变量与函数.docx
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变量与函数
学科：
数学
教学内容：
变量与函数
新课指南
1．知识与技能：
（1）初步掌握函数的概念，会判断两个变量间的关系是否可看做函数；
（2）初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
2．过程与方法：
通过具体情境和丰富的实例，经历和探索出函数的意义，即一个量随另一个量的变化而变化.
3．情感态度与价值观：
通过对函数这一重要数学工具的认识和应用，深刻体会数形结合思想在数学学习中的应用，并进一步体会到数学知识来源于实际生产生活的需求，反之，它又很好地服务于生产、生活．
4．重点与难点：
对函数概念的理解．突破难点的关键是建立新旧知识之间的联系．
教材解读
数学与生活
有地理资料显示，影响气温有三个方面的因素，即纬度位置、海陆位置和地形．其中，地形对气温的影响是巨大的，地理学家经过多年探测和研究发现，海拔每升高100米，气温下降0．6℃，如果山脚的气温是24℃，那么相对山脚高度为2000米的山顶的气温又如何呢？
相对山脚高度为x米处的气温又如何来表达呢？
思考讨论：
由于海拔每升高100米，气温就下降0．6℃，所以，相对山脚高度为2000米的山顶的气温是：
24-
×0.6=12（℃）.相对山脚高度为x米处的气温用y（℃）来表示，则有y＝24-
×0.6，如果给定一个x的值，可以计算出相对应的y的值吗？
知识详解
知识点1变量之间的关系
不同的事物的变化过程中，有些量的值是按某种规律在变化，有些量的值是始终不变的.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
探究交流
？
举一些变化的实例，指出其中的变量与常量.
点拨现实生活中有很多这样的例子，这里举一例供参考.例如，汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为skm，行驶时间为th，在这一过程中，速度60km／h是常量，路程与时间是变量．
知识点2函数的概念
Ⅰ.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
例如：
汽车在高速公路上以每小时100千米的速度行驶，它走过的路程s（千米）随时间t（时）变化的关系式是s=100t，路程s的数值是由时间t的数值确定的，s与t之间的对应关系如下表所示：
t/时
1
1.5
2
2.5
3
…
s/千米
100
150
200
250
300
…
由上表可知：
s和t具有一定的对应关系，对于变量t的每一个确定的值，都有惟一确定的s的值与之相对应，因此，我们说变量t是自变量，变量s是t的函数．
Ⅱ.函数的定义中包括三个要素：
（1）自变量的取值范围；
（2）两个变量之间的对应关系；（3）后一个变量被惟一确定而形成的变化范围．
【说明】函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊对应关系，必须是“对于x的每个值，y都有惟一的值与之对应”.
例如：
“一个数与它的绝对值”，若一个数用x表示，它的绝对值用y表示，其中x可以取任意实数，即自变量的取值范围是全体实数，对应关系是一个数与它的绝对值对应，一个数的绝对值是这个数的函数．
又如：
式子y=x2，变量x每取一个值，y都有惟一的一个值与之对应，所以说y是x的函数；式子y2=x中，尽管y与x之间有一种关系，但由于变量x在x＞0的范围内每取一个值，y都有两个确定的值与之对应，所以说y不是x的函数．
【注意】
（1）自变量与函数都用什么字母表示无关紧要，自变量可用x表示，也可用t，u，p…中的任何一个字母表示，函数可用y表示，也可用s，v，q…中的任何一个表示.
（2）在我们所研究的范围内，两个变量之间虽然有一定的关系，但却不符合函数中的对应关系，也就是说，这种关系不是“惟一确定”的关系，那么这两个变量之间就不存在函数关系.
例如：
一块种植小麦的土地，收获量与施肥量之间有一定的关系，但它们之间不存在“惟一确定”的对应关系，如果施肥量为每亩5千克，那么收获量是多少不惟一确定，因此，收获量与施肥量之间不存在函数关系.
（3）函数的定义中指出“……对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与之对应”，但对于自变量x的每一个不同的值，y不一定都是不同的值与之对应.
探究交流
？
确定函数关系的方法.
