初中数学论文用列表法解应用题.docx
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初中数学论文用列表法解应用题
用列表法解应用题
初中一年级学生刚刚进入少年期，机械记忆力较强，分析能力仍然较差。
初学列方程解应用题时主要存在三个方面的困难：
（1）抓不住相等关系。
（2）找出相等关系后不会列方程。
（3）习惯于算术解法。
鉴此，要提高初一年级数学应用题教学效果，务必要提高学生的分析能力。
这是每一个初一数学老师值得认真探索的问题。
下面通过举例，重点说明用列表法解几类应用题。
一、解题思路
1、在仔细审题的过程中，边阅读边将复杂背景中的已知量、未知量（可用字母代替）分类列成表格；
2、利用表格的横向、纵向联系便很容易把握各量之间的关系，准确地得到方程、方程组，不等式、不等式组。
二、应用举例
1行程问题
例1、甲、乙两人从相距为195千米的A,B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。
已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时。
如果甲先行1时后乙才出发，问甲再行多少时间与乙相遇？
分析：
这是一道行程问题中的相遇问题。
有甲、乙两人，故分两行，每个人又都要
求所走的路程，故分3列。
设甲再行x小时与乙相遇，列表如下：
先行1时的路程（千米）
后行的路程（千米）
各走的总路程（千米）
甲
15
15x
15+15x
乙
——
45x
45x
相等关系：
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙相距的路程
列方程：
15+15x+45x=195，
解得：
x=3.
答：
甲再行3时与乙相遇。
例2、甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时、同向出发，甲在前，乙在后。
甲骑自行车的速度为15千米/时，乙骑摩托车的速度为45千米/时。
问：
几小时后，他们相遇？
分析：
这是一道行程问题中的追及问题。
追及问题中的等量关系是：
“追者”的路程-“逃者”的路程=两者相距的路程。
有甲、乙两人，故分两行，每个人又都要考察所走的路程、时间、速度，故分3列。
设x小时后，他们相遇。
列表如下：
速度（千米/时）
时间（小时）
所走的路程（千米）
甲
15
x
15x
乙
45
x
45x
此题的相等关系：
乙行进的路程-甲行进的路程=30千米
列方程：
45x-15x=30，
解得：
x=1.
答：
1小时后，他们相遇。
例3、甲、乙两地相距168千米，一辆小汽车以60千米/时的速度从甲地开往乙地，2小时后，一辆拖拉机以48千米/时的速度也由甲地向乙地驶去，如果小汽车到达乙地后立即返回甲地，问小汽车开出多少小时后与拖拉机相遇？
分析：
考察对象为交通工具，为小汽车、拖拉机，故分成两行，每一对象又都要考察其速度、时间、路程，故分成3列。
设小汽车开出x小时后与拖拉机相遇，列表如下：
速度（千米/时）
时间（小时）
路程（千米）
小汽车
60
x
60x
拖拉机
48
x-2
48（x-2）
相等关系：
小汽车行使路程+拖拉机行使路程=168×2.
列方程：
60x+48（x-2）=168×2
解得x=4.
答：
小汽车开出4小时后与拖拉机相遇。
2工程问题
例1、某村承担水利工地的部分运土任务，参加运土的人中，有的一人挑两筐，有的两人抬一筐，现仓库有108只箩筐和57条扁担，村里需要安排多少人去工地，才能使现有的箩筐和扁担都派上用处？
分析：
运土的方式分挑和抬，故分两行，每种运土方式又都要考察扁担数、箩筐数和人数，故分3列。
设挑土的扁担数为x，列表如下：
扁担数（条）
箩筐数（只）
人数（人）
挑土
x
2x
x
抬土
57-x
57-x
2（57-x）
相等关系：
挑的箩筐数+抬的箩筐数=108
列方程：
2x+（57-x）=108，
解得x=51.
∴去工地的人数是：
51+2×（57-51）=63（人）
答：
村里需要安排63人去工地，才能使现有的箩筐和扁担都派上用处。
例2、父子二人在同一工厂工作，两人要生产一批数量相同的零件。
父亲生产这批零件要用30分钟，儿子生产这批零件只用20分钟，父亲比儿子早做5分钟，问过多少时间儿子能追上父亲？
分析：
此即工程问题中的追及，考察对象为父亲和儿子，故分成两行，每一对象又都涉及工作效率（把这批零件看作1）、工作时间、工作量，故分成3列。
设儿子追上父亲需要x分钟，列表如下：
工作效率
工作时间
工作量
父亲
x+5
儿子
x
相等关系：
父亲做的零件=儿子做的零件。
列方程：
=
，
解得x=10.
