高二文科必修三统计概率练习.docx
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高二文科必修三统计概率练习
高二文科必修三统计概率练习
1.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其某科成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段后画出如下频率分布直方图，根据图形中所给的信息，回答以下问题：
（1）求第四小组[70，80）的频率；
（2）求样本的众数；
（3）观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．
2.如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：
分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．
（1）求x，y的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．
3.为了研究某灌溉渠道水的流速
与水深
之间的关系，测得一组数据如下表:
水深
（m）
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
流速y（m/s）
1
1.5
2
2.5
3
（1）画出散点图,判断变量
与
是否具有相关关系;
（2）若
与
之间具有线性相关关系,求
对
的回归直线方程;（
）
（3）预测水深为1.95m水的流速是多少.
4.某种产品的广告费支出
与销售额
（单位：
百万元）之间有如下对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程；
（Ⅱ）预测当广告费支出为9百万元时的销售额.
5.某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试，这25名学生的考分编成如图所示的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作人员不小心删掉了（这里暂用
来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同.
（1）求这两个班学生成绩的中位数及
的值；
（2）如果这些成绩分为优秀（得分175分以上，包括175分）和过关，若学校再从这两个班获得优秀成绩的学生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率.
6.一个盒子里装有三张卡片分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
（注：
若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）
7.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：
甲：
8281797895889384
乙：
9295807583809085
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，并求学生乙成绩的平均数和方差；
（2）从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率．
8.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
9.（12分）某人有3枚钥匙，其中只有一枚房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一枚，于是，他逐枚不重复地试开，问：
（Ⅰ）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（Ⅱ）两次内打开房门的概率是多少？
10.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：
（单位：
人）
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
11.二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．
同意
不同意
合计
教师
1
女生
4
男生
2
（1）请完成此统计表；
（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；
（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．
12.某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．
（I）求数学小组的甲同学没有被选中、自然小组的乙同学被选中的概率；
（II）求数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中的概率．
答案
1.【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】概率与统计．
【分析】
（1）由各组的频率和等于1，由此利用频率分布直方图能求出第四组的频率．
（2）由频率分布直方图知第四小组[70，80）的小矩形最高，由此能求出样本的众数．
（3）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，求出频率和，由此能求出抽样学生成绩的及格率．利用组中值估算抽样学生的平均分，能估计这次考试的平均分．
【解答】解：
（1）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率：
f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3
（2）由频率分布直方图知第四小组[70，80）的小矩形最高，
所以样本的众数是75．
（3）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75
所以，抽样学生成绩的及格率是75%．．
利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
估计这次考试的平均分是71分．
【点评】本题考查频率、众数、及格率和平均分的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
2.【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．
【专题】概率与统计．
【分析】
（1）按大小数列排列得出x值，运用平均数公式求解y，
（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，运用古典概率求解．
（3）求解甲的平均数，方差，一点平均数，方差，比较方差越小者越稳定，越大，波动性越大．得出结论：
甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．
【解答】解：
（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知
高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，
65，64，所以x=6，
因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为
5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，
7，7，19，和为41，所以y=3，
（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；
乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，
甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，
其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=
，
（3）因为甲的平均数为：
=
（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，
所以甲的方差S2甲=
=50.2，
又乙的方差S2乙=
=70.3，
因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．
【点评】本题考察了茎叶图的运用，求解方差，进行数据的分析解决实际问题，考察了计算能力，准确度．
3.
4..（Ⅰ）
（Ⅱ）76百万元
（Ⅰ）设回归直线方程
由题意可得，
∵
，
∴
∴线性回归方程为
（Ⅱ）当
时，
即预测当广告费支出为9百万元时的销售额为76百万元.
5.
.
