中考真题分类汇编数学专题 4 一元一次方程及其应用.docx
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中考真题分类汇编数学专题4一元一次方程及其应用
中考数学真题分类汇编
一元一次方程及其应用
考点一、一元一次方程的概念（6分）
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程
叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。
一.选择题
1.（2017·广西桂林·3分）如图，直线y＝ax＋b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax＋b＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝0C．x＝﹣1D．x＝﹣3
2．（2017广西南宁3分）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（ ）
A．0.8x﹣10＝90B．0.08x﹣10＝90
C．90﹣0.8x＝10D．x﹣0.8x﹣10＝90
3．（2017海南3分）若代数式x＋2的值为1，则x等于（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
4.（2017·湖北荆州·3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
5.（2017·内蒙古包头·3分）若2（a＋3）的值与4互为相反数，则a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣
C．﹣5D．
二.填空题
1.（2017·浙江省绍兴市·5分）书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 元．
2．（2017·黑龙江龙东·3分）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 180 元．
3．（2017·湖北荆门·3分）为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的
还少5台，则购置的笔记本电脑有 台．
三、解答题
1.（2017·湖北武汉·8分）解方程：
5x＋2＝3（x＋2）．
2.（2017·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：
使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
3.（2017·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？
4．（2017海南）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
答案
一元一次方程及其应用
一.选择题
1.（2017·广西桂林·3分）如图，直线y＝ax＋b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax＋b＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝0C．x＝﹣1D．x＝﹣3
【考点】一次函数与一元一次方程．
【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【解答】解：
方程ax＋b＝0的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax＋b过B（﹣3，0），
∴方程ax＋b＝0的解是x＝﹣3，
故选D
2．（2017广西南宁3分）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（ ）
A．0.8x﹣10＝90B．0.08x﹣10＝90
C．90﹣0.8x＝10D．x﹣0.8x﹣10＝90
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：
设某种书包原价每个x元，可得：
0.8x﹣10＝90，
故选A
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价．
3．（2017海南3分）若代数式x＋2的值为1，则x等于（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：
根据题意得：
x＋2＝1，
解得：
x＝﹣1，
故选B
【点评】此题考查了解一元一次方程方程，根据题意列出方程是解本题的关键．
4.（2017·湖北荆州·3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
【分析】设该商品的进价为x元/件，根据“标价＝（进价＋利润）÷折扣”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设该商品的进价为x元/件，
依题意得：
（x＋20）÷
＝200，
解得：
x＝80．
∴该商品的进价为80元/件．
故选C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x＋20）÷
＝200．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
5.（2017·内蒙古包头·3分）若2（a＋3）的值与4互为相反数，则a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣
C．﹣5D．
【考点】解一元一次方程；相反数．
【分析】先根据相反数的意义列出方程，解方程即可．
【解答】解：
∵2（a＋3）的值与4互为相反数，
∴2（a＋3）＋4＝0，
∴a＝﹣5，
故选C．
二.填空题
1.（2017·浙江省绍兴市·5分）书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 248或296 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元．根据x的取值范围分段考虑，根据“付款金额＝第一次付款金额＋第二次付款金额”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，
依题意得：
①当0＜x≤
时，x＋3x＝229.4，
解得：
x＝57.35（舍去）；
②当
＜x≤
时，x＋
×3x＝229.4，
解得：
x＝62，
此时两次购书原价总和为：
4x＝4×62＝248；
③当
＜x≤100时，x＋
×3x＝229.4，
解得：
x＝74，
此时两次购书原价总和为：
4x＝4×74＝296．
综上可知：
小丽这两次购书原价的总和是248或296元．
故答案为：
248或296．
2．（2017·黑龙江龙东·3分）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 180 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设该件服装的成本价是x元．根据“利润＝标价×折扣﹣进价”即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设该件服装的成本价是x元，
依题意得：
300×
﹣x＝60，
解得：
x＝180．
∴该件服装的成本价是180元．
故答案为：
180．
3．（2017·湖北荆门·3分）为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的
还少5台，则购置的笔记本电脑有 16 台．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台．根据笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的
还少5台，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台，
依题意得：
x＝
﹣5，即20﹣
x＝0，
解得：
x＝16．
∴购置的笔记本电脑有16台．
故答案为：
16．
三、解答题
1.（2017·湖北武汉·8分）解方程：
5x＋2＝3（x＋2）．
【考点】解一元一次方程
【答案】x＝2
【解析】解：
去括号得5x＋2＝3x＋6，
移项合并得2x＝4，
∴x＝2．
2.（2017·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：
使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】
（1）根据“第n节套管的长度＝第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；
（2）同
（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度＝每节套管长度相加﹣（10﹣1）×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
（1）第5节套管的长度为：
50﹣4×（5﹣1）＝34（cm）．
（2）第10节套管的长度为：
50﹣4×（10﹣1）＝14（cm），
设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，
根据题意得：
（50＋46＋42＋…＋14）﹣9x＝311，
即：
320﹣9x＝311，
解得：
x＝1．
答：
每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．
3.（2017·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．
【分析】
（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x＋10）元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
列出方程，求解即可；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品列出方程，求解即可．
【解答】解：
（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x＋10）元，
根据题意得，
解得：
x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解．
答：
甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，
根据题意得，m＋3m＝2000，
解得m＝500，
即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：
70×500＋60×1500＝125000（元）．
答：
若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．
4．（2017海南）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元．根据“购书价格＝《汉语成语大词典》的标价×折率＋《中华上下五千年》的标价×折率”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元，
依题意得：
50%x＋60%（150﹣x）＝80，
解得：
x＝100，
150﹣100＝50（元）．
答：
《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出50%x＋60%（150﹣x）＝80．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
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