考试必备广东高州市大井中学届高三第三次月考数学文重点.docx
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考试必备广东高州市大井中学届高三第三次月考数学文重点
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广东省高州市大井中学2011届高三上学期第三次月考
数学试题（文）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
a3i
1．若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数,则实数a的值为
12i
A．-6
B．13C．
（）
3
2
D．
2．已知条件p：
|x4|6；条件q：
x22x1m20（m0），若p是q的充分不必
要条件，则m的取值范围是A．[21，＋∞]C．[19，＋∞]
B．[9，＋∞]D．（0，＋∞）
（）
3．已知图1是函数yf（x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是
（）
A．yf（|x|）C．yf（|x|）
B．y|f（x）|D．yf（|x|）
4．若等差数列{an}的前5项之和S525，且a23，则a7（）
A．12
B．13
C．14
D．15
（）
5．已知cos（
6
）sin
7）的值是，则sin（6A．
3
B．
3
C．
23
D．
23
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6．已知命题p：
函数ylog0.5（x22xa）的值域为R，命题q：
函数y（52a）x是减函数。
若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是
A．{a|a1}
B．{a|1a2}D．{a|a1或a2}
（）
C．{a|a2}
7．如图，在棱长相等的四面体S-ABC中，E、F分别是SC、AB的中点，
则直线EF与SA所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．已知l,m表示直线，,,表示平面，下列条件中能推出结论的正确的是
条件：
①lm,l,m;②∥,∥;③l,
（）
∥;④
l,m⊥。
结论：
a:
lb:
⊥c:
l∥md:
∥
A．①a,②b,③c,④dB．①b,②d,③a,④cC．①c,②d,③a,④bD．①d,②b,③a,④c
9．已知非零向量,和
满足
01，
2则△ABC为（）
A．等边三角形B．等腰非直角三角形C．非等腰三角形D．等腰直角三角形10．设O为坐标原点，点M坐标为（3,2），若点N（x,y）满足不等式组：
x0
y0
当3s5时，则OMON的最大值的变化范围是
xysy2x4
A．[7，8]
（）B．[7，9]
C．[6，8]
D．[7，15]
11．已知函数f（x）在R上满足f（x）2f（2x）x8x8，则曲线yf（x）在点
（1,f
（1））处的切线方程是
A．y2x1C．y3x2
x
B．yxD．y2x3
（x1）
（）
12．若x1满足2x25,x2满足2x2log25，则x1+x2＝
（）
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A．52B．3C．72D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
x13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S101
0（xe）dx,S203,则S30为14．已知函数ya1x（a0，a1）的图象恒过定点A，
若点A在直线mxny10（m,n0）上，则11的mn
旗杆
最小值为
．15．2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在
同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和
最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米．
16．设直角三角形的两直角边的长分别为a,b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有
abch成立，某同学通过类比得到如下四个结论：
①abch；②abch22223333；③abch；④abch44445555．其中正确结论的序号是；进一步得到的一般结论是
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
17．（本小题满分10分）己知向量
a（2sinxxxx,1），b（cos,1），函数2222
f（x）lo1g
2
（a·b）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
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18．（本小题满分12分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～
1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：
奖金y（单位：
万元）随投资收益x（单位：
万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要