点拨判断变量之间是否构成函数关系，就是看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是因变量，自变量在变化过程中处于主动地位，因变量在变化过程中处于被动地位，自变量每变一个值，因变量都必须有惟一确定的值与它相对应，这样，它们才能构成函数关系.
知识点3函数的三种表示形式
Ⅰ.列表法：
用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法．它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值．但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数变化的全貌．
例如：
市场上猪肉的价格为每千克12元，那么重量与金额的函数关系列表如下：
重量/千克
0.2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.5
2
2.5
3
金额/元
2.4
4.8
6
7.2
8.4
9.6
10.8
12
18
24
30
36
Ⅱ.图象法：
用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法．它的优点是能够形象直观地显示出数据的变化规律，为研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，所以由图象确定的函数往往不够准确．
例如：
长春市某天气温随时间变化的图象如图11－1所示，从图象上能看出温度随时间变化的情况，时间是自变量．
Ⅲ.解析法：
用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y的方法叫做解析法．它的优点是简明扼要、规范准确，便于理解函数的性质，但并非适用于所有函数．
例如：
正方形的面积用S表示，正方形的边长用a表示，则正方形的面积公式为S=a2；若周长用P表示，则周长的公式为P=4a，这就是表示正方形的边长与面积和周长的函数关系，其中正方形的边长a是自变量，面积S和周长P是因变量．
知识点4函数关系式
Ⅰ.用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式.
Ⅱ.我们应从以下几个方面来理解函数关系式的概念：
（1）函数关系式是等式．例如：
y=2x+3就是一个函数关系式，我们可以说代数式2x+3是x的函数，但不能说2x+3是函数关系式．
（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量表示函数．例如：
y=2x2+3中，y是x的函数，x是自变量．
（3）书写函数关系式是有顺序的．例如：
y=x-3表示y是x的函数；若x=y+3，则表示x是y的函数．也就是说，求y关于x的函数关系式，必须用自变量x的代数式表示y，即得到的等式的左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式．
知识点5自变量的取值范围的确定
Ⅰ.函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：
首先，自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义；其次，自变量的取值应使实际问题有意义．这两个方面缺一不可，尤其是后者，同学们在学习过程中特别容易忽略．因此，在分析具体问题时，一定要细致周到地从多方面考虑．
例如：
y=
中，自变量x在代数式
中，要使
有意义，则自变量的取值范围是x≠0．
Ⅱ.在函数关系式中，自变量的取值要使函数关系有意义，可分下列几种情况：
（1）当函数关系式是一个只含有一个自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数．例如：
y=2x-1中，自变量x的取值范围是全体实数．
（2）当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．例如：
S=πR2中，若R表示圆的半径，则R＞0．
（3）当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数．
（4）当函数关系式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数．
（5）自变量的取值范围可以是有限或无限的，也可以是几个数或单独的一个数．例如：
y=
中，自变量x的取值范围是x=0；y=
中，自变量x的取值范围是x=3．
（6）在一个函数关系式中，当自变量x同时含在分式和二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解．
知识点6函数值
函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，因变量与之对应的确定的值
例如：
在正方形的面积公式S=a2中，若a=2；则S＝4；若a=3，则S＝9，这说明4是当a=2时的函数值，9是当a=3时的函数值．
典例剖析
基本概念题
例1下列变量之间的关系不是函数关系的是（）
A．长方形的宽一定，其长与面积B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边与面积D．球的体积与球的半径
[分析]判断变量之间的关系是否存在着函数关系，首先看是否有两个变量，然后再看这两个变量是否是一对一的关系．A项中，长方形的宽一定，它是常量，而面积=长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也变，故A项是函数关系．B项中，正方形的周长与面积是两个变量，给出一个周长的值，除以4就是边长，再平方与面积相对应，故B项是函数关系．C项中，底边与面积虽是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里的高也是变量，这样就有三个变量了，因此C项不是函数关系．D项中，球的体积与其半径是函数关系．
答案：
C
基础知识应用题
本节有关的基础知识包括：
（1）确定函数关系；
（2）求函数值；（3）求函数关系的解析式．
例2如图11-2所示，图中有几个变量？
你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？
如果能，求出当t=12分时对应的路程s．
[分析]从图中可以看出，有两个变量t与s，而s=vt，v是常量，所以t与s构成函数关系，从图中还可以看出，当t=3分时，s=20，这说明走20米的路程用了3分，则速度v=
米/分.
