1第一章三角形的证明.docx

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1第一章三角形的证明

第一章三角形的证明

1.1等腰三角形

专题一等腰三角形个数的判定

1．（2013龙岩）如图，在平面直角坐标系xoy中，A（0，2），B（0，6），动点C在y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）

A．2B．3C．4D．5

2．如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的毎个小正方形的边长均为1个单位1长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有（　　）

A．4个B．6个C．7个D．9个

3．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，则图中等腰三角形有几个（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

专题二构造全等三角形

4．已知：

如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．

求证：

AF=BC+FC．

5．如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，F是AC延长线上一点，连DF交BC于E，若DB=CF，求证：

DE=EF．

6．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

参考答案

1．D【解析】

（1）若等腰三角形以线段AB为底，即当CA=CB时，作线段AB的垂直平分线与直线y＝x有一个交点；

（2）以线段AB为腰时，又分两种情况：

当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径的圆与与直线y＝x有两个交点；当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径的圆与与直线y＝x有两个交点；故满足条件的C点有5个，故选D．

2．C【解析】根据题意可知：

以原三角形每条边为底边分别可以画出两个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，故3×2=6；同时，还可以以原直角三角形斜边为腰画出一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，∴符合要求的新三角形有7个，故选C．

3．D【解析】∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM=FM=BM=CM，则等腰三角形有△EFM、△BMF、△CMF、△BME、△CME共5个．故选D．

4．证明：

过E点作EG⊥AF，垂足为G，

∵∠BAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，

又∠BAE=∠EAF，即AE为∠BAF的平分线，EB⊥AB，EG⊥AG，

∴BE=EG，

在Rt△ABE和Rt△AGE中，

∵

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），

∴AG=AB=BC，

同理可知CF=GF，

∴AF=BC+FC．

5．证明：

作FH∥AB交BC延长线于H，

∵FH∥AB，

∴∠FHC=∠B.

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

又∠ACB=∠FCH，

∴∠FHE=∠FCH．

∴CF=HF．

又∵BD=CF，

∴HF=BD．

又∵FH∥AB，

∴∠BDE=∠HFE，∠DBE=∠FHE．

∴△DBE≌△FHE（ASA）．

∴DE=EF．

6．解：

（1）①全等.∵t＝1秒，

∴BP＝CQ＝3×1＝3（厘米）.

∵AB＝10厘米，点D为AB的中点，

∴BD＝5厘米．

又∵PC＝BC－BP，BC＝8厘米，

∴PC＝8－3＝5（厘米），

∴PC＝BD．

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴△BPD≌△CPQ．

②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

又∵△BPD与△CPQ全等，∠B＝∠C，则BP＝PC＝4厘米，CQ＝BD＝5厘米，

∴点P，点Q运动的时间

（秒），

∴

（厘米/秒）.

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得

x＝3x＋2×10，

解得

．

∴点P共运动了

×3＝80（厘米）．

∵80═56＋24＝2×28＋24，

∴点P与点Q在AB边上相遇，

∴经过

秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．

1.2直角三角形

专题折叠问题

1．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．

（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________，线段AM、BN、MN之间的数量关系是________________________；

（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________.试证明你的猜想；

（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）

2．小明剪了一些直角三角形纸片，他取出其中的几张进行了如下的操作：

操作一：

如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为 DE．如果∠CAD∶∠CDA=1∶2，CD=1cm，试求AB的长．

操作二：

如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将其折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AE重合，折痕为AD．已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，请你求出CD的长．

操作三：

如图3，小明又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB于D．请你说明：

BC2+AD2=AC2+BD2．

参考答案

1．解：

（1）根据折叠的性质知：

△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP；

∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN，

∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN，

故△PMN是等腰直角三角形，AM2+BN2=MN2（或AM=BN=

MN）．

（2）AM2+BN2=MN2.如图，

将△ACM沿CM折叠，得△DCM，连DN，则△ACM≌△DCM，

∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，同理可知∠DCN=∠BCN，

△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°

∴∠MDN=90°，

∴DM2+DN2=MN2，

故AM2+BN2=MN2．

（3）AM2+BN2=MN2．

2．解：

操作一：

∵∠CAD∶∠CDA=1∶2，∠C=90°，

∴设∠CAD=x，∠CDA=2x，

∴x+2x=90°，

解得x=30°，

故∠CAD=30°.

