17.1变量与函数.doc

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第17章函数及其图像

17．1变量与函数

知识点1常量与变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.

如：

在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s是随时间t的变化而变化，那么，在这一过程中，v是常量，而s和t是变量；当路程s是个定值时，行走的时间t是随速度v的变化而变化的，那么在这一过程中，s是常量，而v与t是变量.

例1写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量.

（1）用20cm的铁丝围成的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系；

（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；

（3）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）.

知识点2函数

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

对函数概念的理解，主要抓住以下三点：

①有两个变量；

②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；

③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应.

温馨提示

①判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值和其对应.

②函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.

例2下列关于变量x、y、z的关系中：

①3x－2y=5；②y=；③=x；④y=x+z，y是x的函数的是（）

A．①②④B．①②C．②③D．①②③

判断下列变量之间的关系是不是函数关系．

（1）长方形的宽一定时，其长与面积；

（2）等腰三角形的底边长与面积．

知识点3函数自变量的取值范围（重点）

函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的全体.

温馨提示：

①求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：

一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．

②自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，还可以是单独一个（或几个）数的；在一个函数关系式中，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量取值范围的公共部分．

例3求下列函数中自变量x的取值范围．

（1）y＝3x－2；

（2）y＝；

（3）y＝；

（4）y＝．

知识点4函数值

函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．

知识拓展

①当已知函数解析式及自变量的值时，欲求函数值，实质就是求代数式的值．

②当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程．

③当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式．

④当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个.

例4已知y＝．求：

（1）当x＝1，y＝－1时的函数值；

（2）当y＝－，y＝－2时x的值．

知识5函数的解析式

像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．

温馨提示

①确定实际问题中的函数解析式与列方程解应用题；类似，设x是自变量，y是x的函数，先列出关于x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y，最后写出自变量x的取值范围．

②在确定实际问题的函数解析式时，不要忽略自变量的取值范围．

例5小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为（元），所快递的樱桃为x（kg），

（1）求y与x之间的函数解析式；

（2）已知小李给外婆快递了2.5kg樱桃，请你求出这次快递的费用是多少元．

知识6函数的表示方法

1．图象法

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，则这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．用这种方法来表示函数关系的方法叫做图象法．

优点：

形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数与自变量间的关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，如函数有无最大值（或最小值）、函数值是随自变量的增大而增大，还是随自变量的增大而减小等，函数的图象是研究函数及其性质的有利工具．

缺点：

由图象观察只能得到近似的数量关系．

2．列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数与自变量间的关系的方法称之为列表法．

优点：

列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，可以直接查到与它对应的函数值，使用起来很方便．

缺点：

列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的对应关系．

3．解析式法

用函数的解析式表示函数的方法叫做解析式法．

其优点：

简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系．

缺点：

求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数关系不一定能用解析式法表示出来．

知识7函数的图像（重点）

1．画函数图象的一般步骤

（1）列表：

表中给出一些自变量的值及其对应的函数值．

（2）描点：

在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．

（3）连线：

按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来．

温馨提示

①列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌．

②描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图象越准确．

③连线时要用平滑的曲线把所描的点从左到右顺次连接起来．函数的图象可以是直线或射线或曲线等，它形象直观地反映两个变量之间的对应关系．

2．函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系

（1）通常判断点是否在函数图象上的方法是将这个点的坐标代入函数解析式，若满足函数解析式，则这个点就在其函数的图象上；反之也成立．

（2）两个函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解．

画出下列函数的图象，并判断大括号内各点是否在该函数的图象上：

y=3x-1，{（0，-1），（-2，-7），（1，-2），（2.5，6.5）}