北师版数学8年级上考点25 等腰三角形等边三角形.docx

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北师版数学8年级上考点25等腰三角形等边三角形

考点25等腰三角形、等边三角形

一、选择题

1.（2015·黄石中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）

A．36°B．54°C．18°D．64°

【答案】B

【解析】在△ABC中，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=36°，又BD⊥AC，∴∠ADB=90°.在△ABD中，∠ABD=180°-90°-36°=54°，故选B．

2.（2015·荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为（）

A．8和10B．8C．10D．6或12

【答案】C

【解析】当4为等腰三角形的腰长时，则三角形的三边长为4,4,2，所以此时三角形的周长为4+4+2=10；当2为等腰三角形的腰长时，则三角形的三边长为2,2,4，此时，因为2+2=4，所以不能组成三角形，故选C．

3.（2015·衡阳中考）已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（）

A．11B．16C．17D．16或17

【答案】D

【解析】根据等腰三角形的性质可得该等腰三角形的另一腰的长为5或6，所以三角形的周长等于5＋6＋5＝16或6+6+5=17，故选D．

4.（2015·湘西中考）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36º,则∠1的度数为（）

A.36ºB.60ºC.72ºD.108º

【答案】C

【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°.故选C.

5.（2015·吉林中考）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是（）

A．20°B．35°C．40°D．70°

【答案】C

【解析】∵AB∥CD，∠1＝70°，∴∠1＝∠ACD＝70°．又∵AD＝CD，∴∠CAD＝∠ACD＝70°，∴∠2＝180°－∠ACD－∠CAD＝180°－70°－70°＝40°，故选C．

6.（2015·长春中考）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作AD//BC．若∠1＝70°，则∠BAC的大小为（）

A．30°B．40°C．50°D．70°

【答案】B

【解析】∵AD//BC，∠1＝70°，∴∠C＝∠1＝70°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，

∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－70°＝40°.故选B．

7.（2015·盐城中考）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）

A．12B．9C．12或9D．9或7

【答案】A

【解析】由题可知该三角形的三边长可能是2，2，5，也可能是5，5，2，又因为三角形三边之间必须满足“三角形两边之和大于第三边”，所以2，2，5这种情况不成立，所以该三角形的周长只可能是5+5+2=12．故选A．

8.（2015·苏州中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（）

A．35°B．45°C．55°D．60°

【答案】C

【解析】因为AB＝AC，D为BC中点，所以∠BAC＝2∠BAD＝70°，所以∠C的度数为55°.

9.（2015·宿迁中考）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）

A．9B．12C．7或9D．9或12

【答案】B

【解析】由题意可知该三角形的三边长可能是2，2，5，也可能是5，5，2 .又因为三角形三边之间必须满足“三角形两边之和大于第三边”，所以2，2，5这种情况不成立，所以该三角形的周长只可能是5+5+2=12．故选B．

10.（2015·淄博中考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】B

【解析】∵△ABC沿对角线AC折叠，点B，A，E在一条直线上，∴△ABC≌△AEC，

∠E=∠B=60°，∴△BCE是等边三角形；∵AD∥BC，∴∠EAF=∠B=60°，∴△EAF是等边三角形；∵BE∥CD，∴∠D=∠EAF=60°，∠E=∠DCF=60°，∴△CDF是等边三角形．

11.（2015·青海中考）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E、F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是（）

A.105°B.115°C.120°D.135°

【答案】C

【解析】在△DEF中，∵∠EDF=30°，DE=DF，∴∠DEF=∠DFE=75°，∵∠C=45°，

∴∠BDN=∠C+∠DFE=45°+75°=120°.故选C.

12.（2015·丹东中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

【答案】A

【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=

=75°，

∴∠ACE=180°－75°=105°．∴∠D=

．故选A.

13.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【解析】∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=

∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形.在△BCD中，∵∠BDC=180°－∠DBC－∠C=180°－36°－72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形.∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形.∴∠BED=（180°－36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED－∠A=72°－36°=36°，

∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形.∴图中的等腰三角形有5个．故选D．

14.（2015·泸州中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（

，

），B（3

，3

），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）

A．2B．3C．4　D．5

【答案】B

【解析】若以AB为等腰三角形的底边，则∠C为等腰三角形的顶角，那么C是AB的垂直平分线与x轴的交点，如图中的点C3（C3M垂直平分线段AB）；若以AB为等腰三角形的腰，则等腰三角形的腰长为4，当∠A为等腰三角形的顶角时，以A为圆心，4为半径画弧交x轴于两点，这两个点都是满足条件的点C（即图中的点C1与C2）．当∠B为等腰三角形的顶角时，由于B点到x轴的距离为3

＞4，所以以B为圆心，4为半径画弧时与x轴无交点，即满足题目要求以∠B为顶角，AB为腰的等腰三角形不存在．综上所述，满足题目要求的点C有三个，故选B．

15.（2015·内江中考）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）

A.40°B.45°C.60°D.70°

【答案】A

【解析】因为AE∥BD，所以∠DBC=∠E=35°，因为BD平分∠ABC，所以∠ABC=

2∠DBC=70°，因为AB=AC,所以∠ABC=∠C,所以∠BAC=180°－∠ABC-∠C=40°，故选A.

