初三圆的证明专题训练教案.docx
《初三圆的证明专题训练教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三圆的证明专题训练教案.docx（53页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
初三圆的证明专题训练教案
下载试卷文档前说明文档：
1.试题左侧二维码为该题目对应解析；
2.请同学们独立解答题目，无法完成题目或者对题目有困惑的，扫描二维码查看解析，杜绝抄袭；
3.只有老师通过组卷方式生成的二维码试卷，扫描出的解析页面才有“求老师讲解”按钮，菁优网原有的真题试卷、电子书（习题集）上的二维码试卷扫出的页面无此按钮。
学生点击该按钮以后，下载试卷教师可查看被点击的相关统计数据。
4.自主组卷的教师使用该二维码试卷后，可在“菁优网->我的空间->我的收藏->我的下载”处点击
图标查看学生扫描的二维码统计图表，以便确定讲解重点。
5.在使用中有任何问题，欢迎在“意见反馈”提出意见和建议，感谢您对菁优网的支持。
九年级数学组的初中数学组卷
（扫描二维码可查看试题解析）
一．解答题（共17小题）
1．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=
∠CAB．
（1）求证：
直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=
，求BC和BF的长．
2．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．
3．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
4．（2013•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
（1）求AD的长；
（2）BC是⊙O的切线吗？
若是，给出证明；若不是，说明理由．
5．（2013•菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：
AP是⊙O的切线；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．
6．（2013•聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=
，BE=2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
7．（2012•北京）已知：
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：
BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=
，求BF的长．
8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：
线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：
PC是⊙O的切线．
9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：
AE•FD=AF•EC；
（2）求证：
FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．
10．（2012•黔南州）已知：
如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．
（1）求证：
CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=
，求AD的长．
11．（2012•广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：
直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2
，sin∠BCP=
，求点B到AC的距离．
（3）在第
（2）的条件下，求△ACP的周长．
12．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：
DE为⊙O的切线；
（2）求证：
BD2=AB•BE．
13．（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．
（1）求证：
CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
14．（2011•凉山州）如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为
的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．
（1）求证：
AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．
15．（2011•乐山）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=
，求BE的长．
16．（2011•广安）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：
PB是⊙O的切线；
（2）求证：
AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）设∠AOQ=α，若
，OQ=15，求AB的长．
17．（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：
PC是⊙O的切线．
（2）若AF=1，OA=
，求PC的长．
2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共17小题）
1．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=
∠CAB．
（1）求证：
直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=
，求BC和BF的长．
考点：
切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．
解答：
（1）证明：
连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=
∠CAB．
∵∠CBF=
∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：
过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=
，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=
，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=
，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2
，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=
=2
，
∴sin∠2=
=
=
，cos∠2=
=
=
，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
∴BF=
=
点评：
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
2．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．
考点：
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
专题
证明题．
：
分析：
（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可．
解答：
（1）证明：
连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：
∵△EOC≌△DOC，
∴CE=CD=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12．
点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC．
3．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
考点：
切线的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
解答：
解：
（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，
理由是：
连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
即OD⊥CE，
∴直线CD是⊙O的切线，
即直线CD和⊙O的位置关系是相切；
（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，
∴OC=2+3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：
CD=4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°，
设DE=EB=x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
CE2=BE2+BC2，
则（4+x）2=x2+（5+3）2，
解得：
x=6，
即BE=6．
点评：
本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
4．（2013•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
（1）求AD的长；
（2）BC是⊙O的切线吗？
若是，给出证明；若不是，说明理由．
考点：
切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可；
（2）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．
解答：
解：
（1）连接BD，∵DE是直径∴∠DBE=90°，
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴BC∥OE，BC=OE=1，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC=
AD=1，
则AD=2；
（2）是，理由如下：
如图，连接OB．∵BC∥OD，BC=OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD为圆O的切线，
∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线．
点评：
此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
5．（2013•菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：
AP是⊙O的切线；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．
考点：
切线的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有
分析：
（1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；
（2）利用
（1）中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2
，CD=4．
解答：
（1）证明：
连接AO，AC（如图）．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠CAD=90°．
∵E是CD的中点，
∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC．
∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AP．
∵A是⊙O上一点，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：
由
（1）知OA⊥AP．
在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴sinP=
=
，
∴∠P=30°．
∴∠AOP=60°．
∵OC=OA，
∴∠ACO=60°．
在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，
∴AC=
=2
，
又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，
∴CD=
=
=4．
点评：
本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值．
6．（2013•聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=
，BE=2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
考点：
切线的判定与性质；菱形的判定．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．
解答：
证明：
（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=
CD=
×4
=2
，
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=（x﹣2）2+（2
）2，
解得：
x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD=
=4
，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形FADC是菱形；
（2）连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，
即∠OCF=∠OAF=90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．
点评：
此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．（2012•北京）已知：
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：
BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=
，求BF的长．
考点：
切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．
（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=
，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．
解答：
证明：
（1）连接OC，
∵OD⊥BC，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
∵OB是⊙O半径，
∴BE与⊙O相切．
（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，
∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴
=
=
又∵sin∠ABC=
，OB=9，
∴OD=6，
易得∠ABC=∠ODH，
∴sin∠ODH=
，即
=
，
∴OH=4，
∴DH=
=2
，
又∵△ADH∽△AFB，
∴
=
，
=
，
∴FB=
．
点评：
此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．
8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：
线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：
PC是⊙O的切线．
考点：
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
（1）根据垂径定理可以得到D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可以得到OD∥BC，CD=
BC；
（2）连接OC，设OP与⊙O交于点E，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：
∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可等证．
解答：
（1）猜想：
OD∥BC，OD=
BC．
证明：
∵OD⊥AC，
∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB…2分
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD=
BC
（2）证明：
连接OC，设OP与⊙O交于点E．
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴
，即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中，
，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
点评：
本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：
AE•FD=AF•EC；
（2）求证：
FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．
考点：
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题；几何综合题；压轴题．
分析：
（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可；
（2）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可；
（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可．
解答：
（1）证明：
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBA=90°，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，
∴
=
，
∴AE•FD=AF•EC．
（2）证明：
连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴
=
，
=
，
∴
=
=
，
∵CE=EH（E为CH中点），
∴BF=DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∵BF=DF，
∴CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF=BF．
（3）解：
∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°，
∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF，
∴∠G=∠FAG，
∴AF=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG，
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠FCB+∠BCO=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
∵GBA是⊙O割线，AB=BG（已证），
FB=FE=2，
∴由切割线定理得：
（2+FG）2=BG×AG=2BG2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：
BG2=FG2﹣BF2，
∴FG2﹣4FG﹣12=0，
解得：
FG=6，FG=﹣2（舍去），
由勾股定理得：
AB=BG=
=4
，
∴⊙O的半径是2
．
点评：
本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．
10．（2012•黔南州）已知：
如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．
（1）求证：
CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E
升级会员 