答：
过10分钟后儿子能追上父亲。
例3、某村承担某段水渠复修任务，第一天甲村民组派了15人，乙村民组派了18人，分别负责挖土和运土。
为了提高劳动效率，第二天对劳力进行了合理调配，使运土的人数等于挖土的人数的2倍。
问：
需要从甲村民组中抽调多少人到乙村民组？
分析：
水渠的复修任务有挖土和运土，故分两行，每种任务又都要考察两天的人数、抽调人数，故分3列。
设需要从甲村民组中抽调x人到乙村民组。
列表如下：
抽调人数
原有人数
现有人数
甲组（挖土）
x
15
15-x
乙组（运土）
18
18+x
相等关系：
调配后的运土人数=2×调配后的挖土人数，
列方程：
18+x=2×（15-x），
解得x=4.
答：
需要从甲村民组中抽调4人到乙村民组。
3浓度问题
例1、现有质量分数为15％的盐水60克，要配制成质量分数为25％的盐水，需要加盐多少克？
分析：
这是一道浓度问题的应用题。
这类问题的基本关系式是：
溶液质量=溶质质量+溶剂质量，质量分数=
×100％.
考察对象为加盐前后的盐水，故分成两行，每一对象又都涉及含盐量、含水量和盐水的质量，故分成3列。
设需要加盐x克。
列表如下：
含盐量（克）
含水量（克）
盐水的质量（克）
加盐前
15％×60
（1-15％）×60
60
加盐后
25％×（60+x）
（1-25％）×（60+x）
60+x
相等关系：
加盐前的含水量=加盐后的含水量，
列方程：
（1-15％）×60=（1-25％）×（60+x），
解得x=8.
答：
需要加盐8克。
例2、现有质量分数为15％的酒精溶液60克，要配制成质量分数为10％的酒精溶液，需要加水多少克？
分析：
考察对象为加水前后的酒精溶液，故分成两行，每一对象又都涉及含纯酒精量、含水量和酒精溶液的质量，故分成3列。
设需要加水x克。
列表如下：
含纯酒精量（克）
含水量（克）
酒精溶液的质量（克）
加水前
15％×60
（1-15％）×60
60
加水后
10％×（60+x）
（1-10％）×（60+x）
60+x
相等关系：
加水前含酒精的质量=加水后含酒精的质量，
列方程：
15％×60=10％×（60+x），
解得x=30.
答：
需要加水30克。
例3、现有质量分数为20％和12％的两种硫酸溶液，要配制成质量分数为15％的硫酸溶液80克，这两种硫酸溶液应各取多少克？
分析：
考察对象为配制前后的两种硫酸溶液，故分成两行，每一对象又都涉及纯硫酸质量、溶剂质量和硫酸溶液质量，故分成3列。
设需要质量分数为20％的硫酸溶液x克和12％的硫酸溶液y克。
列表如下：
纯硫酸质量（克）
溶剂质量（克）
硫酸溶液质量（克）
配制前
20％x
（1-20％）x
x
12％y
（1-12％）y
y
配制后
15％×80
（1-15％）×80
80
相等关系：
配制前含纯硫酸的质量=配制后含纯硫酸的质量，（或者是配制前含溶剂的质量=配制后含溶剂的质量）
质量分数为20％的硫酸溶液+质量分数为12％的硫酸溶液=质量分数为15％的硫酸溶液
列方程组：
20％x+12％y=15％×80，
x+y=80.
x=30，
解得y=50.
答：
需要质量分数为20％的硫酸溶液30克和12％的硫酸溶液50克。
4 与经济有关的应用题
随着市场经济日益繁荣，与经营、经济有关的数学问题不断在生活中出现，因此就相关的经济问题简析如下：
例1、商店将超级VCD按进价提高35％后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”广告，结果每台超级VCD仍获利208元，那么每台超级VCD的进价是多少元？
分析：
考察对象是超级VCD，故分成一行，要考察它的进价、标价、折扣和出售价，故分成四列。
设每台超级VCD的进价是x元，列表如下：
商品
进价（元）
标价（元）
折扣
出售价（元）
超级VCD
x
（1+35％）x
九折
（1+35％）×90％x
相等关系：
出售价-进价-出租车费=利润.
