工程力学第四章轴向拉伸与压缩重点.docx
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工程力学第四章轴向拉伸与压缩重点
课时授课计划
授课日期2011.10.22
班别1044-3
题目第四章轴向拉伸与压缩
目会应用截面法求指定截面的轴力
的能较熟练的分析拉（压）杆件的内力，绘制相应的轴力图。
要掌握拉（压）变形的应力及强度的计算。
求
重
截面法求轴力、绘制轴力图、强度计算
点
难
截面法、强度计算
点
教具课本教学方法课堂教学
第四章轴向拉伸与压缩
第一节轴向拉（压）杆的内力与轴力图
第二节轴向拉（压）杆横截面上的正应力
报第三节轴向拉（压）杆的强度计算
第四节轴向拉（压）杆的变形计算
第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能
书
设
计
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教学过程：
复习：
1、复习平面一般力系的平衡条件及平衡方程。
2、复习平面平行力系的平衡方程。
新课：
第四章轴向拉伸与压缩
第一节轴向拉（压）杆的内力与轴力图
一、用截面法求轴向拉（压）杆的内力
1、内力
外力：
作用在杆件上的载荷和约束反力统称为“外力”。
内力的概念：
构件的材料是有许多质点组成的。
构件不受外力作用时，材料内部质点之
间保持一定的相互作用力，使构件具有固体形状。
当构件受外力作用产生变形
时，其内部质点之间相互位置改变，原有内力也发生变化。
这种由外力作用而
引起的受力构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力，简称内力。
实践证明，对于特定的材料，内力的增加有一定的限度，超过了这个限度，杆件就会被拉断而破坏。
2、截面法
1）截面法
如左图所示的构件，在杆端沿杆的轴线作用着大小相等、方向相反的两个力F，杆件处于平衡状态，求m
—m断面上的内力。
（1）为显示内力，用一假想截面将构件在m—m断面处切开，将构件分为A段和B段。
任意保留一段（如
A段）为研究对象，弃去另一段（如B段）。
（2）在保留段A的m—m截面
上，各处作用着内力，设这些内力的合力为
的作用力。
轴向拉伸的内力计算
N，它是弃去部分B对保留部分A
（3）由于整个杆件原来处于平衡状态，所以截开后的任意一部分仍应保
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持平衡，故可对保留部分
A建立平衡方程。
Fx0
，
N
F
0
故
N
F
（a）
N即是截面m—m上的内力。
由作用和反作用公理可知，若保留B段研究，也可得出同样的结果。
式（a）称为内力方程，它反映了截面上的内力N与该截面一侧外力间的关系。
上述利用假想截面将杆件切开，以显示并计算内力的方法，称为截面法。
在其他基本变形中，内力也都用此方法求得。
2）截面法求内力的步骤可归纳为:
（1）截开:
在欲求内力截面处,用一假想截面将构件一分为二。
（2）代替:
弃去任一部分,并将弃去部分对保留部分的作用以相应内力代替
（即显示内力）。
然后画出作用于留下部分的受力图。
（3）平衡:
根据保留部分的平衡条件（N=F）,确定截面内力的大小和方向。
轴若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相
等而指向相反。
注意：
杆件受到的外力多于两个的情况下，需要先根据外力的作用点将杆件进行分段后再计算轴力。
3、轴力
受轴向拉压杆件，由于外力的作用与杆件的轴线重合，根据连续性假设由
此而产生的内力也是连续分布在截面上的，分布内力的合力的作用线也必然与
杆的轴线重合，这种内力也称为轴力。
常用字母N表示。
通常规定拉伸时轴力取正号（即轴力的箭头背离截面），压缩时轴力取负
号（即轴力的箭头指向截面）。
计算轴力时可设轴力为正，这样求出的轴力正
负号与变形保持一致。
二、轴力图
档杆件同时受到多个轴向外力作用时，杆件内不同的横截面处有不同的轴力。
为了清楚地表明杆内轴力随截面位置的改变而变化的情况，引用轴力图。
轴力图的绘制方法：
用平行于杆轴线的坐标轴x表示杆件横截面的位置，
以垂直于杆轴线的坐标轴FN表示相应截面上的轴力的大小，正的轴力画在x轴上方,负的轴力画在x轴下方。
这种表示轴力沿杆件轴线变化的规律的图形，称为轴力图。
在轴力图上，除应标明轴力的大小、单位外，还应标明轴力的
