苏科版中考数学二轮复习课时训练15二次函数与一元二次方程及不等式含答案.docx

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苏科版中考数学二轮复习课时训练15二次函数与一元二次方程及不等式含答案

课时训练（十五）　二次函数与一元二次方程及不等式

（限时:

30分钟）

|夯实基础|

1.[2018·无锡梁溪区初三模拟]已知m,n（m

A.a

C.a

2.如图K15－1,已知顶点为（－3,－6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1,－4）.则下列结论中错误的是（　　）

图K15－1

A.b2>4ac

B.ax2+bx+c≥－6

C.若点（－2,m）,（－5,n）在抛物线上,则m>n

D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=－4的两根为－5和－1

3.若二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象经过点（2,0）,且其对称轴为直线x=－1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是

（　　）

A.x<－4或x>2B.－4≤x≤2

C.x≤－4或x≥2D.－4

4.若函数y=（a－1）x2－4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为　　　　. 

5.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=　　　　;当1

6.关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0）,则a的取值范围

是　　　　. 

7.[2018·乐山]已知关于x的一元二次方程mx2+（1－5m）x－5=0（m≠0）.

（1）求证:

无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;

（2）若抛物线y=mx2+（1－5m）x－5与x轴交于A（x1,0）,B（x2,0）两点,且|x1－x2|=6,求m的值;

（3）若m>0,点P（a,b）与Q（a+n,b）在

（2）中的抛物线上（点P,Q不重合）,求代数式4a2－n2+8n的值.

8.[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx－3a经过点A,将点

B向右平移5个单位长度,得到点C.

（1）求点C的坐标;

（2）求抛物线的对称轴;

（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.

9.[2018·南京]已知二次函数y=2（x－1）（x－m－3）（m为常数）.

（1）求证:

不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;

（2）当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?

|拓展提升|

10.[2018·贵阳]已知二次函数y=－x2+x+6及一次函数y=－x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数（如图K15－2所示）,当直线y=－x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是

（　　）

图K15－2

A.－

11.[2018·日照]在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=

（m<0）的图象与

y=x2－4的图象在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为　　　　. 

12.[2018·舟山]已知,点M为二次函数y=－（x－b）2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.

（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.

（2）如图①,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>－（x－b）2+4b+1.根据图象,写出x的取值范围.

（3）如图②,点A坐标为（5,0）,点M在△AOB内,若点C

y1

D

y2

都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.

图K15－3

参考答案

1.D

2.C　[解析]点（－2,m）关于对称轴的对称点是（－4,m）,在对称轴x=－3左侧,图象从左向右下降,所以点（－5,n）在点（－4,m）的上方,所以n>m,故选C.

3.D　[解析]根据二次函数的图象经过点（2,0）,且对称轴为直线x=－1,可得函数的图象与x轴的另一个交点为（－4,0）,由于a<0,所以抛物线开口向下,当y>0时,函数图象在x轴上方,由图象可知x的取值范围是－4

4.－1或2或1　[解析]∵函数y=（a－1）x2－4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,

∴当函数为二次函数时,b2－4ac=16－4（a－1）×2a=0,

解得a1=－1,a2=2,

当函数为一次函数时,a－1=0,解得a=1.

故答案为－1或2或1.

5.－1　增大　[解析]当y=0时,即x2+2x+1=0,解得x1=x2=－1,可得二次函数图象的对称轴是直线x=－1.因为二次项系数a=1>0,所以抛物线开口向上,在对称轴的右侧y随x的增大而增大.

故答案为－1　增大.

6.－

∴Δ=9+4a>0.∴a>－

.

又∵两个不相等的实数根都在－1和0之间,

∴当x=－1和x=0时的函数y=ax2－3x－1的值同号.

∵当x=－1时,y=a+2;当x=0时,y=－1.

∴a+2<0,即a<－2.

综上所述a的取值范围为－

7.解:

（1）证明:

由题意得:

Δ=（1－5m）2－4m×（－5）=（5m+1）2≥0,

∴无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根.

（2）解方程mx2+（1－5m）x－5=0,得x1=－

x2=5.

由|x1－x2|=6,得

=6.

解得m=1或m=－

.