16.（2015·龙岩中考）如图，在边长为

的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（　　）

A.

B.

C.

D.1

【答案】D

【解析】连结PA，如下图，∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴BP是边AC的垂直平分线，

∴AP=CP.又∵AB=BC，BP=BP，∴△APB≌△CPB，∴∠PAB=∠PCB.∵PC⊥BC，∴AP⊥AB.在Rt△PAB中，AB=

∠ABP=30°，∴AP=AB·tan30°=1.故选D.

17.（2015·来宾中考）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D,E，则∠BAE=（）

Ａ．80°　　Ｂ．60°　　Ｃ．50°　　Ｄ．40°

【答案】D

【解析】∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°-100°）÷2=40°.∵AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴∠B=∠BAE=40°，故选D.

18.（2015·玉林、防城港中考）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（）

A．AD=AEB．DB=ECC．∠ADE=∠CD．

【答案】D

【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠B=∠C=∠ADE=∠AED，∴AD=AE，

∴DB=EC，因此A、B、C选项均正确，D选项只有DE是△ABC的中位线时才成立，故

选D.

19．（2015·南宁中考）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】A

【解析】在△ABD中，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=70°，∴∠ADC=180°-∠ADB=110°，在△ACD中，∵AD=CD，∴∠C=∠DAC，设∠C=∠DAC=x°，∴x+x+110=180，解得x=35，∴∠C=35°，故选A．

20.（2015·毕节中考）如图，已知D为△ABC的边AB的中点，E在边AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠B=65°，则∠BDF等于（）

A.65°B.50°C.60°D.57.5°

【答案】B

【解析】由折叠知AD=DF，∵D为△ABC的边AB的中点，∴AD=DB，∴DF=DB，

∴∠DFB=∠B=65°，∴∠BDF=180°-65°-65°=50°，故选B.

二、填空题

1.（2015·河北中考）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1．按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3……

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝．

【答案】9

【解析】由于∠BOC＝9°，且OA＝1，根据画法可知∠A1AA2＝∠AA2A1＝18°，∠A3A1A2＝∠A1A3A2＝∠BOC＋∠AA2A1＝27°，…，可见△Ak-1OAk的外角∠AkAk-1Ak+1满足如下规律：

当k＝1时，∠AkAk-1Ak+1即为∠A1AA2，外角为18°，k＝2时，外角为27°，…，即∠AkAk-1Ak+1＝9°＋k×9°，因此，当k＝9时，外角为90°，此时A8A9⊥OB，即A8A9是点A9到OB的距离，在此以后所画弧不会与∠BOC的边OB有交点，因此满足条件的线段能画9条，故答案为9．

2.（2015·南通中考）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝______度．

【答案】52

【解析】∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C．设∠B＝∠BAD＝x°，∴∠ADC＝2x°，∠C＝2x°．∴∠B＋∠C＝3x°．∵∠BAC＝102°，∴∠B＋∠C＝78°．∴3x＝78，解得x＝26．∴∠ADC＝52°．

3.（2015·淄博中考）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，

∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是_______度，度．

【答案】120150

【解析】∵△ABC是等边三角形，△BDC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=45°，△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD=30°，∠ABD=∠ACD=15°，∠ADB=∠ADC=135°．过点D作一条直线将△ABD分成两个等腰三角形时，可考虑以下三种分割方法：

分割方法

顶角度数

分析

AD=DE

120，150

∵AD=DE，∴∠AED=∠EAD=30°，∴∠ADE=120°．

∵∠ADB=135°，∴∠EDB=15°，又∠EBD=15°，∴△BDE是等腰三角形，∴∠BED=150°．

AD=AE

不符合题意

∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=75°．∵∠ADB=135°，

∴∠BDE=60°，又∠EBD=15°,∴∠BED=105°，∴△BED不是等腰三角形．

AE=DE

不符合题意

∵AE=DE，∴∠ADE=30°．∵∠ADB=135°，∴∠BDE=105°，又∠EBD=15°,∴∠BED=60°，∴△BED不是等腰三角形．

综上所述，作出的分割线只有一条符合题意，此时两个等腰三角形的顶角分别为120°和150°．

4.（2015·西宁中考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是　　．

【答案】110°或70°

【解析】此题要分情况讨论：

当等腰三角形的顶角是钝角时（如图

（1）），腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时（如图

（2）），腰上的高在其内部，故顶角是90°-20°=70°．故答案为110°或70°．

5.（2015·丹东中考）如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3，…，△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3、…、An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3、…、Bn在直线OD上依次排列，那么点Bn的坐标为.