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正负号。
绘制轴力图的注意事项：
1）轴力图的横坐标要与杆件长度相对应；
2）轴力图的纵坐标大小要成比例；
3）轴力图的纵坐标要标明数值大小及正负；
4）轴力图是一条连续的图线，不能间断，在集中力作用处，轴力图有突变，突变的大小等于集中力的大小；
5）在轴力图上要画出阴影线。
轴力图的意义
①直观反映轴力与截面位置变化关系；
②确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
例题
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第二节轴向拉（压）杆横截面上的正应力
一、应力概念
两根材料相同而粗细不同的杆件，承受着相同的轴向拉力，两杆的内力大小是相同的。
但是随着拉力的增加，细杆将首先被拉断，这说明只知道内力大小还不能判断杆件是否会因强度不足而破坏，还必须知道内力在横截面上分布的密集程度（集度）。
细杆被拉断，是因为内力在较小面积上分布密集度大。
应力：
内力在单位面积上的分布集度。
它反应了内力在横截面上分布的密集程度。
通常应力与截面既不垂直也不相切，将它分解成垂直于截面的分量和相切于截面的分量，垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用ζ表示；相切于截面的应力分量称为剪应力或切向应力，用η表示。
应力的单位是：
Pa（帕斯卡）、kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）
23
1Pa=1N/m、1kPa=10Pa、1MPa=1N/mm2=106Pa、1GPa=109Pa
2
工程上常用MPa作为应力的单位，1MPa=1N/mm。
二、轴向拉（压）杆横截面上的正应力
平面假设：
杆件变形前横截面为平面，变形后横截面仍然保持为平面且垂直于杆轴线，只是沿杆轴线方向作了平行移动。
轴向拉伸与压缩时，横截面上各处产生正应力，且均匀分布。
设杆件横截面面积为A，截面上的轴力为FN，则轴向拉伸与压缩时等直杆横截面上的正应力ζ的计算公式：
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σ=FN/A
的符号与轴力FN的符号相同：
当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力；
当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力。
σ=FN/A的适用条件：
只适用于轴向拉伸与压缩杆件。
结论：
轴向拉压杆横截面上的正应力除与荷载有关外，还和横截面的面积有关，而与杆件的材料无关。
可以用应力作为判断杆件强度高低的标准。
第三节轴向拉（压）杆的强度计算
一、许用应力与安全系数
在工程实际中，若要使杆件能够安全、正常地工作，杆件必须具有一定的强度，即杆件必须具有足够的抵抗破坏的能力。
当塑性材料达到屈服极限时，有较大的塑性变形；当脆性材料达到强度极限时，会引起断裂。
构件工作时，这两种情况是不允许发生的。
我们把构件发生显著变形或断裂时的最大应力，称为极限应力，用o表示。
对塑性材料以屈服极限为极限应力：
对脆性材料以强度极限为极限应力：
公式σ=FN/A为轴向拉压杆在载荷作用下的实际应力，称为工作应力。
为了保证构件安全、正常工作，仅把工作应力限制在极限应力以内是不够的。
因实际构件的工作条件受许多外界因素及材料本身性质的影响，故必须把工作应力限制在更小的范围，以保证有必要的强度储备。
为保证杆件能够安全正常工作，工程中规定了材料容许使用的最大正应力值，称为许用应力，用[]表示。
式中：
[]——材料的许用应力；
o
0
K——安全系数，K>1。
确定安全系数K时，主要考虑的因素有：
材料质量的均匀性，荷载估计[]的准确性，计算方法的正确性，构件在结构中的重要性及工作条件等。
一般构件在常温、静载条件下：
塑性材料：
Ks=1.5~2.5
脆性材料：
Kb=2~3.5
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许用应力[]是强度计算中的重要指标，其值取决于极限应力o及安全系
数K。
塑性材料：
为材料的名义屈服极限。
[]
s或[]
0.2
Ks
K
脆性材料：
安全系数的选取和许用应力的确定，关系到构件的安全与经济两方面。
二、轴向拉（压）杆的正应力强度条件0.
