《一元一次不等式组》第一课时教案 公开课.docx

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《一元一次不等式组》第一课时教案公开课

课题：

一元一次不等式组〔1〕

教学目标

1.了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法；

2.经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性；

3.逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想。

教学难点

一元一次不等式组解集的理解

知识重点

一元一次不等式组的解集和解法。

教学过程〔师生活动〕

设计理念

创设情境提出问题

小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地。

后来，小宝借来一副质量为66千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？

在这个问题中，如果设小宝的体重为x千克，

〔1〕从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系？

〔2〕你认为怎样求x的范围，可以尽可能地接近小宝的体重？

在讨论或议论中，列出不等式：

2x十x<72

2x十x＋6＞72

其中x同时满足以上两个不等式．

在议论的根底上，老师揭示：

一个量需要同时满足几个不等式的例子，在现实生活中还有很多．

用学生身边有趣的实例引入，一方面引起学生的参与欲，一方面也是知识拓展的需要．设计此情境的意图在于：

1、复习用一元一次不等式解应用题；2、感受同一个x可以有不同的不等式；3、x应该同时符合两个不等式的要求，为引出解集做铺垫．

类比探索引出新知

问题2（教科书第127页〕

用每分钟可抽30t的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1200t而缺乏1500t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？

等式的性质1。

设用xmin将污水抽完，那么x同时满足不等式

30x>1200,

30x<1500.

这就是说，x要满足两个不等关系。

那么x究竟在什么范围呢？

类似于方程组，引出一元一次不等式组的概念和记法．〔教科书127页〕

类比方程组的解，引出一元一次不等式组的解集的概念．〔教科书128页〕

利用数轴，师生一起将问题1、问题2的解集求出来．

渗透类比思想。

初步感受求解集的方法。

解法探讨

出示教科书例1，解以下不等式组：

〔1〕

〔2〕

小组讨论：

根据不等式组的解集的意义，你觉得解决例1需要哪些步骤？

在这些步骤中，哪个是我们原有的知识，哪个是我们今天获得的新方法？

在讨论的根底上，师生一起归纳解一元一次不等式组的步骤：

（1）求出各个不等式的解集；

（2）找出各个不等式的解集的公共局部〔利用数轴〕．

师生一起完成例1．

对于例1，解不等式并非新内容．解题步骤的归纳和各解集公共局部的求取，才是新知识，却是学生自己可以领会的．通过此处的讨论探索，对于多于两个不等式组成的不等式组的解集的求取，期望学生能实现无师自通．先自主探究解题步骤，后具体解题，可以居高临下地看待一元一次不等式组的解法．

稳固练习

学生练习：

教科书第129页练习1

教师巡视、指导，师生共同评讲

进一步熟悉解题步骤，熟练地利用数轴正确地查找公共局部。

教师及时调控。

小结与作业

课堂小结

1、这节课你学到了什么？

有哪些感受？

2、教师归纳：

学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要，也是现实生活的需要；学习不等式组时，我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念；求不等式组的解集时，利用数轴很直观，也很快捷，这是一种数与形结合的思想方法，不仅现在有用，今后我们还会有更深的体验．

提纲挈领，梳理总结。

布置作业

1、必做题：

课本第130页习题9.3第1、2、3题

2、选做题：

（1）解不等式3≤2x－1≤5，你觉得该怎样思考这个问题，你有解决的方法吗？

（2）求出不等式组

的解集中的正整数。

分层次布置作业。

本课教育评注〔课堂设计理念，实际教学效果及改进设想〕

本节课的设计，以实际问题建立数学模型，通过数学问题引导学生找出问题解决的思

路．在这一过程主线下，辅以类比、探索、概括的学习方法，合理设计问题，安排讨论的最正确契机，及时揭示数学本质，引发数学思考，期望让学生在自主探索中学得自然、学得真切、学得主动、学得有效．本节课的重点内容是一元一次不等式组的正确求解，关键却是不等式组求解的步骤总结，这一总结让学生自己归纳比教师直接告之效果更好；创设实际问题情境引出一元一次不等式组的意义，让学生产生学习不等式组的需求，也对解不等式的方法有很自然的联想．看似费时，实是数学素养和数学思考的隐性提升．

1.8完全平方公式

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.完全平方公式的推导及其应用.

2.完全平方公式的几何背景.

（二）能力训练要求

1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.

2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.

（三）情感与价值观要求

1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.

2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.

●教学重点

1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.

2.完全平方公式的应用.

●教学难点

1.完全平方公式的推导及其几何解释.

2.完全平方公式结构特点及其应用.

●教学方法

自主探索法

学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.

●教具准备

投影片四张

第一张：

试验田的改造，记作（§1.8.1A）

第二张：

想一想，记作（§1.8.1B）

第三张：

例题，记作（§1.8.1C）

第四张：

补充练习，记作（§1.8.1D）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.

同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？

（同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径）

［生］我能帮这位爷爷.

［师］你能把你的结果展示给大家吗？

［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

图1－25

［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？

［生］改造后的试验田变成了边长为（a+b）的大正方形，因此，试验田的总面积应为（a+b）2.

［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.

［师］很好！

同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？

［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即（a+b）2=a2+2ab+b2

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.

Ⅱ.讲授新课

1.推导完全平方公式

［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？

（出示投影片§1.8.1A）

想一想：

（1）（a+b）2等于什么？

你能用多项式乘法法那么说明理由吗？

（2）（a－b）2等于什么？

你是怎样想的.

（同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示）

［生］用多项式乘法法那么可得

（a+b）2=（a+b）（a+b）=a（a+b）+b（a+b）

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

所以（a+b）2=a2+2ab+b2

（1）

［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？

［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释（a+b）2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:

a>0且b>0;

代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.

