是显著的。
对其他因子的显著性检验完全类似。
（二）方差分析表
由总平方和与各因素平方和即可求得误差平方和，亦称剩余平方和。
是总平方和减各因素平方和所得。
如正交表有一空列，则该列的平方和就量误差平方和。
但在正交表饱和试验的情况下，即所有各列全部排满时，误差平方和一般用各因素平方和中几个最小的平方和之和来代替，同时，这几个因素不再作进一步的分析。
自由度：
φT＝试验次数一1
φA,B…＝水平数一1
φA×
B=φA×
φB
φe=φT-φA-φB-……-φD
混料设计
求助编辑百科名片
混料问题，是工农业生产及科学试验中经常遇到的一个问题。
试验者要通过试验得出各种成分比例与指标的关系。
例如，某种不锈钢由铁、镍、铜和铬四种元素组成，我们想知道每种元素所占比例与抗拉强度的数量关系。
怎样的试验就可以得到精度较好而且易于计算的回归方程？
这是一种特殊的回归设计问题，试验指标，如不锈钢的抗拉强度，仅与各种成分，如铁、镍、铜和铬所占的百分比有关系，而与混料的总数量没有关系。
编辑本段介绍
自从Scheffe一九五八年提出单纯形格子设计以来，混料回归设计的理论和它的应用都有很大发展。
人们针对各种数学模型、试验区域与各种意义下的“最优性”提出了各种设计方法与分析计算法。
混料回归设计在工业、农业和科学试验中都得到广泛的应用。
在工业试验方面，如汽油混合物、混凝土、聚合物塑料、合金、陶瓷、油漆、食品、医药、洗涤剂、混纺纤维及烧结矿等产品都会遇到混料回归设计问题。
在混料试验中，每个分量的贡献都要表示成混料或合成的比例。
每个分量的比例必须是非负的，而且它们的总和必须是1，这就决定了混料回归设计是一种受特殊约束的回归设计问题。
用Y表示试验指标，X1、X2、……、Xn表示混料系统中n种成分各占的百分比，混料回归设计就是要在混料条件
Xi≥0（i=1，2，……，n）X1+X2+……+Xn=1
（1）
或者除混料条件
（1）之外，再加上一些其他条件的约束下，合理地安排试验，得出关于Y的回归方程，使得分析容易、准确，便于计算和推测最佳混料比。
混料条件
（1）决定了混料回归设计中的数学模型，不同于一般回归设计中所采用的数学模型，一般回归设计中采用的模型是多项式，而混料回归设计不能采用一般的多项式，否则会由于混料条件
（1）的限制而引起信息矩阵退化。
混料回归设计中常采用称为Scheffe多项式的数学模型。
例如，一般的三元二次回归方程为：
y=b0+ΣbiXi+ΣbiiXi2+ΣbijXiXj
（2）
而混料设计中的三分量二次回归方程为：
y=ΣbiXi+ΣbijXiXj（3）
它没有常数项与平方项，只有一次项与交叉项。
混料回归设计中一般的三分量二次多项式回归方程的形式为（3）。
一般情况，混料回归设计的分量多项式回归方程常采用下述形式给出：
混料设计的多项式回归方程：
二次式y=ΣbiXi+ΣbijXiXj（4）
不完全三次式y=ΣbiXi+ΣbijXiXj+ΣbijkXiXjXk（5）
完全三次式y=ΣbiXi+ΣbijXiXj+ΣrijXiXj（Xi－Xj）+ΣbijkXiXjXk（6）
还有更复杂的高次方程……，称为Scheffe多项式回归方程或规范多项式回归方程。
在混料问题中，各分量n的变化范围要受条件
（1）的限制。
在几何上，各分量Xi的变化范围可由一个（n－1）维正规单纯形来表示。
顶点代表单一成分组成的混料，棱上点代表两种成分组成的混料，面上的点代表多于两种而少于n种成分组成的混料，而内部的点则是代表全部n种成分组成的混料。
当混料的分量Xi除受约束条件
（1）限制外还要受其他约束条件限制时，因子空间变得更加复杂，是正规单纯形内的一个几何体。
例如兼有上、下界约束的n分量混料问题的因子空间是（n－1）维正规单纯形内的一个凸多面体。
平面上的正规单纯形是等边三角形，三维空间的正规单纯形是正四面体，当维数高于三时正规单纯形不能用图画出。
下面我们以分量数n=3为例说明为什么约束条件
（1）的点只能取在正规单纯形上。
取空间直角坐标系0－X1X2X3分别在三个坐标轴上取三点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），由于约束条件
（1）的限制，则各分量Xi只能在△ABC上取值，也就是说,三成分系统的试验点只能取在二维正规单纯形的等边三角形上。