[]
b
K
拉压杆的强度条件：
杆件的最大工作应力不能超过材料的许用应力。
即
式中：
——横截面上的最大工作应力；
——产生最大工作应力界面的轴力，这个截面称为危险截面；
A——危险截面的横截面积；
[σ]——材料的许用应力。
对于等直杆，轴力最大的截面为危险截面；对于变截面直杆，若轴力不变，横截面积最小的截面为危险截面；若杆件为变截面杆，且轴力也是变化的，FN
[FN/A]max所在的截面为危险截面。
三、强度条件的应用
1、三类强度问题
（1）强度校核
若已知杆件所受载荷（可求出轴力FN）、截面尺寸（可求出面积A）及材
料的许用应力[]，用强度条件可判断杆件是否满足强度要求，及是否满足
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FNmax
[
max
A
的要求，若不满足应重行进行截面设计。
（2）设计截面尺寸
若已知构件所受荷载（FN）、材料的许用应力[]，确定横截面积A，有强度条件得
该式求出的是截面的最小面积。
（3）确定许可载荷
已知构建的横截面积（A）、材料的许用应力[]，则构建所能承受的最大轴力为
FNmax
[
该式求出的FN的最小值。
根据
max
[P]。
FN与外载荷P之间的关系就可以求出
A
结合书P83-84例3-5、例3-6对强度计算进行详细讲解。
2、例题
例1：
一直径d=14mm的圆杆，许用应力[ζ]=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN
作用，试校核此杆是否满足强度条件。
解：
Nmax
2.5
10
3
max
A
162MPa<[]
142
106
4
满足强度条件。
例2：
刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力[]=160MPa，试校核CD杆的强度,并求：
（1）结构的许可荷载[F];
（2）若F=50kN,设计CD杆的直径.
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D
AC
F
B
2aa
解：
D
（1）求CD杆的内力
F
3F
MA
0FNCD
C
2
A
B
FNCD
3F/2
119MPa
a
A
d2/4
2a
[]
（2）结构的许可荷载[F]
FRAy
FNCD
F
由
CD
FNCD
[
]
FRAx
A
C
B
A
3F
得FNCD[]A
2
[F]=33.5kN
由
FNCD
[
]
CD
A
3F/2
得
FNCD
A
[
]
[]
FRAy
FNCD
F
d2
3F/2
4
[]
FRAx
d=24.4mm
取d=25mm
A
C
B
第四节轴向拉（压）杆的变形计算
一、弹性变形和塑性变形
弹性：
当载荷不超过某一定范围时，大多数材料在去除载荷后能即刻恢复它的原有形状和尺寸。
弹性变形：
在去除载荷后能够消失的变形。
塑性：
当载荷超过某一定范围时，在去除载荷后，变形只能部分地恢复，而残留下一部分变形不能消失。
塑性变形：
不能恢复而残留下来的变形。
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二、胡克定律
杆件受轴向力作用时，沿杆件轴线方向会伸长或缩短，同时杆件的横向尺寸将缩小或增大。
我们把杆件沿轴线方向伸长或缩短称为纵向变形；横截面方向尺寸的改变量称为横向变形。
FF
l
l1
杆件在拉伸或压缩时长度发生改变，其改变量称为绝对变形，用L表示。
设杆件变形前的长度为L，变形后的长度为L1，则其绝对变形
LL1L
显然，拉伸时绝对变形为正，压缩时绝对变形为负。
单位：
m（米）或mm（毫米）。
实验证明，材料在弹性范围内发生变形时，L与外力FP和杆长L成正比，与横截面积成A反比。
即
L
FPL
A
引入比例系数E，且FP=N，则上式可写作
LFNLEA
式中：
E——材料的拉（压）弹性模量，它与材料的性质有关，是衡量材料抵抗变形的一个指标，单位是Pa或GPa。
该式所表达的关系称作拉压胡克定律。
EA称为抗拉（压）刚度，它反映
了杆件抵抗拉（压）变形的能力。
对于长度相同、受力相同的杆件，EA越大，纵向变形L就越小；EA越小，纵向变形L就越大。
绝对变形与杆件的长度有关，为去掉杆件原长对变形的影响，常用单位长
度的变形量来表示杆件的变形程度，称之为纵向线应变（或线应变），用表
示
