人教版八年级数学上册金榜名师推荐题组训练1332等边三角形doc.docx

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人教版八年级数学上册金榜名师推荐题组训练1332等边三角形doc

提技能·题组训练

等边三角形的性质与判定

1.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+

∠β的度数是　（　　）

A.180°B.220°C.240°D.300°

【解析】选C.∵等边三角形的顶角为60°，

∴两底角和=180°-60°=120°，∴∠α+∠β=360°-120°=240°.

【一题多解】选C.∵等边三角形的顶角为60°，∠1+∠2=180°-60°=120°，根据平角定义，∠α=180°-∠1，∠β=180°-∠2，所以∠α+∠β=（180°-∠1）+（180°-∠2）=360°-（∠1+∠2）

=360°-120°=240°.

2.（2014·吉安模拟）如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则

∠2的度数是　（　　）

A.100°B.80°

C.60°D.40°

【解析】选A.∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，∵∠1=20°，∴∠3=100°，∴∠2=100°.

【变式训练】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为　（　　）

A.25°B.60°C.85°D.95°

【解析】选D.∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°.

3.如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是　（　　）

A.5B.8C.7D.6

【解析】选D.连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD，∴∠DPO=60°，∵等边△ABC，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9，

∴∠OPA=∠PDB=∠DPA-60°，∴△OPA≌△PDB，∵AO=3，∴AO=PB=3，∴AP=6.

【易错提醒】当问题的已知条件通过作图来体现时，必须将隐含的相等关系找出来，然后利用等边三角形性质来解题.此类题目解题的关键是找出作图隐含的相等关系.

4.等边三角形两条高线相交所成的钝角的度数是　　　　.

【解题指南】等边三角形的三个内角都是60°，等边三角形有三组“三线合一”，上述性质是在等边三角形中求角的度数的重要依据.

【解析】根据等腰三角形的三线合一性质可知，等边三角形的高线也是角平分线，所以相交所成的钝角的度数为180°-30°-30°=120°.

答案：

120°

5.△ABC为等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，则∠AQN等于多少度?

【解析】如图，在△ABM和△BCN中，∠BCN=∠ABM=60°，CN=BM.

AB=BC，∴△ABM≌△BCN（SAS）.

∴∠BAM=∠CBN.

∴∠AQN=∠BAQ+∠ABQ=∠NBC+∠ABQ=∠ABC=60°.

6.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形?

试说明你的结论.

【解题指南】先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形.

【解析】△APQ为等边三角形.证明：

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC.在△ABP与△ACQ中，∵

∴△ABP≌△ACQ（SAS）.∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ.

∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，∴△APQ是等边三角形.

【知识归纳】等边三角形证明题的几种类型

1.求角度.当题目出现等边三角形时，利用等边三角形三个角都是60°，或者三线合一来求角的度数.

2.求线段的长度.在证明线段相等或者和差问题时，往往利用等边三角形三条边相等来进行证明.

含30°角的直角三角形性质

1.（2014·邢台一模）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为　（　　）

A.3cm　　　B.4cm

C.5cm　　　D.6cm

【解题指南】若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题.

【解析】选C.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC=15°，

∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°，

∵AD⊥BC，∴AD=

AC=

×10=5（cm）.

【易错提醒】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个定理是直角三角形特有的性质，一般三角形不具有.

2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化

环境，已知∠A=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需

要　（　　）

A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元

【解题指南】作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果.

【解析】选B.如图

，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，

∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，

∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=

AB×CD=

×20×15=150m2，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格为150a元.

【知识归纳】应用含有30°角的直角三角形性质解题思路

1.我们可以运用这个性质，将角的关系转化为线段的关系，应用于计算或证明线段的倍数关系.

2.若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题.

3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4m处折断倒下，倒下部分与地面成

30°夹角，这棵树在折断前的高度为　　　　m.

【解析】如图，∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，∴AB=2CB，

而BC=4m，∴AB=8m，∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12m.

答案：

12

4.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的长.

【解析】连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=30°，

∴∠DAC=

∠BAC=60°，∵DE⊥AC于E，

∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，在Rt△ADE中，AE=2，∠ADE=30°，∴AD=2AE=4，在Rt△ADC中，AD=4，∠C=30°，∴AC=2AD=8，则CE=AC-AE=8-2=6.

【变式训练】如图，已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.

求证：

BF=2CF.

【证明】连接AF.∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°.

∵EF是AC的垂直平分线，

∴AF=FC，∴∠CAF=∠C=30°，

∴∠BAF=90°，∴BF=2AF，

∴BF=2CF.

5.如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M是AB上一点，CM=

AB，D是BM的中点，

求证：

CD⊥AB.

【证明】∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=

AB，

∵CM=

AB，∴CM=CB，∴△CBM是等腰三角形.

又∵D是BM的中点，∴CD⊥AB.

【错在哪？

】作业错例课堂实拍

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，∠A=30°，若BD=3cm，求AD的长.

（1）找错：

从第___步开始出现错误.

（2）纠错：

________________________________________________________

答案：

（1）①

（2）∵等角的余角相等，∴∠BCD=∠A=30°，又∵30°所对的直角边是斜边的一半，∴AB=2BC=4BD=12cm.AD=AB-BD=12-3=9（cm）.