解：
从图中看出，有两个变量t和s.
如果把t看作自变量，s看作因变量，
则路程s，速度v，时间t之间的关系式为s=vt．
从图中看出，每取一个t值，都有一个s值与之对应，
当t=3时，s=20，
∴20=3v，∴v=
（米/分）.
∴s与t之间的关系式为s=
t，
∴可以将s看作t的函数．
又∵s=
t，
∴当t=12时，s=
×12=80（米）.
小结要确定函数关系，就要确定两个变量中，哪个是自变量，哪个是因变量，还要注意到其他的量都必须是常量．求函数值的方法有两种，一种是从图中找出来，另一种是用求代数式的值的方法求出来．
综合应用题
本节知识的综合应用包括：
（1）由图象分析现象；
（2）由现象确定函数关系；（3）培养识图能力．
例3李奶奶晚饭以后外出散步，碰到老邻居交谈了一会儿，返回途中，在读报栏前看了一会儿报，如图11-3所示的是据此情况画出的图象，请你回答下列问题．
（1）李奶奶是在什么地方碰到老邻居的？
交谈了多少时间？
（2）读报栏大约离家多远？
（3）李奶奶在哪段时间走得最快？
你是怎么计算的？
（4）图中反映了哪些变量之间的关系？
其中哪个是自变量？
哪个是因变量？
你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？
解：
（1）李奶奶是在离家600米处碰到老邻居的，交谈了大约10分．
（2）读报栏大约离家300米．
（3）李奶奶在40～45分这段时间内走得最快，这是因为：
李奶奶从家出去到返回家中行程是这样的：
①从出发地点到遇到老邻居，用了15分，走了600米，在这15分时间内，她的速度是600÷15=40（米／分）；
②从15分到25分，她和老邻居交谈了约10分；③从25分到35分，她在返回家的途中，走了600-300=300（米），这一段她的速度是300÷10=30（米／分）
④从35分到40分，她在读报栏读报，也就是读报栏离家大约300米的距离；
⑤从40分到45分，她返回家中，共用时5分，行走了300米，这一段她的速度是300÷5=60（米／秒），因此李奶奶在40～45分这段时间内走得最快．
（4）从图中反映出了李奶奶外出散步时间与离家距离这两个变量之间的关系，其中外出散步时间是自变量，离家距离是因变量，离家距离是散步时间的函数．
小结该题目要求主动观察某些运动变化过程，体会函数的概念，培养利用函数观点认识世界和解决实际问题的能力．
学生做一做（2003·陕西）星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图11-4所示的是她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系的图象，则下列描述符合小红散步情景的是（）
A．从家出发花了一个公共阅报栏，看了一会儿报就回家了
B．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分后才开始返回
老师评一评从图象上可以看出，每一个时间t都对应一个距离s，当时间在变化，而距离不变时，表示在原地不动，而其他时间对应的距离都在变化，说明此人在运动，当12分时对应的距离是500米，说明此时离家最远，当18分时，对应的距离是O，说明她从出发到返回共用了18分．故正确答案为B项．
探索与创新题
本节知识的探索与创新主要包括：
（1）与相关学科的整合；
（2）读图和利用图象的预测能力．
例4王老师讲完“变量与函数”这节知识后，让同学们说出几个实际生活中有函数关系的实例，并指出其中的常量与变量，自变量与因变量及函数．
甲生说：
“如果设路程为s（千米），速度为v（千米／时），时间为t（时），当路程s为一定值时，s为常量，v，t为变量，v是自变量，t是因变量，t是v的函数．”
乙生说：
“甲生所举实例中，t是自变量，v是因变量，t是v的函数．”
丙生说：
“甲生所举实例中，当v为一定值时，v为常量，s，t是变量，t为自变量，s为因变量，s是t的函数．”
你认为哪一位同学的说法正确？
[分析]由于s=vt，当路程s为一定值时，解得v=
或t＝
，即v是t的函数或t是v的函数；当v为一定值时，对于s=vt来说，s是t的函数，因此，甲、乙、丙三位同学的说法都是正确的．
解：
三位同学的说法都是正确的．
小结函数的概念是建立在变量的基础之上的，应正确理解常量与变量，有的量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中则为变量，所以，变量与常量是相对的．小学学过的正比例、反比例关系以及物理中的一些数量关系、公式等都是函数关系．
易错与疑难题
例5画出函数y=x-1的图象．