［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第

（2）问.

［生］也可利用多项式乘法法那么，那么（a－b）2=（a－b）（a－b）=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.

［生］我是这样想的，因（a+b）2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到（a－b）2=［a+（－b）］2.

［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？

我们一块试一下.

［师生共析］

（a－b）2=［a+（－b）］2=a2+2·a·（－b）+（－b）2

↓↓↓↓↓↓

（a+b）2=a2+2·a·b+b2

=a2－2ab+b2.

于是，我们得到又一个公式：

（a－b）2=a2－2ab+b2

（2）

［师］你能用语言描述上述公式

（1）、

（2）吗？

［生］公式

（1）用语言描述为：

两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式

（2）用语言描述为：

两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.

2.应用、升华

出示投影片（§1.8.1B）

［例1］利用完全平方公式计算：

（1）（2x－3）2;

（2）（4x+5y）2;

（3）（mn－a）2.

分析：

利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.

解：

（1）方法一：

［例2］利用完全平方公式计算

（1）（－x+2y）2;

（2）（－x－y）2;

（3）（x+y－z）2;（4）（x+y）2－（x－y）2;

（5）（2x－3y）2（2x+3y）2.

分析：

此题需灵活运用完全平方公式，

（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2,再运用平方差公式；

（2）题需转化为（x+y）2,利用和的完全平方公式；（3）题利用加法结合律变形为［（x+y）－z］2（或［x+（y－z）］2、［（x－z）+y］2）,再用完全平方公式计算；（4）题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.（5）题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.

解：

（1）方法一：

（－x+2y）2=（2y－x）2

=4y2－4xy+x2；

方法二：

（－x+2y）2=［－（x－2y）］2=（x－2y）2=x2－4xy+4y2.

（2）（－x－y）2=［－（x+y）］2=（x+y）2=x2+2xy+y2.

（3）（x+y－z）2=［（x+y）－z］2=（x+y）2－2（x+y）·z+z2

=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.

（4）方法一：

（x+y）2－（x－y）2

=（x2+2xy+y2）－（x2－2xy+y2）

=4xy.

方法二：

（x+y）2－（x－y）2

=［（x+y）+（x－y）］［（x+y）－（x－y）］=4xy.

（5）（2x－3y）2（2x+3y）2

=［（2x－3y）（2x+3y）］2

=［4x2－9y2］2

=16x4－72x2y2+81y4.

Ⅲ.随堂练习

课本1.计算：

（1）（

x－2y）2;

（2）（2xy+

x）2;

（3）（n+1）2－n2.

解：

（1）（

x－2y）2=（

x）2－2·

x·2y+（2y）2=

x2－2xy+4y2

（2）（2xy+

x）2=（2xy）2+2·2xy·

x+（

x）2=4x2y2+

x2y+

x2

（3）方法一：

（n+1）2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.

方法二：

（n+1）2－n2=［（n+1）+n］［（n+1）－n］=2n+1.

Ⅳ.课后作业

1.课本习题1.13的第1、2、3题.

2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题.

Ⅴ.活动与探究

甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下：

先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？

［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.

令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=（10a+b）2=100a2+

20ab+b2=10×2a（5a+b）+b2.

因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.

但10×2a（5a+b）中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元（即剩下缺乏10元）.

［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.

●板书设计

1.8.完全平方公式

（一）

一、几何背景

试验田的总面积有两种表示形式：

①a2+2ab+b2

②（a+b）2

比照得：

（a+b）2=a2+2ab+b2

二、代数推导

（a+b）2=（a+b）（a+b）

=a2+2ab+b2

（a－b）2=［a+（－b）］2

=a2－2ab+b2

三、例题讲例

例1.利用完全平方公式计算：

（1）（2x－3）2

（2）（4x+5y）2

（3）（mn－a）2

四、随堂练习（略）

●备课资料

一、杨辉

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.

他著名的数学书共五种二十一卷.著有?

详解九章算法?

十二卷（1261年）、?

日用算法?

二卷（1262年）、?

乘除通变本末?

三卷（1274年）、?

田亩比类乘除算法?

二卷（1275年）、?

续古摘奇算法?

二卷（1275年）.

杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。

他在?

续古摘奇算法?

中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法，同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中，将?

九章算术?

246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.

他非常重视数学教育的普及和开展，在?

算法通变本末?

中，杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.

二、参考练习

1.填空题

（1）（－3x+4y）2=.

（2）（－2a－b）2=.

（3）x2－4xy+=（x－2y）2.

（4）a2+b2=（a+b）2+.

（5）

a2++9b2=（

a+3b）2.

（6）（a－2b）2+（a+2b）2=.

2.选择题

（1）以下计算正确的选项是（）

A.（m－1）2=m2－1

B.（x+1）（x+1）=x2+x+1

C.（

x－y）2=

x2－xy－y2

D.（x+y）（x－y）（x2－y2）=x4－y4

（2）如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是（）

A.4B.－4C.±4D.±8

（3）将正方形的边长由acm增加6cm,那么正方形的面积增加了（）

A.36cm2B.12acm2

C.（36+12a）cm2D.以上都不对

3.用乘法公式计算

（1）（

x－

y）2

（2）（x2－2y2）2－（x2+2y2）2

（3）29×31×（302+1）

（4）9992

答案：

1.

（1）9x2－24xy+16y2

（2）4a2+4ab+b2（3）4y2（4）－2ab

（5）3ab（6）2a2+8b2

2.

（1）D

（2）C（3）C

3.

（1）

x2－

xy+

y2

（2）－8x2y2

（3）809999（4）998001