6.【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，一一列举即可，而满足a+b=c的（a，b，c）有3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．
（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求
【解答】解：
（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），
（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），
（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），
（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），
（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，
所以P（A）=
=
．
因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为
．
（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．
所以P（B）=1﹣P（
）=1﹣
=
．
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为
．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题
7.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．
【专题】综合题；整体思想；综合法；概率与统计．
【分析】
（1）将成绩的十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图，计算乙的平均数与方差，即可求得结论，
（2）一一列举出任取两次成绩，所有基本事件，再找到满足两个成绩中至少有一个超过90分的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】解：
（1）茎叶图如下：
…
学生甲成绩中位数为83，…
（2）
=85 …
S乙2=
[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41 …
（3）甲同学超过80（分）的成绩有828195889384，
任取两次成绩，所有基本事件为：
（82，81），（82，95），（82，88），（82，93），（82，84），（81，95），（81，88），（81，93），（81，84），（95，88），（95，93），（95，84），（88，93），（88，84），（93，84）共15个 …
其中至少有一次超过90（分）的基本事件为：
（82，95）（82，93）（81，95）（81，93）（95，88），（95，93），（95，84），（88，93）（93，84）共9个． …
∴这两次成绩中至少有一次超过90（分）的概率为
．…
【点评】本题考查茎叶图，考查平均数与方差的计算，考查概率公式，属于基础题．
8.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】应用题．
【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，
（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求
（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求
【解答】解：
设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，
用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．
（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，
则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．
事件A由4个基本事件组成，故所求概率
．
答：
取出的两个球上的标号为相同数字的概率为
．
（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，
则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．
事件B由7个基本事件组成，故所求概率
．
答：
取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
．
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率公式的应用，解题的关键是准确求出每种情况下事件的个数．
9.【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】计算题；应用题．
【分析】根据题意，设用a、b、c分别表示3枚钥匙，其中a是房门钥匙，分析可得这个随机事件包含：
abc、acb、bac、cab、bca、cba共6个基本事件；
（Ⅰ）设用A表示事件“恰好第三次打开房门锁”，事件A包括bca、cba共两个基本事件，由古典概型计算公式，计算可得答案，
（Ⅱ）用B表示事件“两次内打开房门锁”，分析可得事件B包含的基本事件数目，由古典概型计算公式，计算可得答案．
【解答】解：
设用a、b、c分别表示3枚钥匙，其中a是房门钥匙，则这个随机事件可看作是三枚钥匙的一个排序，
它包含了：
abc、acb、bac、cab、bca、cba共6个基本事件；
（Ⅰ）设：
用A表示事件“恰好第三次打开房门锁”，
则事件A包括bca、cba共两个基本事件：
；
（Ⅱ）设：
用B表示事件“两次内打开房门锁”，
则事件B包含：
abc、acb、bac、cab共4个基本事件：
；
答：
恰好第三次打开房门锁的概率是
，两次内打开的概率是
．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及列举法分析表示事件的基本事件，注意使用列举法时，要全面分析，按一定的顺序，做到不重不漏．
10.【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；
（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．
【解答】解：
（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；
从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；
通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；
这是一个古典概型，∴P（A）=
；
（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；
∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；
设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；
这是一个古典概型，∴
．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．
11.（I）被调查人答卷情况统计表：
（II）∵由表格可以看出女生同意的概率是
，男生同意的概率是
，
用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数
（人）
（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，
“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，
选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），
（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；
其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），
（2，5），（2，6），8种满足题意，
则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为
．
12.考点：
古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件；等可能事件的概率．
专题：
概率与统计．
分析：
（1）由题意知本题是一个古典概型，通过列举得到实验的所有事件，而满足条件的事件是甲同学没有选中、自然小组的乙同学被选中，根据写出的所有结果数出满足条件的事件数．
（2）由题意知本题是一个古典概型，通过列举得到实验的所有事件，而满足条件的事件是数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中的对立事件是“数学组的甲同学、自然小组的乙同学都被选中”，根据对立事件公式得到结果．
解答：
解：
由题意知本题是一个古典概型，
我们把数学小组的三位成员记作S1，S2，S3，
自然小组的三位成员记作Z1，Z2，Z3，
人文小组的三位成员记作R1，R2，R3，
则基本事件是（S1，Z1，R1），（S1，Z1，R2），
（S1，Z1，R3），（S1，Z2，R1），（S1，Z2，R2），
（S1，Z2，R3），（S1，Z3，R1），
（S1，Z3，R2），（S1，Z3，R3），
然后把这9个基本事件中S1换成S2，
S3又各得9个基本事件，故基本事件的总数是27个．
以S1表示数学组中的甲同学、Z2表示自然小组的乙同学；
（I）甲同学没有选中、自然小组的乙同学被选中
所含有的基本事件是上述基本事件中不含S1、含有Z2的基本事件，
即（S2，Z2，R1），（S2，Z2，R2），（S2，Z2，R3），
（S3，Z2，R1），（S3，Z2，R2），（S3，Z2，R3）共6个基本事件，
故所求的概率为
；
（II）“数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中”
的对立事件是“数学组的甲同学、自然小组的乙同学都被选中”，
这个事件所包含的基本事件是（S1，Z2，R1），（S1，Z2，R2），
（S1，Z2，R3），共3个基本事件，这个事件的概率是
．
根据对立事件的概率计算方法，所求的概率是
．
点评：
本题严格按照大纲的要求来解古典概型的问题，即用列举法写出试验发生时的所有事件数和满足条件的事件数，是一个典型的问题，本题容易出错．
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