初二数学 勾股定理的逆定理5 答案.docx

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初二数学勾股定理的逆定理5答案

初二数学勾股定理的逆定理5

参考答案与试题解析

一．解答题（共5小题）

1．（2013•贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．

（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为　锐角　三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为　钝角　三角形．

（2）猜想，当a2+b2　＞　c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2　＜　c2时，△ABC为钝角三角形．

（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．

考点：

勾股定理的逆定理；勾股定理．2448894

专题：

压轴题．

分析：

（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；

（2）根据

（1）中的计算作出判断即可；

（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．

解答：

解：

（1）两直角边分别为6、8时，斜边=

=10，

∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；

当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；

故答案为：

锐角；钝角；

（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；

当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；

故答案为：

＞；＜；

（3）∵c为最长边，2+4=6，

∴4≤c＜6，

a2+b2=22+42=20，

①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2

，

∴当4≤c＜2

时，这个三角形是锐角三角形；

②a2+b2=c2，即c2=20，c=2

，

∴当c=2

时，这个三角形是直角三角形；

③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2

，

∴当2

＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．

点评：

本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．

2．（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：

“这楼起码20层！

”小华却不以为然：

“20层？

我看没有，数数就知道了！

”小明说：

“有本事，你不用数也能明白！

”小华想了想说：

“没问题！

让我们来量一量吧！

”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：

（1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？

请说明理由．（参考数据：

≈1.73，

≈1.41，

≈2.24）

考点：

勾股定理的应用．2448894

专题：

应用题．

分析：

（1）设楼高为x，则CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD=150，求出x的值即可；

（2）根据

（1）求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确．

解答：

解：

（1）设楼高为x米，则CF=DE=x米，

∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，

∴AC=

x米，BD=x米，

∴

x+x=150﹣10，

解得x=

=70（

﹣1）（米），

∴楼高70（

﹣1）米．

（2）x=70（

﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，

∴我支持小华的观点，这楼不到20层．

点评：

本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解，难度一般．

3．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=2

，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

考点：

勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．2448894

分析：

根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：

∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．

解答：

解：

∵AC=4，BC=2，AB=

，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．

分三种情况：

如图

（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．

∵DE⊥CB（已知）

∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），

∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），

∵△ABD为等腰直角三角形（已知），

∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），

∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），

∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），

在△ACB与△BED中，

∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），

∴△ACB≌△BED（AAS），

∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），

∴CE=6（等量代换）

根据勾股定理得：

CD=2

；

如图

（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．

∵BC⊥CA（已知）

∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）

∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）

∵△ABD为等腰直角三角形（已知）

∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）

∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）

∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）

在△ACB与△DEA中，

∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证）AB=DA（已证）

∴△ACB≌△DEA（AAS）

∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等）

∴CE=6（等量代换）

根据勾股定理得：

CD=2

；

如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．

∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

∵∠DAB+∠DBA=90°，

∴∠EBD+∠DAF=90°，

∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠DBE=∠ADF，

∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，

∴△AFD≌△DEB，易求CD=3

．

点评：

此题综合考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理．

4．（2011•绵阳）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．

（1）请用a表示第三条边长；

（2）问第一条边长可以为7米吗？

请说明理由，并求出a的取值范围；

（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？

若能，说明你的围法；若不能，说明理由．

考点：

一元一次不等式组的应用；三角形三边关系；勾股定理的逆定理．2448894

专题：

应用题．

分析：

（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长．

（2）本题需先求出三边的长，再根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出a的取值范围．

（3）本题需先求出a的值，然后即可得出三角形的三边长．

解答：

解：

（1）∵第二条边长为2a+2，

∴第三条边长为30﹣a﹣（2a+2）

=28﹣3a．

（2）当a=7时，三边长分别为7，16，7，

由于7+7＜16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7米，

当2a+2≥28﹣3a，即a≥

时，

28﹣3a+a＞2a+2，

a＜

，

则a的取值范围是：

≤a＜

，

当2a+2＜28﹣3a，即a＜

时，

2a+2+a＞28﹣3a，

a＞

，

则a的取值范围是：

．

（3）在

（2）的条件下，注意到a为整数，所以a只能取5或6．

当a=5时，三角形的三边长分别为5，12，13．由52+122=132知，恰好能构成直角三角形．

当a=6时，三角形的三边长分别为6，14，10．由62+102≠142知，此时不能构成直角三角形．

综上所述，能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别为5米，12米，13米．

点评：

本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时要能根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．

5．（2010•资阳）在军事上，常用时钟表示方位角（读数对应的时针方向），如正北为12点方向，北偏西30°为11点方向．在一次反恐演习中，甲队员在A处掩护，乙队员从A处沿12点方向以40米/分的速度前进，2分钟后到达B处．这时，甲队员发现在自己的1点方向的C处有恐怖分子，乙队员发现C处位于自己的2点方向（如图）．假设距恐怖分子100米以外为安全位置．

（1）乙队员是否处于安全位置？

为什么？

（2）因情况不明，甲队员立即发出指令，要求乙队员沿原路后撤，务必于15秒内到达安全位置．为此，乙队员至少应用多快的速度撤离？

（结果精确到个位．参考数据：

，

．）

考点：

勾股定理的应用；方向角．2448894

专题：

应用题．

分析：

（1）根据题意求出BC的长度，继而结合题意即可作出判断；

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在AB边上取一点B1，使CB1=100米，求出BB1的长度，即可得出撤离时需要的速度．

解答：

解：

（1）乙队员不安全．

易求AB=80米，

∵∠DBC=60°，∠BAC=30°，

∴∠BCA=∠BAC=30°，

∴BC=AB=80米＜100米，

∴乙队员不安全．

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在AB边上取一点B1，使CB1=100米，

在Rt△CBD中，∠CBD=60°，BC=80米，则BD=40米，CD=40

米，

在Rt△CDB1中，由勾股定理知B1D=

=20

米，

则BB1=（20

﹣40）米，而

≈2.13秒，

依题意结果精确到个位，所以乙队员至少应以3米/秒的速度撤离．

点评：

本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，另外要仔细审题，理解时钟所表示的方向角大小，有一定难度．