高考数学三角函数试题汇编.docx

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高考数学三角函数试题汇编

2014年高考数学三角函数试题汇编

数学

C单元三角函数

C1角的概念及任意角的三角函数

6．、2014•新课标全国卷Ⅰ]如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在0，π]上的图像大致为（）

6．C

C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式

16．、、2014•福建卷]已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－12.

（1）若0

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

16．解：

方法一：

（1）因为0所以f（α）＝22×22＋22－12

＝12.

（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－12

＝12sin2x＋1＋cos2x2－12

＝12sin2x＋12cos2x

＝22sin2x＋π4，

所以T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，

得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.

方法二：

f（x）＝sinxcosx＋cos2x－12

＝12sin2x＋1＋cos2x2－12

＝12sin2x＋12cos2x

＝22sin2x＋π4.

（1）因为0从而f（α）＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.

（2）T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.

17．，，2014•重庆卷]已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）ω>0，－π2≤φ

（1）求ω和φ的值；

（2）若fα2＝34π617．解：

（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.

又因为f（x）的图像关于直线x＝π3对称，

所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….

因为－π2≤φ＜π2，

所以φ＝－π6.

（2）由

（1）得ƒα2＝3sin（2×α2－π6）＝34，

所以sinα－π6＝14.

由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，

所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.

因此cosα＋3π2

＝sinα

＝sin（α－π6）＋π6

＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6

＝14×32＋154×12

＝3＋158.

C3三角函数的图象与性质

9．2014•辽宁卷]将函数y＝3sin2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数（）

A．在区间π12，7π12上单调递减

B．在区间π12，7π12上单调递增

C．在区间－π6，π3上单调递减

D．在区间－π6，π3上单调递增

9．B

3．2014•全国卷]设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）

A．a>b>cB．b>c>a

C．c>b>aD．c>a>b

3．C

6．、2014•新课标全国卷Ⅰ]如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在0，π]上的图像大致为（）

6．C

14．、2014•新课标全国卷Ⅱ]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）的最大值为________．

14．1

17．，，2014•重庆卷]已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）ω>0，－π2≤φ

（1）求ω和φ的值；

（2）若fα2＝34π617．解：

（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.

又因为f（x）的图像关于直线x＝π3对称，

所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….

因为－π2≤φ＜π2，

所以φ＝－π6.

（2）由

（1）得ƒα2＝3sin（2×α2－π6）＝34，

所以sinα－π6＝14.

由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，

所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.

因此cosα＋3π2

＝sinα

＝sin（α－π6）＋π6

＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6

＝14×32＋154×12

＝3＋158.

C4函数的图象与性质

3．2014•四川卷]为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点（）

A．向左平行移动12个单位长度

B．向右平行移动12个单位长度

C．向左平行移动1个单位长度

D．向右平行移动1个单位长度

3．A

11．2014•安徽卷]若将函数f（x）＝sin2x＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．

11.3π8

14．2014•北京卷]设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f（x）在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f（x）的最小正周期为________．

14．π

16．、、2014•福建卷]已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－12.

（1）若0

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

16．解：

方法一：

（1）因为0所以f（α）＝22×22＋22－12

＝12.

（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－12

＝12sin2x＋1＋cos2x2－12

＝12sin2x＋12cos2x

＝22sin2x＋π4，

所以T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，

得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.

方法二：

f（x）＝sinxcosx＋cos2x－12

＝12sin2x＋1＋cos2x2－12

＝12sin2x＋12cos2x

＝22sin2x＋π4.

（1）因为0从而f（α）＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.

（2）T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.

7．、2014•广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

7．D

17．、、、2014•湖北卷]某实验室一天的温度（单位：

℃）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系：

f（t）＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈0，24）．

（1）求实验室这一天的最大温差．

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

17．解：

（1）因为f（t）＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，

又0≤t当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；

当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.

于是f（t）在0，24）上取得的最大值是12，最小值是8.

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意，当f（t）>11时，实验室需要降温．

由

（1）得f（t）＝10－2sinπ12t＋π3，

故有10－2sinπ12t＋π3>11，

即sinπ12t＋π3又0≤t即10故在10时至18时实验室需要降温．

16．、2014•江西卷]已知函数f（x）＝sin（x＋θ）＋acos（x＋2θ），其中a∈R，θ∈－π2，π2.