（3）由

（2）得,当m>0时,m=1.

此时抛物线解析式为y=x2－4x－5,

其对称轴为直线x=2.

由题意知,P,Q关于直线x=2对称.

∴

=2,∴2a=4－n.

∴4a2－n2+8n=（4－n）2－n2+8n=16.

8.解:

（1）∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,

∴A（－1,0）,B（0,4）.

∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,

∴C（0+5,4）,即C（5,4）.

（2）∵抛物线y=ax2+bx－3a经过点A,

∴a－b－3a=0.∴b=－2a.

∴抛物线的对称轴为直线x=－

=－

=1,即对称轴为直线x=1.

（3）易知抛物线过点（－1,0）,（3,0）.

①若a>0,如图所示,易知抛物线过点（5,12a）,若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥

.

②若a<0,如图所示,易知抛物线与y轴交于（0,－3a）,要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须－3a>4,此时a<－

.

③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为（1,4）,从而解析式为y=a（x－1）2+4,将A（－1,0）代入,解得a=－1,如图所示:

综上,a的取值范围是a≥

或a<－

或a=－1.

9.解:

（1）证明:

当y=0时,2（x－1）（x－m－3）=0,解得x1=1,x2=m+3.

当m+3=1,即m=－2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠－2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.

（2）当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.

当2m+6>0,即m>－3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.

10.D　[解析]在抛物线y=－x2+x+6中,令y=0时,即－x2+x+6=0,解得x1=－2,x2=3,即抛物线y=－x2+x+6与x轴交点坐标分别为（－2,0）,（3,0）.∵抛物线y=－x2+x+6沿x轴翻折到x轴下方,∴此时新抛物线y=x2－x－6（y<0）与y轴交点坐标为（0,－6）.当直线y=－x+m过（－2,0）,（0,－2）时,m=－2.此时直线y=－x+m与x轴下方图象只有三个交点.如图所示,要使直线y=－x+m与新图象有4个交点,需y=－x+m与y=x2－x－6有两个交点,则－x+m=x2－x－6有两个不同解,整理得x2=m+6,所以m>－6时,直线y=－x+m与抛物线y=x2－x－6有两个交点,m的取值范围是－6

11.－2≤m<－1　[解析]当x=1时,y=x2－4=1－4=－3.

所以在第四象限内在二次函数y=x2－4的图象上和图象上方的整点有3个,坐标为（1,－1）,（1,－2）,（1,－3）.

当反比例函数y=

（m<0）的图象经过点（1,－2）,

即m=xy=－2时,在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2个,

当反比例函数y=

（m<0）的图象经过点（1,－1）,

即m=xy=－1时,在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为3个,

∵在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2,

∴m的取值范围为－2≤m<－1.

12.[解析]

（1）根据二次函数顶点式可以知道M（b,4b+1）,将坐标代入y=4x+1,问题得解;

（2）由题意知B（0,5）,二次函数图象过点B,代入解析式可求得b的值,求得A点坐标,再利用函数图象比较大小;

（3）先通过点M在△AOB内得到b的取值范围,再根据抛物线的对称性和增减性解决y1,y2大小关系.

解:

（1）∵点M坐标是（b,4b+1）,

∴把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,

∴点M在直线y=4x+1上.

（2）如图①,∵直线y=mx+5与y轴交于点B,∴点B坐标为（0,5）.

又∵B（0,5）在抛物线上,

∴5=－（0－b）2+4b+1,解得b1=b2=2,

∴二次函数的表达式为y=－（x－2）2+9,

当y=0时,得x1=5,x2=－1.∴A（5,0）.

观察图象可得,当mx+5>－（x－b）2+4b+1时,x的取值范围为x<0或x>5.

（3）如图②,设直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,而直线AB表达式为y=－x+5,

解方程组

得

∴点E

又∵F（0,1）.

点M在△AOB内,

∴0

.

当点C,D关于抛物线对称轴（直线x=b）对称时,

b－

=

－b,∴b=

.

且二次函数图象的开口向下,根据二次函数图象的对称性和增减性可知.

①当0

时,y1>y2;

②当b=

时,y1=y2;

③当

时,y1