为简便计，使用时将不再画出三个坐标轴，只画出一个等边三角形就可以了，取此等边三角形的高为1，则此等边三角形内任一点F到三边距离之和是1。
这样，我们可以把FA’长度看成是F点的Xi坐标值，把FB’与FC’的长度分别看成是F的X2值与X3值，在等边三角形上建立起“二维正规单纯形坐标系”或“二维重心坐标系”。
同样地，我们可以在三维（或多维）空间内取一个高为1的正规单纯形，则此正规单纯形内任一点到各个面的距离之和是1，我们可以把此点到各个面的距离分别看成是相应的坐标，建立起三维（或多维）正规单纯形坐标系或重心坐标系。
响应面分析
响应面分析
在多因素数量处理试验的分析中，可以分析试验指标（因变量）与多个试验因素（自变量）间的回归关系，这种回归可能是曲线或曲面的关系，因而称为响应面分析。
例如农作物产量与N、P、K的施肥量有关，可以通过回归分析建立产量与施肥要素间的回归关系，从而求得最佳施肥配方。
在回归分析中，观察值y可以表述为：
其中是自变量的函数，是误差项。
在响应面分析中，首先要得到回归方程，然后通过对自变量的合理取值，求得使最优的值，这就是响应面分析的目的。
[例13.15]有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为每亩尿素0，3，6，9，12，15，18kg7个水平，施磷肥量为每亩过磷酸钙0，7，14，21，28，35，42kg7个水平，共49个处理组合，试验结果列于表13.66，试作产量对于氮、磷施肥量的响应面分析。
表13.66大麦氮磷肥配比试验结果
磷肥
氮肥
3
6
9
12
15
18
86.9
162.5
216.4
274.7
274.3
301.4
270.3
7
110.4
204.4
276.7
342.8
343.4
368.4
335.1
14
134.3
238.9
295.9
363.3
361.7
345.4
351.5
21
275.1
325.3
336.3
381.0
362.4
382.2
28
158.2
237.9
320.5
353.7
369.5
388.2
355.3
35
144.3
204.5
286.9
322.5
345.9
344.6
353.5
42
88.7
192.5
219.9
278.0
319.1
290.5
281.2
对于表13.66的数据可以采用二元二次多项式拟合，那么产量可表示为：
其中Ni、Pj、ij分别表示N、P施用量和误差，按此模型的方差分析见表13.67。
结果表明b2和b3这两个偏回归系数不显著，应该将模型缩减，逐步去掉不显著的回归系数，得到
的模型为：
。
使用该模型分析的结果为表13.68，从
中可以看出b1，b4，b5是显著的，b2达到显著，该模型的回归变异占总变异的98%，因此可以较好地说明施用N、P对产量的影响。
对此资料作多项式回归分析的方法可参见第11章和附录的SAS程序LT13-15.sas。
表13.67二元二次多项式回归分析的方差分析（全模型）
变异来源
DF
SS
MS
F
回归
5
332061.25
66412.25
352.08
F0.05（5,43）=2.44;
F0.01（5,43）=3.49
b1
219217.93
1162.16
F0.05（1,43）=4.07;
F0.01（1,43）=7.27
b2
754.29
4.00
b3
69.31
0.37
b4
61688.63
327.04
b5
50331.10
266.83
误差
43
8111.07
188.63
总变异
48
340172.32
表13.68二元二次多项式回归的方差分析（缩减模型）
回归平方和
4
331991.95
82997.99
446.42
F0.05（5,44）=2.58;
F0.01（5,44）=3.78
1179.11
F0.05（1,44）=4.06;
F0.01（1,44）=7.24
4.06
331.81
270.72
44
8180.37
185.92
表13.69二元二次多项式回归的回归系数及其显著性测验（缩减模型）
参数
回归系数估计值
标准误
t
b0
76.70
6.06
12.66
31.63
1.17
27.02
8.21
0.50
16.37
-1.14
0.06
-18.22
-0.19
0.01
-16.45
由表13.69
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