列方程：
（1+35％）×90％x–x-50=208，
解得x=1200.
答：
每台超级VCD的进价是1200元。
例2、某商场将某种商品按标价的8折出售，此时商品的利润率是10％，若此商品的进价为1600元，则商品的标价是多少？
分析：
考察对象是某种商品，故分成一行，要考察它的进价、标价、折扣、利润率和出售价，故分成五列。
设此商品的标价是x元，列表如下：
标价（元）
折扣
出售价（元）
进价（元）
利润率
某种商品
x
8折
80％x
1600
10％
∵商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣-商品进价，
又∵商品的利润=商品进价×商品利润率，
∴相等关系：
商品标价×折扣-商品进价=商品进价×利润率。
列方程：
80％x-1600=1600×10％,
解得：
x=2200.
答：
此商品的标价为2200元。
例3、某商品的进价是1000元，标价为1500元，商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？
分析：
考察对象是某商品，故分成一行，要考察它的进价、标价、出售价和利润率，故分成四列。
设售货员最低可以打x折出售此商品，列表如下：
进价（元）
标价（元）
利润率
出售价（元）
某商品
1000
1500
不低于5％
1500×
相等关系：
商品出售价-商品进价=商品进价×利润率，
列方程：
1500×
-1000=1000×5％,
解得：
x=7.
答：
售货员最低可以打七折出售此商品。
（备注：
打一折即按原价的
或10％出售。
）
例4、国家规定存款利息的纳税办法是：
利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为1.98％。
今小刚取出一年到期的本金及利息时，交了3.96元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为多少元？
分析：
考察对象是存款问题，故分成一行，要考察存款问题中的本金、利率、利息、期数和利息税，故分成四列。
设小刚一年前存入银行的钱为x元，
其中，利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息。
列表如下：
本金（元）
利率
期数
利息（元）
利息税（元）
x
1.98％
一年
x×1.98％×1
x×1.98％×20％
相等关系：
利息税=利息×20％
列方程：
x×1.98％×20％=3.96，
解得x=1000.
答：
小刚一年前存入银行的钱为1000元。
例5、张大妈参加了4月18日经中国保险监督管理委员会批准的人保理财——金牛投资保障型（3年期）家庭财产保险，她一次投资2000元，投保3年，每年须交保险费12元。
期满后，保险公司从收益金中扣除每年须交的保险费后，连同保险投入资金，张大妈一共能领到2096元，试问：
（1）张大妈投保3年期的收益率是多少？
（收益金=投入资金×年收益率×保险年数）
1.若张大妈把2000元存入银行存期3年，仅从现金的角度考虑（不考虑财产损失后是否有赔），请你为张大妈算一算，上述两种投资，哪一种更合算？
（利息=本金×年利率×存期，3年期年利率为2.52％，利息税是20％）
分析：
考察对象是投保问题，故分成二行，要考察投保问题中的投入资金、年收益率、保险年数和每年须交的保险费，故分成四列。
设3年期的年收益率是x，
列表如下：
投入资金（元）
3年期的收益率
保险年数（年）
每年须交的保险费（元）
2000
x
3
12
相等关系：
收益金=投入资金×年收益率×保险年数
利息=本金×利率×期数，
列方程：
2000x×3=2096-2000，
解得x=0.016，即x=1.6％。
∴张大妈投保3年期的收益率是1.6％。
（2）利息=2000×2.52％×3=151.2（元），
利息税=151.2×20％=30.24（元），
151.2-30.24=120.96（元），有120.96元＞96元。
（又解因为2.52％×（1-20％）=2.018％＞1.6）
故仅从现金的角度考虑，存入银行合算。
例6、 王明于购买一辆帕萨特轿车，并参加了车辆财产保险,至,四年共交了保险费8320元.在因车祸造成财产严重损失.事后理赔调查时,按当地的完好市价估计总值为25万元,残存车辆的残值15万元,于是保险公司赔款10.4万元.问王明参加车辆财产保险的金额是多少?
保险费率是多少?
分析:
保险公司赔偿损失是按保险金额和损失程度确定的.计算公式为
保险赔款=保险金额×损失程度,
损失程度=
×100％,
本题中“保险财产受损价值”为（25-15）万元。
解：
设王明参加车辆财产保险的金额为x万元。
因为损失程度=
×100％=40％，
则有10.4=x×40％，
解得x=26.
