6.已知a,b,c∈R,且a+b+c=2,a2+2b2+3c2=4,则a的取值范围为____________.
[答案]
≤a≤2
[解析] 由已知得b+c=2-a,2b2+3c2=4-a2,联想柯西不等式可得(2b2+3c2)(
+
)≥(b+c)2,得(4-a2)×
≥(2-a)2,所以11a2-24a+4≤0,得
≤a≤2.
三、解答题
7.(吉林质检)设函数f(x)=
.
(1)当a=-5时,求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.
[解析] 本题考查不等式的解法,含有参数,需要分类讨论,有一定难度.
(1)由题设知:
|x+1|+|x-2|-5≥0,
如图,在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x-2|和y=5的图象,得定义域为(-∞,-2]∪[3,+∞).
(2)由题设知,当x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|+a≥0,即|x+1|+|x-2|≥-a.
又由
(1)|x+1|+|x-2|≥3,∴-a≤3
a≥-3.
8.(2011·新课标理,24)设函数f(x)=|x-a|+3x,
其中a>0,
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集.
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
[解析]
(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.
此不等式化为不等式组
或
即
或
因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤-
}.
由题设可得-
=-1,故a=2.