【答案】

（也可写成

）

【解析】∵△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3、…、△AnAn+1Bn均为等边三角形，∴△OA1B1、△OA2B2、△OA3B3、…、△OAnBn均为底角为30°的等腰三角形，∴A1A2＝A1B1＝OA1＝1，∴B1的横坐标为

，纵坐标为

，∴B1的坐标为

，同理B2的坐标为（3，

），B3的坐标为（6，

），∴Bn的坐标为

．故填

，也可写成

．

6.（2015·四川中考）一个等腰三角形两边的长分别为2cm，5cm，则它的周长为____cm．

【答案】12

【解析】∵等腰三角形的两条边长分别为2cm，5cm，∴由三角形三边关系可知该等腰三角形的腰长不可能为2，只能为5，∴等腰三角形的周长=5+5+2=12（cm）．故答案是12．

7.（2015·泉州中考）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝_______°．

【答案】30

【解析】∵在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝

∠BAC＝

×60°＝30°．故填30．

8.（2015·毕节中考）如图，等腰三角形ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为_________.

【答案】36°

【解析】∵等腰三角形ABC的底角为72°，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠A=180°-72°×2=36°，∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=

72°-36°=36°，故答案为36°.

9.（2015·绍兴中考）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点

之间的距离是cm．

【答案】18

【解析】∵OA＝OB＝18cm，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝

18cm，故答案为18.

10．（2015·甘孜州中考）边长为2的正三角形的面积是____________.

【答案】

【解析】如图，过A作AD⊥BC，∵AB=AC=BC=2，∴BD=CD=

BC=1，在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD=

，则S△ABC=

BC•AD=

，故答案为

.

11.（2015·乐山中考）如图，在等腰三角形

中，

，

垂直平分

，已知

，则

.

【答案】15

【解析】∵

垂直平分

，∴∠AED=∠BED=90°，∠A=∠ABD.∵∠ADE=40°，

∴∠A=∠ABD=50°.又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°－50°）÷2=65°.∴∠DBC=

∠ABC－∠ABD=15°，故答案为15.

12.（2015·乌鲁木齐中考）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是.

【答案】120°

【解析】①若这个60°的角是等腰三角形顶角的外角，则顶角为120°，此时每个底角都是30°，符合题意；②若这个60°的角是等腰三角形底角的外角，则每个底角都为120°，与三角形的内角和等于180°矛盾，不符合题意.故答案为120°.

三、解答题

1.（2015·南京中考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：

画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）

解：

满足条件的三角形有以下五种情形：

2.（2015·宿迁中考）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC．求证：

∠C=2∠D．

证明：

∵AB=AC=AD，∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABD+∠CBD=2∠D，即∠ABC=2∠D，∴∠C=2∠D.

3.（2015·青岛中考）

问题提出：

用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

问题探究：

不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形.为了探究m与n之间的关系，我们可以先从简单情形入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论.

探究一：

（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

此时，显然能搭成一种等腰三角形.

所以，当n=3时，m=1.

（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

只能分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成等腰三角形.

所以，当n=4时，m=0.

（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成等腰三角形；

若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形.

所以，当n=5时，m=1.

（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成等腰三角形；

若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形.

所以，当n=6时，m=1.

综上所述，可得：

表①

n

3

4

5

6

m

1

0

1

1

探究二：

（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

（仿照上述探究方法，写出解析，并把结果填在表②中）

（2）用8根、9根、10根相同的木棒分别搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

（只需把结果填在表②中）

表②：

n

7

8

9

10

m

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究……

问题解决：

用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）

表③：

n

4k-1

4k

4k+1

4k+2

m

问题应用：

用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

（要求写出解析）

其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒（只填结果）.

解：

（1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成等腰三角形；

若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形.

若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形.

所以，当n=7时，m=2.

（2）表②：

n

7

8

9

10

m

2

1

2

2

问题解决：

表③：

n

4k-1

4k

4k+1

4k+2

m

k

k-1

k

k

问题应用：

因为2016÷4=504，

所以能搭成504-1=503种不同的等腰三角形.面积最大的等腰三角形每腰用了672根木棒.

4.（2015·丽水中考）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．

（1）用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连结AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．

解：

（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．

（2）∵在Rt△ABC中，∠B＝37°，∴∠CAB＝53°．

又∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝37°．

∴∠CAD＝53°－37°＝16°．

5.（2015·北京中考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：

∠CBE=∠BAD．

证明：

方法1：

∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＋∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°，∴∠CBE＝

∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD．

方法2：

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠BAD．

6.（2015·珠海中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB

（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若BC=8，CD=5，则CE=___________．

解：

（1）如图所示.

（2）∵E到边AB，AD的距离相等，

∴∠BAE=∠DAE.

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE.

∴CE=BC－BE=8－5=3．