07 抽屉原理.docx
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07抽屉原理
07抽屉原理
七抽屉原理
最不利原则
1有400个小朋友参加夏令营,问:
这些小朋友中,至少有多少人不单独过生日,
2在一付扑克牌中,最少要拿出多少张,才能保证在拿出的牌中四种花色都有,
3在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。
问:
至少从中取出多少个球,才能保证其中有白球,
4口袋中有三种颜色的筷子各10根,问:
(1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到,
(2)至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子,
(3)至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子,
5袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球,从袋中任意取出若干个球。
问:
至少要取出多少个球,才能保证有3个球是同一颜色的,
6一只鱼缸里有很多条鱼,共有五个品种。
问:
至少捞出多少条鱼,才能保证有5条相同品种的鱼,
7某小学五年级的学生身高(按整数厘米计算),最矮的是138厘米,最高的是160厘米。
如果任意从这些学生中选出若干人,那么,至少要选出多少人,才能保证有5人的身高相同,
8一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和10把锁,最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相匹配,
9一把钥匙只能打开一把锁,现有10把锁和其中的8把钥匙,要保证将这8把钥匙都配上锁,至少需要试验多少次,
10将100个苹果分给10个小朋友,每个小朋友分得的苹果个数互不相同。
分得苹果个数最多的小朋友至少得到多少个苹果,
11将400本书随意分给若干同学,但每人不得超过11本。
问:
至少有多少同学得到的书的本数相同,
12要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中,每个盒子最多可以装5个乒乓球。
证明:
至少有5个盒子中的乒乓球数目相同。
13一次数学竞赛,有75人参加,满分为20分,参赛者的得分都是自然数,75人的总分是980分。
问:
至少有几人的得分相同,
14把325个桃分给若干只猴子,每只猴子分得的桃不超过8个。
问:
至少有几只猴子得到的桃一样多,
15一次数学竞赛出了10道选择题,评分标准为:
基础分10分,每道题答对得3分,答错扣1分,不答不得分。
问:
要保证至少有4人得分相同,至少需要多少人参加竞赛,
16六个小朋友每人至少有1本书,一共有20本书,试证明:
至少有两个小朋友有相同数量的书。
17全班有40个同学,共有不到780本书,试证明:
至少有2个同学有相同数量的书。
18有5050张数字卡片,其中1张上写着1,2张上写着2,3张上写着3……100张上写着100。
现在要从中抽取若干张,为了确保抽出的卡片至少有10张以上的数字完全相同,至少要抽取多少张卡片,
19口袋中装有10种不同颜色的珠子,每种都是100个。
要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子,并且每种至少10个,那么至少要摸出多少个珠子,
20两个布袋各有12个大小一样的小球,且都是红、白、蓝各4个。
从第一袋中拿出尽可能少的球,但至少有两种颜色一样的放入第二袋中;再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中,使第一袋中每种颜色的球不少于3个。
这时,两袋中各有多少个球,
21用载重1.5吨的汽车运送若干箱共重19.63吨的货物,每箱货物重量相同且不超过350千克。
当每箱货物多重时,需要的汽车最多,最多需要多少辆汽车,
简单抽屉问题
22在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。
试说明:
他们中至少有2个人是在同一天出生的。
23学校举行开学典礼,要沿操场的400米跑道插40面彩旗。
不管怎样插,是否总能找到2面彩旗,它们之间的距离不大于10米,
24在100米的路段上植树,问:
至少要植多少棵树,才能保证至少有2棵之间的距离小于10米,
25证明:
在任意的37人中,至少有4人的属相相同。
26试证明:
将2行5列方格纸的每一个方格染成黑色或白色,不管怎样染,至少有2列着色完全一样。
27一个正方体有六个面,给每个面都涂上红色或白色。
证明:
至少有三个面是同一颜色。
28体育组有足球、篮球和排球,上体育课前,老师让11名同学往操场拿球,每人最多拿两个。
试证明:
至少有2个同学拿球的情况完全一样。
29口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球,现有31个人轮流从袋中取球,每人各取三个球。
证明:
至少有4个人取出的球的颜色完全相同。
30篮子里有苹果、梨、桃和桔子,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友,才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样,
31学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。
问:
至少在多少个学生中,才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同,
32为了丰富暑假生活,学校组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛,每班各出五人,同时对弈。
比赛时天气很热,学校给选手们准备了两种饮料:
可乐和汽水,每个选手都选用了一种饮料。
证明:
至少有两对选手,甲班的两名选手选用的饮料相同,乙班的两名选手选用的饮料也相同。
33有一批四种颜色的小旗,任意取出三面排成一行,表示各种信号。
在200个信号中至少有多少个信号完全相同,
34库房里有一批篮球、排球、足球和手球,每人任意搬运两个。
证明:
在41个搬运者中至少有5人搬运的球完全相同。
35库房里有一批篮球、排球、足球和手球,每人任意搬运三个。
问:
在61个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同,
36六年级一班27个同学排成3路纵队外出参观,同学们都戴着红色或白色的太阳帽。
求证:
在9个横排中,至少有2排同学所戴帽子的颜色顺序完全相同。
37育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生,规定每位同学必须从这10人中任选2名。
问:
至少有多少人参加投票,才能保证必有不少于5个同学投了相同两个候选人的票,
38将1,10随意填在右图的10个?