（1）当a＝2，θ＝π4时，求f（x）在区间0，π]上的最大值与最小值；

（2）若fπ2＝0，f（π）＝1，求a，θ的值．

16．解：

（1）f（x）＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝

22（sinx＋cosx）－2sinx＝22cosx－22sinx＝sinπ4－x.

因为x∈0，π]，所以π4－x∈－3π4，π4，

故f（x）在区间0，π]上的最大值为22，最小值为－1.

（2）由fπ2＝0，f（π）＝1，得cosθ（1－2asinθ）＝0，2asin2θ－sinθ－a＝1.

又θ∈－π2，π2，知cosθ≠0，

所以1－2asinθ＝0，（2asinθ－1）sinθ－a＝1，

解得a＝－1，θ＝－π6.

12．、2014•新课标全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝3sinπxm，若存在f（x）的极值点x0满足x20＋f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）

A．（－∞，－6）∪（6，＋∞）

B．（－∞，－4）∪（4，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

12．C

16．，2014•山东卷]已知向量a＝（m，cos2x），b＝（sin2x，n），函数f（x）＝a•b，且y＝f（x）的图像过点π12，3和点2π3，－2.

（1）求m，n的值；

（2）将y＝f（x）的图像向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图像，若y＝g（x）图像上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间．

16．解：

（1）由题意知，f（x）＝＝msin2x＋ncos2x.

因为y＝f（x）的图像过点π12，3和点2π3，－2，

所以3＝msinπ6＋ncosπ6，－2＝msin4π3＋ncos4π3，

即3＝12m＋32n，－2＝－32m－12n，

解得m＝3，n＝1.

（2）由

（1）知f（x）＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.

由题意知，g（x）＝f（x＋φ）＝2sin2x＋2φ＋π6.

设y＝g（x）的图像上符合题意的最高点为（x0，2）．

由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0，

即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．

将其代入y＝g（x）得，sin2φ＋π6＝1.

因为0因此，g（x）＝2sin2x＋π2＝2cos2x.

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z，

所以函数y＝g（x）的单调递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z.

2．2014•陕西卷]函数f（x）＝cos2x－π6的最小正周期是（）

A.π2B．πC．2πD．4π

2．B

16．，，，2014•四川卷]已知函数f（x）＝sin3x＋π4.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos2α，求cosα－sinα的值．

16．解：

（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，

由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，

得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.

所以，函数f（x）的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.

（2）由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4（cos2α－sin2α），

所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45cosαcosπ4－sinαsinπ4（cos2α－sin2α），

即sinα＋cosα＝45（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．

当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，

得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，

此时，cosα－sinα＝－2.

当sinα＋cosα≠0时，（cosα－sinα）2＝54.

由α是第二象限角，得cosα－sinα综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.

15．、、2014•天津卷]已知函数f（x）＝cosx•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．

15．解：

（1）由已知，有

f（x）＝cosx•12sinx＋32cosx－3cos2x＋34

＝12sinx•cosx－32cos2x＋34

＝14sin2x－34（1＋cos2x）＋34

＝14sin2x－34cos2x

＝12sin2x－π3，

所以f（x）的最小正周期T＝2π2＝π.

（2）因为f（x）在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，

所以函数f（x）在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.

4．2014•浙江卷]为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝2cos3x的图像（）

A．向右平移π4个单位B．向左平移π4个单位

C．向右平移π12个单位D．向左平移π12个单位

4．C

17．，，2014•重庆卷]已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）ω>0，－π2≤φ

（1）求ω和φ的值；

（2）若fα2＝34π617．解：

（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.

又因为f（x）的图像关于直线x＝π3对称，

所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….

因为－π2≤φ＜π2，

所以φ＝－π6.

（2）由

（1）得ƒα2＝3sin（2×α2－π6）＝34，

所以sinα－π6＝14.

由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，

所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.

因此cosα＋3π2

＝sinα

＝sin（α－π6）＋π6

＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6

＝14×32＋154×12

＝3＋158.

C5两角和与差的正弦、余弦、正切

14．、2014•新课标全国卷Ⅱ]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）的最大值为________．

14．1

16．、2014•安徽卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.

（1）求a的值；

（2）求sinA＋π4的值．

16．解：

（1）因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝sinA2sinB，所以由正弦定理可得a＝2b•a2＋c2－b22ac.

因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝23.

（2）由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝

－13.因为0故sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝223×22＋－13×22＝4－26.