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LL
为无量纲的量，其正负号取决于绝对变形：
拉伸时为正值；压缩时为
负值。
上式是胡克定律的另一种表示方法，
L
1
FN
其意义为：
在弹性范围内，正应力和正应
变成正比。
L
E
虎克定律的适用范围：
1）杆件的应力必须在弹性范围内；
2）应用公式时，在杆长
L
F
N
L内，杆件轴力
N、,材料的弹性模量E及截面面积A
都应是常数。
L
A
第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能E
力学性能：
材料在外力作用下，在受力和变形方面所表现出来的各种力学性能。
不同的材料具有不同的力学性能。
材料的力学性能可通过实验得到。
——常温静载下的拉伸压缩试验
常温静载实验：
通过材料在室温、静载的条件下进行的拉伸、压缩试验测定出来的。
一、材料在拉伸时的力学性能
标距：
试件中间部分是一段等直杆用来测量变形，其间的长度成为标距。
常用的标准试件有圆截面和矩形截面两种。
圆截面试件标距l和截面直径d的比例关系有两种：
l=10d或l=5d。
矩形截面试件标距l和截面面积A的比例关系有两种：
1、低碳钢的拉伸试验
1）拉伸图和应力—应变图
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表示F和l关系的曲线，称为拉伸图。
拉伸图与试样的尺寸有关。
为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应力；同时把l除以标距的原始长度l，得到应变。
F
e
d
c
b
a
f
Od′g
f′h
l
l0
表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图。
e
c
b
a
f
eb
ps
O
fh
′
2）拉伸过程的四个阶段
（1）弹性阶段（oab）
这一阶段可分为：
斜直线Oa和微弯曲线ab，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。
Oa段：
变形是线弹性的，应力与应变成正比。
直线oa为线弹性区，其应力与应变之比称材料的弹性模量（杨氏模量）E，几何意义为应力--应变曲线上直线段的斜率，即E=ζ/ε=tgα，它是反映材料弹性性能的指标，单位为MPa、GPa。
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oa段地最高点a点所对应的应力σp称为比例极限，它是材料满足虎克定律的最大应力。
：
在比例极限内，正应力与正应变成正比关系。
B点所对的应力σe是材料发生弹性变形的最高应力，称为弹性极限。
（2）屈服阶段（bc）
当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服。
屈服：
应力基本不变，而应变显著增加的现象。
在此阶段，材料暂时失去抵抗变形的能力。
E
s—屈服极限：
屈服段内最低的应力值。
表面磨光的试件（低碳钢），屈服时可在试件表面看见与轴线大致成45°倾角的条纹。
这是由于材料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移线。
因为在45°的斜截面上剪应力最大。
（3）强化阶段（ce）
过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化。
强化阶段的变形绝大部分是塑性变形。
强化阶段的最高点e所对应的应力是材料能承受的最高应力σb，称为强度极限（拉伸过程中最高的应力值）。
它是衡量材料强度的另一重要指标。
（4）颈缩断裂阶段（ef）
过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象，一直到试样被拉断。
在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。
比例极限σp、屈服极限σs、强度极限σb，其中σs和σb是衡量材料强度的重要指标。
3）延伸率和截面收缩率
（1）伸长率
试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由l变为l1，这个变化率称为延伸率，用表示。
l1l100%
l