∵CD=1cm，

∴AD=2cm，

故AC=

=

cm.

∵将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，

∴BD=AD，

∴∠DBA=∠DAB.

∵∠CDA=2x=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=2

cm.

操作二：

∵AC=6cm，BC=8cm，

∴AB=

=10cm.

根据折叠性质可得AC=AE=6cm，

∴BE=AB-AE=10-6=4.

设CD=x，则BD=8-x，DE=x，

在Rt△BDE中，由题意可得方程x2+42=（8-x）2，

解得x=3，

故CD=3cm.

操作三：

在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，

在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=AC2-CD2，

故BC2+AD2=BD2+CD2+AC2-CD2=AC2+BD2．

1.3线段的垂直平分线

专题利用线段的垂直平分线证明线段的和、差、倍问题

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：

BE+DE=AC．

2．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：

CM=2BM．

3．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D．求证：

CD=AB+BD．

参考答案

1．证明：

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC.

∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，

∴CE=DE.

∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE.

∵AE+CE=AC，

∴BE+DE=AC．

2．证明：

如图所示，连接AM，

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=30°.

∵MN是AB的垂直平分线，

∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，

∴∠MAC=90°，

∴CM=2AM，

∴CM=2BM．

3．证明：

如图，在DC上取DE=BD，

∵AD⊥BC，

∴AB=AE，BD=AE,

∴∠B=∠AEB.

在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE，

又∵∠B=2∠C，

∴2∠C=∠C+∠CAE，

∴∠C=∠CAE，

∴AE=CE，∴AB=CE，

∴CD=CE+DE=AB+BD．

1.4角平分线

专题有关角平分线的探究性问题

1.

（1）已知：

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：

∠PAC+∠PBC=_______°（直接写出结论，不需证明）．

（2）已知：

如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，

（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

2．观察、猜想、探究：

在△ABC中，∠ACB=2∠B．

（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：

AB=CD+AC；

（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

不需要证明，请直接写出你的猜想；

（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

参考答案

1．解：

（1）猜想：

∠PAC+∠PBC=180°.

（2）结论：

依然成立．

证明：

如图，连接CE．

∵E为AB中点，

∴AE=EB=EC，

∴∠EAC=∠ECA，

∴∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠EAC-45°.

又∵∠DAC=180°-∠ADC-45°=135°-∠PDE，

∴∠DCE=135°-∠PDE-45°=90°-∠PDE=∠DPE，

∴PE=EC=AE，

∴△PAE与△PBE为等腰直角三角形，∠APB=90°，

∴∠PAC+∠PBC=360°-∠APB-∠ACB=360°-90°-90°=180°．

2．解：

（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图①所示，

∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DE=DC.

在Rt△ACD和Rt△AED中，

AD=AD，DE=DC，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE，∠ACB=∠AED.

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B.

又∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠B=∠EDB，

∴BE=DE=DC，

则AB=BE+AE=CD+AC.

（2）AB=CD+AC，理由：

在AB上截取AG=AC，如图②所示，

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠GAD=∠CAD，

∵在△ADG和△ADC中，

，

∴△ADG≌△ADC（SAS），

∴CD=CG，∠AGD=∠ACB.

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AGD=2∠B，

又∵∠AGD=∠B+∠GDB，

∴∠B=∠GDB，

∴BG=DG=DC，

则AB=BG+AG=CD+AC.

（3）AB=CD-AC，理由：

在AF上截取AG=AC，连接DG，如图③所示，

∵AD为∠FAC的平分线，

∴∠GAD=∠CAD，

∵在△ADG和△ADC中，

∴△ADG≌△ADC（SAS），

∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD.

∵∠ACB=2∠B，

∴∠FGD=2∠B.

又∵∠FGD=∠B+∠GDB，

∴∠B=∠GDB，

∴BG=DG=DC，

则AB=BG-AG=CD-AC．