求；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：
（1）y＝
模型是否符合公司要求？
19．（本小题满分12分）如图：
在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直（图
2为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面
图形的面积．
BEBL
（Ⅱ）图3中，L、E均为棱PB上的点，且1，5，M、N分别为棱PA、PD的中点，
EPLP
问在底面正方形的对角线AC上是否存在一点F，使EF//平面LMN．若存在，请具体求
出CF的长度；若不存在，请说明理由．
图1图3
P
x
2；
（2）y＝4lgx－3．试分析这两个函数150
P
主视图
侧视图
C
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D
A图2
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20．（本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn，如果
“科比数列”．
（Ⅰ）已知等差数列bn的首项为1，公差不为零，若bn为“科比数列”，求bn的
通项公式；
33332（Ⅱ）设数列{cn}的各项都是正数，前n项和为Sn，若c1对任c2c3cnSnSn为常数，则称数列an为S2n
意nN都成立，试推断数列{cn}是否为“科比数列”？
并说明理由．
21．（本小题满分12分）
n（nN*）x,x,,xn的“倒平均数”为x1x2xn定义12，已知数列1
的“倒平均数”为2n4．前项（I）记cnan（nN*）n1，试比较与的大小；
f（x）x24x
（II）是否存在实数，使得当时，an0n1对任意恒
成立？
若存在,求出最大的实数
22．（本小题满分12分）
已知函数yx1,y；若不存在，说明理由．y11t（x）（x0）的最小值恰好是方程2x
x3ax2bxc0的三个解，其中0t1．
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（I）求证:
a2b3
（II）设（x1,M）,（x2,N）是函数f（x）x3ax2bxc的两个极值点。
①若x1x2
22,求函数f（x）的解析式；②求MN的取值范围。
3
参考答案
一、选择题：
1．A2．B3．C4．B5．D6．B7．C8．．B9．A10．A11．A12．C
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出
选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决．设AB的件数为x1（规定:
当x10时,则B调整了|x1|件给A,下同!
）,BC的件数为x2,CD的件数为x3,DA的件数为x4,依题意可得
x450x140,x150x245,x250x354,x350x461,从而
x2x15,x3x11,x4x110,故调动件次
f（x1）|x1||x15||x11||x110|,画出图像（或绝对值的几何意义）可得最小值为16,故选（C）．
二、填空题：
13．614．415．3016．②④abch（nN）
三、解答题：
17．解（Ⅰ）因为a·b
＝2sinnnnnxxxxxcos
（1）
（1）sinx1
2cos222222
sinxcosxx）．（2分）4
由sin（x
4）0，得2kx
42k，即2k
4x2k5，k∈Z．4
所以f（x）的定义域是（2k
4,2k5）,kZ．（4分）4
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因为01x）
f（x）log1，422
1,+）．（6分）2所以f（x）的值域是[
（Ⅱ）由题设f（x）log1
2x）．4
x）为减函数，4若f（x
）为增函数，则y
所以2k
2x
42k，即
2k
分）3535x2k,2k）,kZ（9，故f（x）的递增区间是[2k4444
x）为增函数，4若f（x
）为减函数，则y
所以2kx
42k
2，即
2k
4x2k33],kZ．，故f（x）的递减区间是（2k,2k（12444
分）
18．解（Ⅰ）设奖励函数模型为y＝f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；
x恒成立．（3分）5
x2：
（Ⅱ）
（1）对于函数模型f（x）150②f（x）≤9恒成立；③f（x）
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）maxf（1000）100020229．1503
所以f（x）≤9恒成立．（5分）f（x）12在[10，1000]上是减函数，x150x
f（x）111]max．所以[x15055
f（x）121x，即f（x）不恒成立．从而x150x55因为函数
故该函数模型不符合公司要求．（8分）
（2）对于函数模型f（x）＝4lgx－3：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）maxf（1000）4lg100039．所以f（x）≤9恒立．（10分）
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设g（x）＝4lgx－3－x4lge1．，则g（x）5x5
4lge12lge1lge210，当x≥10时，g（x）x555
所以g（x）在[10，1000]上是减函数，
从而g（x）≤g（10）＝－1＜0．所以4lgx－3－
即4lgx－3＜x＜0，5x，5