中。
试说明至少有一行的数字之和不小于15。
3910名运动员进行乒乓球比赛,每2名运动员都要比赛一场、每场比赛三局两胜。
如果在所有各局比赛中,最高得分为23比21,那么至少有多少局的比分相同,
40有n个队参加的足球比赛,已经赛了(n+1)场。
证明:
必有1个队至少赛了3场。
划分图形
41在一个3米×4米的矩形中,任意点5个点。
证明:
至少有2个点的距离不大于2.5米。
42在边长为1的正三角形中,任意放入5个点。
证明:
其中至少有两
43在边长为1的正三角形内,任意放入10个点,求证:
必有2个点的
44在一个半径为10米的圆形旱冰场上,有七位同学在滑旱冰。
证明:
一定有两个同学间的距离不大于10米。
45在边长为1的正方形内,任意放入9个点,则其中必有3个点,它
46在一个矩形内任意放五点,其中任意三点不在一条直线上。
证明:
在以这五点为顶点的三角形中,至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。
整数分组
47证明:
在任意的四个自然数中,至少有两个数的差是3的倍数。
48任意取多少个自然数,才能保证至少有两个数的差是7的倍数,为什么,
49证明:
在从1开始的前10个奇数中任取6个,一定有2个数的和是20。
50从1,4,7,10,…,37,40这14个数中任取8个数,试证:
其中至少有2个数的和是41。
51证明:
在自然数1,100中任取21个数,其中一定有2个数的差(大数减小数)小于5。
52证明:
在自然数1,125中任取7个数,其中一定有2个数的商(大数除以小数)不大于2。
53证明:
在自然数20,160中任取6个数,其中一定有2个数的比值
54证明:
从前100个自然数中任意取出51个数,其中至少有2个数,较大的数是较小的数的整数倍。
55从1,3,5,7,……,37,39这20个奇数中任意取出14个,试证明:
其中至少有2个数,一个数是另一个数的倍数。
56从2,4,6,8,…,30,32这16个偶数中任意取出9个,试证明:
其中至少有2个数、一个数是另一个数的倍数。
57从1,3,5,…,97,99中最多可以选出多少个数,使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数,
58证明:
从八个连续自然数中任意选出五个,其中必有两个数的差等于4。
59从1,2,3,…,1998,1999这些数中最多可以选出多少个数,使其中任意两个数的差都不等于4,
60从前11个自然数中任意取出6个,求证:
其中必有2个数互质。
61证明:
在前2n个自然数中,任意取出(n+1)个,其中必有2个数互质。
62求证:
对于任意的8个自然数,一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数。
63任意写一个由数字1,2,3组成的三十位数,从这三十位数中任意截取相邻三位,可得一个三位数。
证明:
从所有不同位置截取的三位数中,至少有两个相同。
64任意写一个由数字1,2,3,4组成的六十七位数,从这个六十七位数中任意截取相邻三位,可得一个三位数。
证明:
从所有不同位置截取的三位数中,至少有两个相同。
6510个小朋友每人有10块糖,如果每人每天至少吃3块,吃完为止,那么至少有几个小朋友每天吃糖的数目都相同,
66右图是一个5行5列的方格表,能否在每个空格中分别填上1,2,3中的一个数,使得每行、每列、每条对角线上的五个空格中的数字和互不相同,为什么,
67在9×9方格纸的每个方格中任意填入1,2,3三个数之一,然后分别对每个2×2方格中的四个数求和。
问:
在这些和数中至少有多少个相同,
68证明:
对于任意的七个自然数,其中必有四个数的和是4的倍数。
69证明:
对于任意的七个自然数,其中必有两个数的和或差是10的倍数。
71设自然数n具有如下性质:
从前n个自然数中任取21个,其中必有2个数的差是5。
求这样的n中最大的那个。
状态分类
72平面上有A,B,C,D,E,F六个点,其中没有三点共线,每两点之间用红线或蓝线连结。
求证:
不管怎样连结,至少存在一个三边同色的三角形。
73证明:
在任意的6个人中必有3个人,他们或者相互认识,或者相互不认识。
74证明:
在任意的10个人中,至少有2个人,他们在这10个人中认识的人数相等。
75证明:
在任意的n个人中,至少有2个人,他们在这n个人中认识的人数相等。
76在一次老朋友的聚会中,大家见面都很高兴,彼此握手。
证明:
随时都有至少两个人握手的次数一样多。
77经过选拨,全市有12个小学足球队参加育红杯足球比赛,比赛规定每两个队之间都要赛一场。
证明:
比赛开始后的任何时间,都至少有两个队比赛过的场次一样多。
78有19个人,每人至少与另外18人中的10人认识。
证明:
可以从中找到3个人,他们彼此相互认识。
79任意将若干个小朋友分为五组,试证明:
其中一定有两组,他们中的男孩总数和女孩总数都是偶数。
80对一块3×7的棋盘,每一格可任意染成黑色或白色。
求证:
对任意的染法,棋盘上至少有一个长方形,它的四个角着色相同。
81在一块5×5的棋盘上,每一格可任意染成黑色或白色。
证明:
对任意的染法,至少有一个四角同色的矩形存在。
8240名学生跳集体舞,其中10名男生和10名女生围成一圈作为内圈,其余的20名学生作为外圈。
当外圈学生转动使每一个学生对着内圈的一个学生时,将两个男生或两个女生相对的情况称为一个配对方式。
证明:
总有一个位置,使得配对数不少于10个。
8325名男生和25名女生随意地围坐成一圈,证明:
至少有1人的两边坐的都是女生。
84九位科学家在一次国际会议上相遇,他们之中的任意三个人中,至少有两个人会说同一种语言。
假设每位科学家最多会说三种语言,试证明:
至少有三位科学家能用同一种语言交谈。
DAAN
七抽屉原理
1(35人。
提示:
闰年的366天中,365人单独过生日,剩下1天有35人一起过生日。
2(42张。
提示:
注意扑克中的两张王牌。
3(15个。
4(
(1)21根;
(2)13根;(3)10根。
5(9个。
6(21条。
7(93人。
8(45次。
提示:
第一把锁试验9次,第二把锁试验8次……
9(44次。
提示:
第一把锁试验8次,其余与第8题类似。
10(15个。
提示:
所有人的苹果个数应当尽量接近。
1,2,…,10,55,(100,55)?
10,4……5,推知10个小朋友的苹果个数应分别为5,6,7,8,9,11,12,13,14,15。
11(7人。
提示:
1,2,…,11,66,400?
66,6……4。
最不利的分法是:
得1,2,…,11本书的各6人,还剩4本书,要使每人不超过11本,无论发给谁,都会使至少有7人得到书的本数相同。
12(提示:
与第11题类似。
13(6人。
提示:
与第11题类似。
设得6,20分的各5人,总计得975分。
14(10只。
提示:
与第11题类似。
15(115人。
提示:
从0分到40分这41个分数中,只有39,38,35三个分数得不到。
16(证明:
因为每人至少有1本书,若6个人的书的数量都不同,则至少有书1,2,3,4,5,6,21(本),现在只有20本,所以至少有2人有相同数量的书。
17(证明:
如果40人的书的数量各不相同,那么至少应有书
0,1,2,…,39,780(本),
而现在的书不足780本,所以至少有2人的书的数量相同。
18(865张。
提示:
数字小于10的45张卡片全抽走,10,100的各抽9张。
此时再抽1张,必有10张数字相同。
19(273个。
解:
从最不利的情况考虑,他摸出2种颜色的珠子每种100个,剩下的8种颜色每种摸出9个。
此时再摸出1个珠子,无论是剩下的8种颜色的哪种都满足题意,所以至少要摸出100×2,9×8,1,273(个)。
20(第一袋19个,第二袋5个。
解:
第一次取完后,只需知道第一袋中有某种颜色的球不足3个即可(取了多少个球,怎样取的都可以不考虑)。
第二次取后,要保证第一袋中每种颜色的球不少于3个,最不利的情况是两种颜色的球各有8个,另一种颜色的球有3个。
所以,第一袋中有球8,8,3,19(个),第二袋中有球4×3×2,19,5(个)。
21(每箱302千克,需17辆汽车。
0.3吨时能装5箱,为使每辆车剩余的载重量尽量大,每箱的重量应大于且尽
19.63吨货物分为65箱,每箱重19.63?
