201951mcma题让标枪飞.doc
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五一数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了五一数学建模竞赛的竞赛规则。
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我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
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五一数学建模竞赛
题目让标枪飞
关键词：
多元回归统计K-means聚类距离相关牛顿欧拉方程刚体微分学
摘要：
标枪的技术参数包括，标枪的长度、重量、几何形状、重心的位置、形心的位置等，标枪的形心位置由枪身、枪头、把手三者综合判定而得，题目给出了三者长轴和直径的相关数据，根据k-means聚类进行分析求解此问题。
考虑到初始攻角受到了出手角的影响，我们猜测初始攻角和出手角之间存在联系，可以寻找初始攻角和出手角之间的关系，简化初始攻角、出手角、投掷距离、出手速度之间的关系，利用多元回归统计进行分析。
用前面已经拟合的公式，发现初始攻角存在某一合法置信区间，出手速度固定，通过逐渐改变初始攻角的取值，可以得到多组投掷距离，取最优解。
阅读题意，顺风逆风改变了出手速度，前述问题，已经解决了出手角、初始攻角对投掷距离的影响，而初始俯仰角速度是指标枪出手瞬间，标枪枪头半轴（枪尖至重心部分）在单位时间内围绕重心旋转的角度，建立标枪飞行的数学模型，利用牛顿欧拉方程求解。
最后，根据上述问题得到的结论，对运动员出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速度、风向及风速等要素，对标枪投掷距离影响的相对重要性进行分析总结，用自然语言进行详尽的描述。
一、问题重述
标枪的投掷是一项历史悠久的田径比赛项目。
标枪投掷距离的远近受到运动员水平（出手速度、出手角、初始攻角、出手高度、出手时标枪的初始俯仰角速度等），标枪的技术参数（标枪的长度、重量、几何形状、重心的位置、形心的位置等）和比赛环境（空气的密度与粘度、风力、风向等）三方面因素的影响。
1.现有某型标枪的测量尺寸数据。
请估算该型标枪沿标枪中轴线剖面面积、标枪表面积和标枪形心的位置。
2.现有某标枪比赛中24名运动员使用同型号标枪投掷的实测数据。
请对这些数据进行分析，建立合适的数学模型，找出标枪飞行过程中的运动规律。
3.假设某型标枪的几何参数同问题1，重心位于形心前10cm（重心在枪尖与形心之间），出手时标枪的初始俯仰角速度为0。
在无风的前提下，对标枪投掷出手瞬间、出手后的受力及运动情况进行分析，建立标枪飞行的数学模型并求解如下问题:
（1）假设某运动员投掷出手速度为29.70m/s、出手角为36.6°、初始攻角为-0.9°，请估算出标枪的投掷距离。
（2）假设某运动员投掷出手速度为30m/s，请给出最佳的出手角和初始攻角使得投掷距离最大并估算出标枪的投掷距离。
4.假设标枪技术参数同问题3，风向分别为顺风和逆风，风速分别为3m/s，6m/s和9m/s，运动员投掷出手速度为31.70m/s。
请建立标枪飞行的数学模型，给出最佳出手角、最佳初始攻角、最佳初始俯仰角速度使得投掷距离最大。
5.标枪技术参数同问题3，请分析运动员出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速度、风向及风速等要素对标枪投掷距离影响的相对重要性。
二、问题分析
2.1问题一的分析
标枪的技术参数包括，标枪的长度、重量、几何形状、重心的位置、形心的位置等，标枪的形心位置由枪身、枪头、把手三者综合判定而得，题目给出了三者长轴和直径的相关数据，可以根据k-means聚类进行分析，来求解此问题。