7．、2014•广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

7．D

16．、2014•广东卷]已知函数f（x）＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.

（1）求A的值；

（2）若f（θ）＋f（－θ）＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.

17．2014•湖北卷]某实验室一天的温度（单位：

℃）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系：

f（t）＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈0，24）．

（1）求实验室这一天的最大温差．

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

17．解：

（1）因为f（t）＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，

又0≤t当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；

当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.

于是f（t）在0，24）上取得的最大值是12，最小值是8.

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意，当f（t）>11时，实验室需要降温．

由

（1）得f（t）＝10－2sinπ12t＋π3，

故有10－2sinπ12t＋π3>11，

即sinπ12t＋π3又0≤t即10故在10时至18时实验室需要降温．

17．、2014•辽宁卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA→•BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：

（1）a和c的值；

（2）cos（B－C）的值．

17．解：

（1）由BA→•BC→＝2得c•a•cosB＝2，

又cosB＝13，所以ac＝6.

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.

解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.

因为a＞c，所以a＝3，c＝2.

（2）在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223.

由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23•223＝429.

因为a＝b＞c，所以C为锐角，

因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.

所以cos（B－C）＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.

17．2014•全国卷]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝13，求B.

17．解：

由题设和正弦定理得

3sinAcosC＝2sinCcosA，

故3tanAcosC＝2sinC.

因为tanA＝13，所以cosC＝2sinC，

所以tanC＝12.

所以tanB＝tan180°－（A＋C）]

＝－tan（A＋C）

＝tanA＋tanCtanAtanC－1

＝－1，

所以B＝135°.

8．2014•新课标全国卷Ⅰ]设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则（）

A．3α－β＝π2B．3α＋β＝π2

C．2α－β＝π2D．2α＋β＝π2

8．C

13．，2014•四川卷]如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：

sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73）

图13

13．60

16．，，，2014•四川卷]已知函数f（x）＝sin3x＋π4.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos2α，求cosα－sinα的值．

16．解：

（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，

由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，

得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.

所以，函数f（x）的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.

（2）由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4（cos2α－sin2α），

所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45cosαcosπ4－sinαsinπ4（cos2α－sin2α），

即sinα＋cosα＝45（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．

当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，

得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，

此时，cosα－sinα＝－2.

当sinα＋cosα≠0时，（cosα－sinα）2＝54.

由α是第二象限角，得cosα－sinα综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.

15．、、2014•天津卷]已知函数f（x）＝cosx•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．

15．解：

（1）由已知，有

f（x）＝cosx•12sinx＋32cosx－3cos2x＋34

＝12sinx•cosx－32cos2x＋34

＝14sin2x－34（1＋cos2x）＋34

＝14sin2x－34cos2x

＝12sin2x－π3，

所以f（x）的最小正周期T＝2π2＝π.

（2）因为f（x）在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，

所以函数f（x）在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.

10．，2014•重庆卷]已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin（A－B＋C）＝sin（C－A－B）＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

A．bc（b＋c）>8B．ab（a＋b）>162

C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24

10．A

C6二倍角公式

15．、2014•全国卷]直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于________．

15.43

16．、2014•全国卷]若函数f（x）＝cos2x＋asinx在区间π6，π2是减函数，则a的取值范围是________．

16．（－∞，2]

16．、、2014•福建卷]已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－12.

（1）若0

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

16．解：

方法一：

（1）因为0所以f（α）＝22×22＋22－12

＝12.

（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－12

＝12sin2x＋1＋cos2x2－12

＝12sin2x＋12cos2x

＝22sin2x＋π4，

所以T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，

得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.

方法二：

f（x）＝sinxcosx＋cos2x－12

＝12sin2x＋1＋cos2x2－12

＝12sin2x＋12cos2x

＝22sin2x＋π4.

（1）因为0从而f（α）＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.

（2）T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.

16．，，，2014•四川卷]已知函数f（x）＝sin3x＋π4.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos2α，求cosα－sinα的值．

16．解：

（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，

由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，

得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.

所以，函数f（x）的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.

（2）由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4（cos2α－sin2α），

所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45cosαcosπ4－sinαsinπ4（cos2α－sin2α），

即sinα＋cosα＝45（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．

当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，

得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，

此时，cosα－sinα＝－2.

当sinα＋cosα≠0时，（cosα－sinα）2＝54.