秋季课程初二数学第1讲与三角形有关的线段和角教案.docx

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秋季课程初二数学第1讲与三角形有关的线段和角教案

第1讲与三角形有关的线段和角

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

人教版

课时时长（分钟）

120

知识点

三角形的概念；三角形三边的关系定理及推论；三角形中的主要线段；三角形内角和定理；三角形的外角性质

教学目标

了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；

理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；

认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题

教学重点

三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质

教学难点

用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角

教学过程

一、复习预习

1、三角形是我们早已熟悉的图形，例举出日常生活中的三角形物体；

2、根据对三角形的了解画出一个三角形，复习已经学过的关于三角形的相关知识：

三角形的面积公式、三角形的稳定性等。

二、知识讲解

考点1三角形的相关概念

1、不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形

2、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点

3、三角形ABC用符号表示为△ABC。

三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

考点2三角形的分类

考点3三角形三边的关系

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

考点4三角形的高

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。

注意：

高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

再画出这个三角形AB、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

再画出一个直角三角形三边上的高，上面的结论还成立。

请画出下列三角形的高

考点5三角形的中线

如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝

BC或2BD=2DC=BC.

在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点。

三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。

请画出下列三角形的中线

考点6三角形的角平分线

如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝

∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立。

请画出下列三角形的角平分线

考点7三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°

用平行线的性质证明内角和180°

已知△ABC，求证：

∠A+∠B+∠C=180°。

证明：

过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，

又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°。

即：

三角形的内角和等于180°。

考点8直角三角形的两个锐角互余

由三角形内角和定理容易得到：

直角三角形的两个锐角互余，这是直角三角形的一个重要性质，运用它可以解决直角三角形中交的计算问题。

考点10三角形外角的概念

∠ACD叫做△ABC的外角。

也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角共有六个。

注意：

每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。

研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角

考点11三角形外角的性质

三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角。

如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CM∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2

又∠ACD=∠1+∠2

∴∠ACD=∠A+∠B

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三、例题精析

【例题1】

【题干】如图所示，三角形的个数是（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【答案】D

【解析】BD，BE，BC，DE，DC，EC六条线段分别和A组成6个三角形．故选D

【例题2】

【题干】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？

为什么？

【答案】

（1）设底边长为xcm，

∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，

∴2x+2x+x=18，解得，x=

cm，

∴2x=2×

=

cm，∴各边长为：

cm，

cm，

cm

（2）①当4cm为底时，腰长=

=7cm；

②当4cm为腰时，底边=18-4-4=10cm，

∵4+4＜10，

∴不能构成三角形，故舍去；

∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．

【解析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解

（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；

（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验

【例题3】

【题干】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（　　）

A．5B．10C．11D．12

【答案】B

【解析】根据三角形的三边关系，得第三边大于：

8-3=5，而小于：

3+8=11．则此三角形的第三边可能是：

10．故选：

B．

【例题4】

【题干】一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）

A．17B．15C．13D．13或17

【答案】A

【解析】①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选A．

【例题5】

【题干】下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高

【例题6】

【题干】BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，求△ABM与△BCM的周长之差

【答案】解：

5-3=2cm．答：

△ABM与△BCM的周长之差为2cm．

【解析】根据三角形的中线的概念，由BM是△ABC中AC边上的中线得AM=CM．所以△ABM与△BCM的周长之差为AB与BC的差．

【例题7】

【题干】如右图，在ΔABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是；

【答案】80°

【解析】∵AD平分∠BAC，∠BAD=30°，

∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，

∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°．

故答案为：

80°．

【例题8】

【题干】如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。

求∠ADB得度数。

【答案】∵AD平分∠CAB，∠BAC=40°，

∴∠DAB=

∠BAC=20°，

∵∠B=75°，

∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°

【解析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：

三角形的内角和等于180°。

根据角平分线定义求出∠DAB，根据三角形内角和定理得出∠ADB=180°-∠DAB-∠B，代入求出即可．

【例题9】

【题干】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

【答案】∠CBA=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°

∵AD∥BE∴∠BAD+∠ABE=180°

∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°

∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°

∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°

答：

从C岛看AB两岛的视角∠ACB=180°是90°。

【解析】根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。

【例题10】

【题干】如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？

为什么？

【答案】∠CAE与∠DBE相等．

理由如下：

∵在△CAE，△DBE中，∠C=∠D=90°，∠CEA=∠DEB，

∴∠CAE=90°-∠CEA，∠DBE=90°-∠DEB，

即∠CAE=∠DBE．

【解析】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余和对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键．

根据对顶角相等可得∠CEA=∠DEB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．

【例题11】

【题干】如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

【答案】解：

∵∠BAE+∠BAC=180°，∠CBF+∠ABC=180°，∠ACD+∠ACB=180°，

∴∠BAE+∠BAC+∠CBF+∠ABC+∠ACD+∠ACB=3×180°=540°，

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°，

即三个外角的和于360°．

【解析】此题比较简单，考查的是三角形的内角和为180°及平角的性质。

根据平角的性质求出三角形三个外角及三个内角的度数，再由三角形的内角和为180°即可求解．

【例题12】

【题干】如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=

【答案】66.5°

【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，

∴∠EAC=

∠DAC，∠ECA=

∠ACF；

又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），

∴

∠DAC+

∠ACF

=

（∠B+∠2）+

（∠B+∠1）

=

（∠B+∠B+∠1+∠2）=

（外角定理），

∴∠AEC=180°-（

∠DAC+

∠ACF）=66.5°；

故答案是：

66.5°．

【例题13】

【题干】

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．

①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？

②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？

（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？

【答案】

（1）∠BOC=90°+

∠A．理由如下：

∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，

∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+

∠A．

①当∠A=40°，∠BOC=110°；

②当∠A=n°，∠BOC=90°+

°

（2）∠B′O′C′=

∠A′．理由如下：

∵∠O′C′D=∠B′O′C′+∠O′B′C′，∠A′C′D=∠A′B′C′+∠A′，

而B′O′平分∠A′B′C′，C′O′平分∠A′C′D，

∴∠A′C′D=2∠O′C′D，∠A′B′C′=2∠O′B′C′，

∴2∠B′O′C′+2∠O′B′C′=∠A′B′C′+∠A′，

∴2∠B′O′C′=∠A′，

即∠B′O′C′=

∠A′．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+

∠A．

（2）根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=

∠A；

课程小结

1、对于三角形的概念学生在之前已有所接触，要注意三角形按边分类的分法，这是学生容易出错的地方，本节的重点和难点是“两边的和大于第三边，两边的差小于第三边”。

2、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

3、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

4、探索和证明与三角形的角有关的结论，并运用这些结论解决问题。

（三角形的内角和等于180°，直角三角形的两个锐角互余。

）

5、用平行线的性质与平角的定义给出这个结论的证明。

6、三角形的外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、注意性质的灵活应用，及在计算中的应用。