65,0.302(吨),302(千克),这时每辆车只能装4箱,需17辆汽车。
23(能。
24(12棵。
26(提示:
因为只有2种颜色,所以每列的两格有2×2,4(种)不同染法。
28(提示:
一个球也不拿、拿一个球和拿两个球总共有10种不同情况。
29(提示:
取三个球共有10种不同的颜色搭配。
30(11个。
提示:
任意拿两个水果共有10种不同的拿法。
31(12个。
提示:
不参加、参加1个和参加2个总共有11种不同情况。
232(提示:
每对选手选用饮料有2,4(种)不同方法。
333(提示:
用三面旗子共可组成4,64(种)信号。
34(提示:
拿两个相同的球和拿两个不同的球共有10种不同拿法。
35(4人。
提示:
三个球都相同有4种拿法,三个球有两个相同有12种拿法,三个球各不相同有4种拿法。
所以共有20种不同拿法。
36(提示:
因为只有两种颜色的帽子,所以每个横排帽子的颜色排列
3顺序有2,8(种)可能。
37(181人。
解:
从10人中选2人,共有10×9?
2,45(种)不同选法。
要保证至少有5个同学投了相同候选人的票,至少要45×4,1,181(人)。
38(因为最上面一行最大是10,另外三行的数字之和不小于1,2,…,9,45,所以至少有一行的数字之和不小于45?
3,15。
39(5局。
解:
共赛了(9,1)×9?
2,45(场),因为每场至少比赛2局,所以至少比赛了90局。
按乒乓球比赛规则,比赛得分从21比0到21比19有20种可能,再加上22比20,23比21,共有22种可能。
90?
22,4……2,所以至少有5局比分相同。
40(提示:
参赛的队次共有(2n,2)个。
41(提示:
将矩形等分为四个小矩形(见左下图)。
42(提示:
将正三角形等分为四个小正三角形(见右上图)。
43(提示:
将正三角形等分为九个小正三角形(见左下图)。
44(提示:
将圆等分成六个扇形(见右上图)。
45(提示:
将正方形等分为四个小正方形(见左下图),至少有三个点放入同一小正方形内。
46(提示:
将矩形等分为两个小矩形(见右上图),至少有三个点放入同一小矩形内。
47(提示:
按除以3的余数分类。
48(8个。
提示:
按除以7的余数分类。
49(提示:
将(1,19),(3,17),(5,15),(7,13),(9,11)这五组看做五个抽屉。
50(提示:
与第49题类似。
51(提示:
从1开始依次将前100个自然数每5个一组分为20组,显然每组内任意两数之差都小于5。
52(提示:
将(1,2),(3,4,5,6),(7,8,…,14)(15,16,…,30),(31,32,…,62),(63,64,…,125)这六组数作为六个抽屉。
53(提示:
将(20,21,…,30),(31,32,…,46),(47,48,…,70),(71,72,…,106),(107,108,…,160)这五组数作为五个抽屉。
54(提示:
将这100个数分为下面的50组:
26
(1)1,1×2,2,1×2,4,…,1×2,64;
25
(2)3,3×2,6,3×2,12,…,3×2,96;
24(3)5,5×2,10,5×2,20,…,5×2,80;
……
(25)49,49×2,98;
(26)51;
(27)53;
……
(50)99。
这50组数中,每组中的任意两个数都存在倍数关系,故可将这50组数作为50个抽屉。
55(提示:
将这20个奇数分为(1,3,9,27),(5,15,45),(7,21),(11,33),(13,19),(17),(19),(23),(25),(29),(31),(35),(37)共13组,前5组各组内任意两数都存在倍数关系。
56(提示:
与第55题类似。
57(33个。
提示:
与第55题类似,可分为33组,每组都取最大的数。
58(提示:
设八个连续自然数中最小的为α,则可将这八个数分为四组:
(α,α,4),(α,1,α,5),(α,2,α,6),(α,3,α,7)。
每组中两数之差都等于4。
59(1000个。
提示:
由第58题知八个连续自然数中最多能选出四个,使其中任意两个数的差不等于4。
将前1999个自然数每八个一组分为250组,其中最后一组是七个数,每组都取前四个数,这1000个数就是符合题目要求的数。
60(提示:
将(1,2,3,5,7,11),(4,9),(6),(8),(10)这五组数作为五个抽屉。
61(证明:
将前2n个自然数依次每两个分为一组,共分为n组。