错解：
（1）列表：
在自变量x的取值范围内取一些值，并算出对应的y值；
x
-2
-1
0
1
2
y
-3
-2
-1
0
1
（2）描点：
在直角坐标平面内描出由表中的对应值组成的点；
（3）连线：
用平滑的曲线按照自变量由小到大的顺序，把所描的点连接起来，得到的图11-5就是函数y=x-1的图象．
[分析]函数y=x-1中的自变量x的取值范围是全体实数，而图11-5中的自变量x的取值范围是-2≤x≤2，其图象是一条线段，自变量的范围缩小了．
正解：
（1）列表：
在自变量x的取值范围内取一些值，并算出对应的y值；
x
-2
-1
0
1
2
y
-3
-2
-1
0
1
（2）描点：
在直角坐标平面内描出由表中的对应值组成的点；
（3）连线：
用平滑的曲线按照自变量由小到大的顺序，把所描的点连接起来，如图y=x-1所示，就是函数y=x-1的图象．
例6一个弹簧，不挂物体时长为12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比，如果挂上3kg的物体，弹簧总长是13．5cm，求弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式，并画出函数的图象．
错解：
设y=12+kx，根据题意得13．5=12+3k，解得k=0．5．
∴y=12+0．5x，图象如图11-7
（1）所示．
[分析]错误的原因是忽略了自变量的取值范围，将函数图象画成了一条直线.
正解：
设y=12+kx，根据题意得13．5=12+3k，解得k=0．5．
∴y＝12+0．5x．
∴x为所挂物体的质量，
∴x≥0．
∴图象如图11-7
（2）所示．
中考展望
中考命题总结与展望
本节知识在中考中经常出现，主要考查学生对函数的认识及理解，多在选择题、填空题中出现．关于函数自变量的取值范围的考题较多，由函数的图象分析某一事件是主要类型题，今后考查关于两个变量之间是否能构成函数关系可能成为中考命题，同时，对于识图的问题也不容忽视，平时应多加训练，提高能力．
中考试题预测
例1（2003·长沙）如图11-8所示的是长沙市2003年6月某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题．
（1）这天的最高气温是℃；
（2）这天共有个小时的气温在31℃以上；
（3）这天在（时间）范围内温度在上升；
（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度？
[分析]从图象上找出不同的时间所对应的温度，或由温度找对应的时间，同时还要对以后的情况进行估计．
解：
（1）37
（2）9（即从12时到21时）（3）3～15时
（4）23～26℃均可（答案不惟一）
例2（2004·北京）在函数y=
中，自变量x的取值范围是．
[分析]求自变量的取值范围是中考的考点之一，只要掌握被开方的数非负、分母不为O即可．由题意可得x-2≥0且x-2≠0，∴x＞2．
答案：
x＞2
例3（2004·上海）函数y=
的定义域是.
[分析]定义域即自变量x的取值范围，只要x+1＞O即可，∴x＞-1．
答案：
x＞-1
例4（2004·黄冈）某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：
磁码的质量x/克
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置y/厘米
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
则y关于x的函数图象（如图11-9所示）是
[分析]从题中数据可知，砝码从0克到250克，指针所指的数据是匀速增长的，即砝码增加50克，指针所指的数就增加1厘米，当砝码为275克时，指针所指的数据为7．5厘米，之后，珐码再增加，指针所指数据均是7．5厘米，因此，正确答案为D项．
例5（2004·广东）函数y=3x2-
中自变量x的取值范围是.
答案：
x＞
例6（2004·山东）若用（l）
（2）（3）（4）四幅图象（如图11-10所示）分别表示变量之间的关系，请按图象中所给顺序，将下面的（a），（b），（c），（d）对应共序，正确的是（）
（a）小车从光滑的斜面上滑下（小车的速度与时间的关系）；
（b）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物的质量的关系）；
（c）运动员推出的铅球（铅球的高度与时间的关系）；
（d）小杨从A地到B地，停留一段时间后，然后按原速度返回（路程与时间的关系）.
