2000-2012全国高中数学联赛分类汇编-专题08-立体几何.doc
《2000-2012全国高中数学联赛分类汇编-专题08-立体几何.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2000-2012全国高中数学联赛分类汇编-专题08-立体几何.doc(9页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
2、(2002一试6)由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1,满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则()
(A)V1=V2(B)V1=V2(C)V1=V2(D)V1=2V2
3、(2003一试6)在四面体ABCD中,设AB=1,CD=,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四面体ABCD的体积等于()
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】如图,把四面体补成平行六面体,则此平行六面体的体积=1××sin×2=3.
而四面体ABCD的体积=×平行六面体体积=.故选B.
4、(2004一试6)顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为()
A.B.C.D.
5、(2005一试4)如图,为正方体。
任作平面与对角线垂直,使得与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为.则()
A.S为定值,不为定值B.S不为定值,为定值
C.S与均为定值D.S与均不为定值
【答案】B
【解析】将正方体切去两个正三棱锥后,得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱剪开,展平在一张平面上,得到一个,而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段(如图中),显然,故为定值。
当位于中点时,多边形W为正六边形,而当移至处时,W为正三角形,易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与,故S不为定值。
选B。
[来源:
学科网ZXXK]
6、(2006一试4)在直三棱柱中,,.已知G与E分别为和的中点,D与F分别为线段和上的动点(不包括端点).若,则线段的长度的取值范围为()
A.B.C.D.
7、(2007一试1)如图,在正四棱锥P−ABCD中,∠APC=60°,则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图,在侧面PAB内,作AM⊥PB,垂足为M。
连结CM、AC,则∠AMC为二面角A−PB−C的平面角。
不妨设AB=2,则,斜高为,故,由此得。
在△AMC中,由余弦定理得。
8、(2008一试4)若三个棱长均为整数(单位:
cm)的正方体的表面积之和为564cm2,则这三个正方体的体积之和为()。
(A)764cm3或586cm3(B)764cm3
(C)586cm3或564cm3(D)586cm3
【答案】A
9、(2000一试11)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是________.
10、(2001一试9)正方体ABCD-A1B1C11的棱长为1,则直线A1C1与BD1的距离是___________.
【答案】
【解析】这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种基本的解法.为了保证所作出的表示距离的线段与A1C1和BD1都垂直,不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内.为此,作正方体的对角面BDD1B1,则A1C1⊥面BDD1B1,且BD1面BDD1B1.设A1C1∩B1D1=0,在面BDD1B1内作OH⊥BD1,垂足为H,则线段OH的长为异面直线A1C1与BD1的距离.在Rt△BB1D1中,OH等于斜边BD1上高的一半,即OH=/6.
12、(2004一试9)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1—A1的度数是。
13、(2006一试10)底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水cm3.[来源:
Z|xx|k.Com]
【答案】
14、(2007一试9)已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。
【答案】
(第12题图1)
15、(2008一试12)一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
【答案】
【解析】如图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面//平面,与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,,垂足为的中心.因,
16、(2010一试7)正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则
【答案】
【解析】解法一:
如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则,从而,.
设分别与平面、平面垂直的向量是、,则[来源:
Zxxk.Com]
由此可设,所以,即
.所以.[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
17、(2011一试6)在四面体中,已知,,,则四面体的外接球的半径为
[来源:
学科网]
18、(2012一试5)设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为,则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是.