x所以f（x）恒成立,故该函数模型符合公司要求．5
19．解：
（1）该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为6cm的正方形（如下图）----2
分2其面积为：
6×6=36（cm）---4分
（2）如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为Z轴建立空间直角坐标系，则D（6，0，0），A（6，6，0），B（0，6，0），Pz
（0，0，6），E（0，3，3），L（0，1，5），M（3，3，3），N（3，0，3）------6分
∴（3,2,2）,（0,3,0）,6,6,0,----7分设平面LMN的法向量为n=（x,y,z）3x2y2z0nLM0由得令x=2则n=（2，0，3）------------9分3y0nNM0
设（6,6,0），----------------------------------10分
则0,3,3（6,6,0）（6,63,3）-------------11分
由n0，得1290，即=
3-------------------------------12分4392AC=cm---------14分42又EF平面LMN，所以，EF//平面LMN------------------------------------13分即在底面正方形的对角线AC上存在符合题意的点F，CF=
20．解（Ⅰ）设等差数列bn的公差为d（d0），
则nSnk，因为b11，S2n11n（n1）dk[2n2n（2n1）d]，22
即2（n1）d4k2k（2n1）d．（2分）
整理得，（4k1）dn（2k1）（2d）0．（3分）
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因为对任意正整数n上式恒成立，则d（4k1）0，（2k1）（2d）0
d2解得1．（5分）k4
故数列bn的通项公式是bn2n1．（6分）
3（Ⅱ）由已知，当n1时，c1S12c12．因为c10，所以c11．（7分）
3333233332当n2时，c1，c1c2c3cnSnc2c3cn1Sn1．322两式相减，得cnSnSn1SnSn1SnSn1cn（SnSn1）．
2因为cn0，所以cn=SnSn12Sncn．（9分）
2显然c11适合上式，所以当n2时，cn12Sn1cn1．
22于是cncn12（SnSn1）cncn12cncncn1cncn1．因为cncn10，则cncn11，
所以数列{cn}是首项为1，公差为1的等差数列．（12分）所以Snn（n1）n1不为常数，S2n2n（2n1）4n2
故数列{cn}不是“科比数列”．（13分）
21．解：
（1）数列的通项为
（2）假设存在实数，使得当．故时，
，易知，．
对任意恒成立，则对任意都成立，
，
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得，有或．故存在最大的实数符合题意．
22．解：
（1）由条件，得f（x）113x2a2xbx2axb，------------------1分32
当x[2,2]时，总有f（x）0，所以有
f
（2）0,2a2b0,f
（2）0.2a2b0.
由①+②得，42b0b2，①②
又b≥－2，∴b=－2，---------------------------------------------------------------------------4分把b=－2代入①和②得
12a220,a0,a0.因此f（x）x32x1--------------------7分32a220.a0.
13232
（2）g（x）3（x2x1）mx6xxmx3，3
g（x）3x22mx是关于x的二次函数，--------------------------------------------8分
|g
（1）||32m|1,m1,当x[0,1]时，|g（x）|10或3mm2
1;|g（）|33
|g
（1）||32m|1,|g
（1）||32m|1,mm或0,-------------------------------11分1,
33
|g（0）|01;|g（0）|01.
解得，1m3．
因此，当x[0,1]时，|g（x）|1的恒成立，则1m-------12分
由g（x）3x2mx>0（0≤x≤1）可知，
当1≤m≤
在[232m时g（x）在[0,]为增函数，232m，1]上为减函数|，|g（0）|=3≤3．5,3
2m4m3
3|≤3．5,|g
（1）|=|m-4|≤3,|g（）|=|327
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即|g（x）|≤3．5；-------------------------------------------------------13分当3≤m≤时g（x）在[0，1]为增函数,2
|g（0）|=3≤3．5,|g
（1）|=|m-4|≤2．5,即|g（x）|≤3．5。
综上所述，当x[0,1]时，若|g（x）|1恒成立，
则|g（x）|≤3．5也恒成立．--------14分
22．（I
）三个函数的最小值一次为：
1f
（1）0得cab1，所以，
f（x）（x1）[x2（a1）xab1]，故方程x2（a1）xab10的两根为
t得a22b3
32323449a（3b）2（或（）2）（II）
①f（x）x2x3；②MN27272
22由（I
）知（a1）2MN的取值范围为
34（0,（32）27
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