5%的材料为塑性材料如低碳钢，它的延伸率高达20%~30%是很好的塑性材料；5%的材料为脆性材料，如铸铁、玻璃、混凝土等。
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（2）截面收缩率
试件拉断处横截面积由原来的A变为A1，这个变化率称为截面收缩率，用表示。
AA1
A
低碳钢的截面收缩率一般为60%~70%。
4）冷作硬化
100%
冷作硬化：
常温下把材料予拉到塑性变形阶段，然后卸载，再次加载时，材料的线弹性范围将增大，使材料屈服极限提高，而塑性降低。
工程上常利用冷作硬化来提高材料屈服极限，从而提高承载能力，如冷拉钢筋、冷拔丝刚等。
2、其他材料拉伸时的力学性能
（1）其他塑性材料拉伸时的力学性能
所有材料的拉伸变形都分为四个阶段。
各类碳素钢中，随着含碳量的增加，屈服极限和强度极限逐渐上升，伸长率逐渐下降。
工程上以这些材料产生ε=0.2%的塑性变形时所对应的应力作为屈服极限，称为名义屈服极限。
对于没有明显屈服阶段的材料用名义屈服应力表示－σ0.2。
0.2
o
（2）铸铁拉伸时的力学性能
图中没有明显的直线部分，且拉力很小时铸铁就被拉断。
断裂时的应力就是强度极限ζb，ζb是衡量脆性材料强度的唯一指标。
通常把产生0.1%的应变所对应的应力范围作为弹性范围，并认为材料在这个范围内近似的服从虎克定律。
它的弹性模量使用割线代替应力—应变曲线，以割线的斜率tgα为的近似值，称为割线弹性模量。
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Etan割线斜率
/MPa
ｂ
α
O
/%
铸铁的弹性模量E约为115~160GPa。
二、材料在压缩时的力学性能
1、低碳钢的压缩试验
压缩的实验结果表明：
低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限s都与拉伸时大致相同。
屈服阶段后，试样越压越扁，横截面面积不断增大，抗压面积增大，抗压能力曾强，试样不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限。
s
O
2、铸铁的压缩试验
铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45°～55°倾角，表明这类试样主
要因剪切而破坏，铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的4～5倍。
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ｂ
O
/%
三、两类材料力学性能的比较
（1）强度方面
塑性材料在拉伸和压缩时的弹性极限和屈服极限基本相同，对受拉和受压构件都适用。
脆性材料的压缩强度极限远比拉伸时大，一般只适用于受压构件。
（2）变形方面
塑性材料的延伸率δ和断面收缩率ψ都比较大，构件破坏前有较大塑性变形；材料可塑性强，便于加工和安装矫正。
脆性材料的δ和ψ值都较小，难以加工和矫正。
综合上所述，塑性材料的力学性能较脆性材料好。
但实际生活中，不但要从材料的力学方面考虑，还要从合理发挥材料性能和经济性考虑。
必须指出，上述关于塑性材料和脆性材料的概念是指常温、静载时的情况。
实际上，同一种材料在外界因素（如温度高低、受力状态等）影响下，可能表
现为塑性，也可能表现为脆性。
四、极限应力、安全系数、许用应力
从材料的拉压试验中我们知道，塑性材料到达屈服极限s时，将出现显
著的塑性变形；脆性材料到大强度极限b时会发生断裂。
我们把构件发生显著塑性变形或断裂时的应力，称作极限应力或危险应力，并用o表示。
对塑性材料
对脆性材料
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为了保证构件能正常地工作，在设计计算时不能以材料的极限应力作为依据，必须考虑一个安全储备，工程中规定构件工作时允许的最大应力值为
式中n为一个大于1的数，称为安全系数。
[]就是强度条件中用到的材料许用应力。
小结：
1、杆件四种基本变形及组合变形
2、用截面法求轴向拉（压）杆的内力
3、正应力的计算
4、轴向拉压杆的强度计算
5、弹性变形和塑性变形
6、胡克定律
7、材料在拉伸时的力学性能
8、材料在压缩时的力学性能
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