所以参加家庭财产保险的金额为26万元。
又设保险费率为p‰，则
26×p‰×4=0.832，
解得p‰=8‰.
所以保险费率为8‰。
5其他问题
例1、父子两人年龄之和是60，10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍，求父亲今年的年龄。
分析：
考察对象有父亲和儿子，故分成两行，每一考察对象又都要涉及现在年龄和10年前年龄，故又分成两列。
设父亲现在的年龄为x岁，列表如下：
现在（岁）
10年前（岁）
父亲
x
x-10
儿子
60-x
50-x
相等关系：
10年前父亲的年龄=10年前儿子年龄的7倍.
列方程：
x-10=7（50-x）,
解得x=45.
答：
父亲现在的年龄为45岁。
例2、一个三位数，它的十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果把百位上数字与个位数字对换，那么可以得到比原数小495的三位数，求原三位数。
分析：
就三位数而言，题中涉及原数和新数（调换后的三位数），故分成两行，就三位数而言，又分百位数字、十位数字、个位数字、三位数本身，故分四列。
设原来的三位数的十位数字为x，列表如下：
百位数字
十位数字
个位数字
三位数
原数
2x
x
x-2
100×2x+10x+（x-2）
新数
x-2
x
2x
100×（x-2）+10x+2x
相等关系：
新数+495=原数.
列方程：
100（x-2）+10x+2x+495=100×2x+10x+（x-2）.
解得x=3.
∴原数=100×2x+10x+（x-2）=100×2×3+10×3+（3-2）=631.
答：
原三位数为631。
例3、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购买书用去100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完。
由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本。
当这批书售出4/5时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？
若赔钱，赔多少？
若赚钱，赚了多少？
分析：
考察的对象是购买图书，购书分两次，故分成两行，每一次要涉及购书款、进价、售价、本数和结果，故又分成五列。
设第一次购书进价为x元/本，购进y本。
列表如下：
购书款（元）
进价（元/本）
售价（元/本）
本数（元）
结果
第一次
100
x
2.8
y
全售出
第二次
150
x+0.5
2.8
y+10
售出4/5
2.8×50％
售出1/5
相等关系：
购书款=进价×本数
列方程组：
xy=100，x=2，x=2.5，
（x+0.5）（y+10）=150.解得y=50.y=40.
利用表中第二次进价与售价，结合生活实际进行比较后知 x=2.5，
y=40.不合题意。
于是利用x=2，
y=50.并结合表中三、四行分步计算得：
前4/5赚：
（2.8-2.5）×（50+10）×4/5=14.4（元）
后1/5赔：
（2.5-2.8×50％）×（50+10）×1/5=13.2（元）.
∵ 14.4-13.2=1.2（元）.
∴ 该老板第二次售书赚了1.2元。
例4、火车站有某公司特运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划有50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货厢的运费为0.5万元，每节B型货厢的运费为0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A，B两种货厢的节数，共有哪几种方案；并说明哪种方案运费最少？
分析：
考察的对象是货物运送，运送的车厢有A、B两种型号及合计，故分成三行，每一种运送涉及到甲货、乙货、单价、总费用和车厢节数，故又分成五列。
设需安排A种车厢x节，B种车厢为（50-x）节，列表如下：
节数
甲货
乙货
单价（万元/节）
总费用（万元）
A车厢
x
35吨/节
15吨/节
0.5
0.5x
B车厢
50-x
25吨/节
35吨/节
0.8
0.8（50-x）
合计
50
1530吨
1150吨
——
y
不等关系：
A车厢的甲货吨数+B车厢的甲货吨数≥1530，
A车厢的乙货吨数+B车厢的乙货吨数≥1150
列不等式：
35x+25（50-x）≥1530，解得：
28≤x≤30.
15x+35（50-x）≥1150.
∵ x为自然数，所以x取28，29，30。
∴ 可得方案：
A种车厢28节，B种车厢22节；A种车厢29节，B种车厢21节；A种车厢30节，B种车厢20节三种方案。
由表中最后一行可得：
y=0.5x+0.8（50-x）， 即：
y=-0.3x+40.
∵ -0.3＜0， ∴ y随x增大而减小.
∴ 当x=30时，运费最少y=31万元。
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