从中任意取出(n,1)个数,必有两个数在同一组,这两个数是相邻的两个数,必然互质。
62(提示:
105,3×5×7。
对于任意的8个自然数,必可选出2个数,使它们的差是7的倍数;在剩下的6个数中,又可选出2个数,使它们的差是5的倍数;在剩下的4个数中,又可选出2个数,使它们的差是3的倍数。
363(提示:
由1,2,3组成的三位数有3,27(种),而在三十位数中截取相邻三位有28种截法。
64(提示:
与第63题类似。
65(2个。
提示:
第一天吃3块有(3,3,4),(3,4,3),(3,7)三种吃法;第一天吃4块有(4,3,3),(4,6)两种吃法;第一天吃5,6,7,10块各有一种吃法(5,5),(6,4),(7,3),(10)。
总共有9种不同吃法。
66(不可能。
因为五个格中的数字和最小为1,1,1,1,1,5,最大为3,3,3,3,3,15,只有11个互不相同的值。
而5行、5列及两条对角线上的数字和有12个。
根据抽屉原理,必有两个数字和相等。
67(8个。
提示:
四数之和在4至12之间,有9个不同值,而2×2的方格共有64个。
68(提示:
七个数中必有三对数的奇偶性相同,即满足
121342563α,α,2k,α,α,2k,α,α,2k。
123在k,k,k三个数中又至少有两个奇偶性相同。
69(证明:
构造六个盒子:
第一个盒子放个位数为0的自然数;第二个盒子放个位数为1或9的自然数;第三个盒子放个位数为2或8的自然
数;第四个盒子放个位数为3或7的自然数;第五个盒子放个位数为4或6的自然数;第六个盒子放个位数为5的自然数。
显然,每个盒中的任意两个数或者和是10的倍数,或者差是10的倍数。
现将任意的7个自然数放入这六个盒子,必有一个盒子至少放了2个数。
70(证明:
下面的1999个数中必有一个能被1999整除,
如果不然,那么它们除以1999有1999个余数,而余数只能是1,2,3,…,1998这1998个数,由抽屉原理,至少有两个除以1999得到相同的
与假设矛盾。
71(40。
解:
设计20个抽屉,使得每个抽屉中的两个数的差是5:
(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10),
(11,16),(12,17),(13,18),(14,19),(15,20),
(21,26),(22,27),(23,28),(24,29),(25,30),
(31,36),(32,37),(33,38),(34,39),(35,40)。
这样从前40个自然数中任取21个,必然有2个数在同一抽屉里。
所以40是符合题意的n的一个值。
事实上也是最大的一个,因为从上述20个抽屉中各取一个数,再取一个41,这样得到的21个数中任意2个数的差都不是5。
72(证明:
我们用虚线表示红色,用实线表示蓝色(见右图)。
从任意一点,如从A点出发,向其余五点连五条线段。
因为只有两种颜色,所以至少有三条同色,不妨设AB,AD,AE三条同为蓝色。
再看BD,BE和
ED三条线段,若其中有一条为蓝色,则三边为蓝色的三角形已存在,否则?
BDE就是一个三边同为红色的三角形。
73(提示:
本质上与第72题相同。
74(提示:
本题是第75题当n,10时的特例。
75(证明:
在这n个人中如果有人认识所有的人,那么每个人所认识的人数有从1至(n,1)共(n-1)种可能;如果没有人认识所有的人,那么每个人所认识的人数有从0至(n,2)也是(n-1)种可能。
现有n个人,每人认识的人数有(n-1)种可能,根据抽屉原理,至少有2人认识的人数相等。
76(提示:
与第75题类似。
77(提示:
与第75题类似。
78(提示:
在这19人中,假设A与B认识。
除此之外,A,B还至少各认识其余17人中的9人,所以在这17人中至少有1人,他与A,B都认识。
79(提示:
每组中男孩和女孩人数的奇偶性搭配只有(奇奇),(奇偶),(偶奇),(偶偶)四种可能。
80(证明:
因为只有两种颜色,所以第一行的7个格中至少有4个格着色相同,为确定起见,不妨设前4个格着白色。
如果第二行的前4格有2个着白色,则四个角同色的矩形已经存在,所以我们假定第二行的前4格中至少有3个着黑色,不妨假定前三个格着黑色。
又第四行的前3个格至少有2个同色,当有2个白色时与第一行构成四角同色的矩形,当有2个黑色时与第二行构成四角同色的矩形。
81(证明:
每行有5个格,因为只着黑白两色,根据抽屉原理,必有一