A．（c）（d）（b）（a）B．（a）（b）（c）（d）
C．（b）（c）（a）（d）D．（d）（a）（c）（b）
[分析]由（d）可知对应图象为
（2），由（c）可知对应图象为
（1），由（b）可知对应图象为（3），由（a）可知对应图象为（4），故正确答案为A项．
例7（2004·四川）函数y=-
中自变量x的取值范围是（）
A．x=≠-1B．x≠0C．x＜一1D．x≥-1
答案：
A
例8（2004·福州）函数y=
中自变量x的取值范围是.
答案：
x≥
例9（2004·广州）函数y=
中自变量x的取值范围是（）
A．x≥0B．x＞O且x≠1C．x＞0D．x≥O且x≠1
[分析]自变量x的取值范围应同时满足被开方数有意义且分母不为0，即
∴x≥0且x≠1，故正确答案为D项.
例10（2004·安徽）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：
领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象（如图11－11所示）中与故事情节相吻合的是（）
[分析]解决本题的关键点有两个：
一是乌龟和兔子从出发到乌龟先到达终点，表示在相同的时间内，乌龟所走的路程大于兔子所走路程，因此，选择B，D两个选项；二是兔子是分三个步骤走的，也就是说它第一部分路程随时间增加而增大，第二部分路程不变，因为在这一段虽然时间在变化，但它在睡觉，路程不变，第三部分它在追赶乌龟，时间在变化，路程也在增加，因此选择D项，故本题的正确答案为D项．本题采用淘汰法完成选择题．
例11（2004·哈尔滨）小明同学骑自行车去郊外春游，图11-12表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（时）之间关系的函数图象．
（1）根据图象回答：
小明到达离家最远的地方需几小时？
此时离家多远？
（2）小明出发两个半小时离家多远？
（3）小明出发多长时间离家12千米？
[分析]本题主要考查学生的读图能力，及培养学生运用函数知识解决实际生活的能力．也可以待后面我们学过了一次函数的解析式来解决．
解：
（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时，此时离家30千米．
（2）小明出发2小时时，离家15千米．由于在CD段小明走的路程为15千米，时间为1小时，故小明这一段的速度为15÷1=15（千米／时），
∴15×O．5=7．5（千米），∴7．5+15=22．5（千米）．
∴小明出发两个半小时离家22．5千米．
（3）由图象可以看出小明从出发到距离家12千米有两个时刻，一是在AB段，二是在EF段，故分两种情况：
①∵小明出发到出发1小时时，匀速前行，其速度为15÷1=15（千米／时）
∴12÷15=0．8（时），0．8小时=48分．
②∵小明出发4小时后返回，
∴返回时速度为30÷2=15（千米／时）
∴（30-12）÷15=1．2（时），1．2小时=1小时12分．
∴4小时+1小时12分=5小时12分．
故小明出发48分和出发5小时12分时离家都为12千米．
小结在解决本题时，尤其是（3）小题，要注意数学思维的缜密性、全面性，要充分考虑到距家12千米时有两种情形，才不至于丢解．
例12（2004·甘肃）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图11-13所示（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小明根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（）
A．这是一次1500米赛跑
B．甲、乙两人先到达终点的是乙
C．甲、乙两人同时起跑
D．甲在这次赛跑中的速度为5米／秒
[分析]本题考查学生的读图能力．从图象中我们可以看到：
这是一次1500米赛跑，故A是正确的．甲到达终点用时300秒，已到达终点用时不到283秒，所以甲的速度是1500÷300=5（米／秒），故B，D也正确．甲先出发，乙后出发，而且乙先到达终点，所以两人不是同时起跑，故C不正确，是错误的信息，因此，本题的正确答案为C项
例13（2004·青海）某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先从1小时爬了2千米，休息0．5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（时）与山高h（千米）之间的函数关系用图象（如图11-14所示）表示是（）
[分析]本题考查学生的读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力，解决本题的关键有两点：
一是
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