2.2问题二的分析
题目给出了24位运动员的标枪比赛实测数据，考虑到初始攻角受到了出手角的影响，我们猜测初始攻角和出手角之间存在联系，可以寻找初始攻角和出手角之间的关系，简化初始攻角、出手角、投掷距离、出手速度之间的关系，利用多元回归统计进行分析。
2.3问题三的分析
第一小问，阅读题意，根据第二问得出的结论进行分析；第二小问，用前面已经拟合的公式，发现初始攻角存在某一合法置信区间，在区间中设置步长为1（题目给出的数据均为整数），猜想，初始攻角结果也为一个合法的整数，故出手速度固定，通过逐渐改变初始攻角的取值，可以得到多组投掷距离，取最优解
2.4问题四的分析
阅读题意，顺风逆风改变了出手速度，前述问题，已经解决了出手角、初始攻角对投掷距离的影响，，而初始俯仰角速度是指标枪出手瞬间，标枪枪头半轴（枪尖至重心部分）在单位时间内围绕重心旋转的角度，建立标枪飞行的数学模型，给出最佳出手角、最佳初始攻角、最佳初始俯仰角速度使得投掷距离最大，利用牛顿欧拉方程求解。
2.5问题五的分析
根据上述问题得到的结论，对运动员出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速度、风向及风速等要素，对标枪投掷距离影响的相对重要性进行分析总结，用自然语言进行详尽的描述。
三、符号说明
我在底下标注，自助总结下吧
四、模型假设
假设运动员：
（1）出手高度为2m
（2）标枪重量为800g
（3）不考虑标枪在飞行过程中的进动影响
（4）空气密度为1.184×10-3g/cm3
（5）空气粘度为1.84×10-5pa∙s（帕·秒）
（6）如果考虑有风，空气阻力（推力）水平
（7）考虑地心引力
（8）除了出手角度外，考虑初始俯仰角和初始攻角（初始攻角β=持枪角γ−出手角α）
五、模型建立与求解
5.1问题一模型建立与求解
5.1.1模型建立
标枪长轴与直径数据在不同的部位存在一定的关系逼近，利用题中已给的数据近似聚类，并进行统计描述，以完成对形心位置的准确预测。
即利用k-means聚类研究它们之间的关系。
聚类是一个将数据集中在某些方面相似的数据成员进行分类组织的过程，发现它们的内在结构。
我们建立枪身、枪头、把手三者相关的聚类模型
（1）选择3个点作为初始质心。
（2）将每个点指派到最近的质心，形成3个簇，重新计算每个簇的质心，直到质心不发生变化。
（Result表示结果，v1v2v3表示枪身、枪头、把手）
D（x）表示沿枪轴方向的直径分布，我们将D（x）的度量为标枪长度分割为多个刻度，一共70份，利用matlab进行拟合得到标枪沿枪轴方向的直径分布模型：
D（x）表示沿枪轴方向的直径分布在matlab中，标枪长度刻度为y轴，沿枪轴方向的直径分布为x轴，根据拟合优度选用以e为底的指数函数拟合，拟合得到如下图像
拟合优度91.34%
反函数运算得到表达式
查阅相关资料，结合分析，发现，该型标枪沿标枪中轴线剖面面积以及标枪表面积满足下列表达式（表示标枪中轴线剖面面积，x表示从枪尖为起点的标枪长度,D（x）表示沿枪轴方向的直径分布，L表示标枪长度，800g标枪取2.6m）
5.1.2模型求解
根据上述模型，可以得到，三者样本量集群分布如下：
由结合、分割轮廓可知三者品质如下，形心位于枪身（品质：
劣）处：
经过k-means聚类得到下述结果：
最终经过计算：
形心位于距离枪尖1050mm处
利用matlab软件对剖面面积以及标枪表面积进行辛普森梯形数值积分，得到表面积为145074（mm2），剖面积67336（mm2）
5.2问题二模型建立与求解
5.2.1模型的建立
利用SPSS软件对变量进行距离相关性分析，发现运动员出手速度（米/秒），出手角（度），初始攻角（度），投掷距离（米）4者之间存在相关性，结果如下：
我们以为自变量，为因变量进行多元回归分析
拟合准确度符合预期
查阅文献我们知道，出手角度，初始俯仰角，则，初始攻角，
我们经过分析及查阅相关文档发现，考虑初始攻角由出手角以及初始俯仰角联合影响，故，只考虑初始攻角即可，拟合发现，初始攻角、出手速度二者之间对投掷距离的影响满足三元三次关系：
函数图像如下：
傅里叶函数6次拟合出手角和初始攻角之间的关系：
5.2.2模型的求解
标枪飞行过程中的运动规律如下：
（1）在只考虑出手速度，出手角，高度，情况下则满足斜抛运动方程，距离为
，
（2）考虑初始攻角，出手角，出手速度时，忽略高度的影响因素，距离
5.3问题三模型建立与求解
5.3.1模型的建立
假设某型标枪的几何参数同问题1，重心位于形心前10cm（重心在枪尖与形心之间），出手时标枪的初始俯仰角速度为0。
在无风的前提下，对标枪投掷出手瞬间、出手后的受力及运动情况进行分析：
简化模型，忽略初始俯仰角速度和重心对标枪投掷的影响；
标枪出手瞬间，受到手的推力和重力；
标枪出手后，只受重力。
由第二问的分析以及第三问题意知，标枪投掷满足模型2
5.3.2模型的求解
（1）假设某运动员投掷出手速度为29.70m/s、出手角为36.6°、初始攻角为-0.9°，由第二问的结论
可以估算出标枪的投掷距离为83.904m
（2）将初始攻角的区间设为（-20,10），步长设为1，建立程序计算得到，（程序见附录），初始攻角为-7度时，投掷距离较大，投掷距离为85.817m，
而用拟合的另一个公式，
由初始攻角得到，出手角为34.6875度
5.4问题四模型建立与求解
5.4.1模型的建立
查阅相关文献，
我们知道出手角度为32°，
（1）初始攻角为0°~6°时,如有逆风,标枪飞行远度均呈现出下降的趋势;
（2）当初始攻角>0°时,逆风增大只会引起飞行远度大幅度地下降。
（3）在顺风风速为0~12m/s,初始攻角为-6°~6°时,标枪的飞行远度随风速增加有所增加,尤其是在初始攻角为6°时增加幅度更大。
（4）但当风速超过12m/s时，飞行远度会急剧下降。
出手角度为40°时，
（1）初始攻角为-6°~6时,如有逆风,标枪飞行远度均会减小,
（2）初始攻角>0°时下降的幅度更大。
（3）顺风时,在上述条件下,标枪的飞行远度会有较大幅度增加,但风速一旦超过9m/s~12m/s,飞行远度会大大减小
通过上面的论述，我们可以知道，题目中给出的顺风逆风速度没有让实验结果出现指数级别的误差，并且为我们后面的研究提供了理论和数值基础。
在这里，尝试建立人体-标枪运动动力学方程：
将标枪视为纯净刚体，利用牛顿欧拉方程建立刚体的动力学方程，作用在标枪上的力有重力以及空气阻力（反作用力）
符号说明：
标枪转动惯量质点距离转轴，默认15mm标枪位移标枪速度标枪加速度出手速度顺风速度逆风速度出手角初始攻角标枪质量标枪长度（力矩）初始俯仰角速度运动员高度风向阻力
5.4.2模型的求解
将初速代入上述模型求解可得:
顺风
逆风
3m/s
6m/s
9m/s
3m/s
6m/s
9m/s
最佳出手角（度）
38.7
40.3
41.1
40.6
39.9
38.4
最佳初始攻角（度）
-7.1
-6.7
-6.4
-5.7
-6.1
-6.9
最佳初始俯仰角速度（度/秒）
-8
-8
-9
-9
-9
-8
最大投掷距离（米）
87.5
89.1
90.4
89.5
88.1
87.0
5.5问题五模型建立与求解
通过对掷标枪运动的研究，主要将得出以下两个方面的结论:
一、人体投掷动作对标枪初始条件的影响
本文先对飞行系统进行了统计预测，在对人体-标枪系统建立刚体力学模型基础上,通过动力学普遍定理推导了该系统运动的动力学方程，最终得出了各个刚体之间的相互作用力矩与刚体之间相对角度之间的关系，从而间接建立了各刚体之间相互作用力及力矩与标枪飞行的初始条件之间的关系。
二、初始条件和风对标枪飞行远度的影响
在对标枪飞行的计算机模拟以及模拟得到的数据进行分析后，将得出以下几个结论:
（1）在其它初始条件不变的情况下，随着初速度的不断增加，标枪的飞行远度也不断增加,而月增加的幅度有加大的趋势。
在本文研究的范围内，它们基本上呈线性关系。
（2）在其它初始条件不变的情况下，标枪在出手角度为0°~42°的范围内，随着出手角度的增加,标枪的飞行远度基本上是不断增加的。
当出手角度为45°时，在空气阻力的影响下,并不能使标枪的飞行远度达到最大。
当出手角度超过42°以后，标枪的飞行远度有所下降。
本文认为该标枪的最佳出手角度大约在42度左右。
（3）在其它初始条件-定的情况下，初始俯仰角速度小于0时标枪要飞的更远一些。
认为标枪的最佳初始俯仰角速度大约在-0.26rad/s~-0.17rad/s范围内。
（4）在本文的研究中，初始攻角的变化和出手角存在一定的关系。
六、模型评价
问题一采用的是K-means聚类，虽然直观，但是不便于数据的具体统计。
问题二利用多元回归统计进行分析，采取的是忽略次要因素，突出主要因素，可能会在结论上出现些许偏差。
问题三在问题二的基础上修缮，在程序上采用步长推断法，导出合适的结论。
问题四更加复杂化，在数学模型的基础上，结合物理模型，建立牛顿欧拉方程，求解问题，结果较为准确。
问题五对整个标枪问题进行系统地总结概括。
七、参考文献
标枪的气动力特性和几何_物理参数测量_蔡国华
标枪几何物理参数与空气动力学性能_王倩
标枪的仰角与阻力_王吉寿
世界优秀男子标枪运动员最后用力阶段运动学参数分析_郑红岩
风对标枪飞行初始条件及远度的影响王倩
（一般力学与力学基础专业论文）人体—标枪系统对标枪飞行初始条件的影响及标枪飞行的计算机模拟
八、附录
附录：
#include
usingnamespacestd;
intmain（）
{
doublex[100];
doubley[100];
doublez[100];
doublep00=2115;
doublep10=-94.97;
doublep01=-221.1;
doublep20=0.5152;
doublep11=6.849;
doublep02=7.788;
doublep30=-0.003476;
doublep21=-0.01733;
doublep12=-0.1229;
doublep03=-0.08907;
inti;
for（i=1;i<=31;i++）
{
x[i]=30;
}
for（i=1;i<=31;i++）
{
y[i]=i-11;
}
for（i=1;i<=31;i++）
{
z[i]=p00+p10*x[i]+p01*y[i]+p20*x[i]*x[i]+p11*x[i]*y[i]+p02*y[i]*y[i]+p30*x[i]*x[i]*x[i]+p21*x[i]*x[i]*y[i]+p12*x[i]*y[i]*y[i]+p03*y[i]*y[i]*y[i];
}
for（i=1;i<=31;i++）
{
cout<}
return0;
}
第二个程序：
#include
usingnamespacestd;
intmain（）
{
doubley;
doublew=0.7267;
doublex=-7;
doublea0=33.73;
doublea1=-0.7881;
doubleb1=-1.525;
doublea2=-1.04;
doubleb2=-0.1092;
doublea3=-1.196;
doubleb3=-2.07;
doublea4=-0.51;
doubleb4=-0.07145;
doublea5=0.6295;
doubleb5=-0.07075;
doublea6=1.13;
doubleb6=-1.743;
y=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）;
cout<return0;
}
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