函数解析式求法例题与练习docx.docx
《函数解析式求法例题与练习docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数解析式求法例题与练习docx.docx（28页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
函数解析式求法例题与练习docx
函数解析式的求法
一、待定系数法：
在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1
设f（x）是一次函数，且f[f（x）]
4x
3，求f（x）
解：
设f（x）
ax
b
（a
0），则
f[f（x）]
af（x）b
a（ax
b）b
a2x
ab
b
a2
4
a
2
a
2
ab
b
3
或
b
3
b1
f（x）
2x
1
或
f（x）
2x3
二、配凑法：
已知复合函数f[g（x）]的表达式，求f（x）的解析式，f[g（x）]的表达式容易配成g（x）的运算
形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数f（x）的定义域不是原复合函数的定义域，而是g（x）的值域。
例2
已知f（x
1）
x2
1
（x
0）
，求f（x）的解析式
x
x2
解：
f（x
1）（x
1）2
2，x
1
2
x
x
x
f（x）
x2
2
（x
2）
三、换元法：
已知复合函数f[g（x）]的表达式时，还可以用换元法求f（x）的解析式。
与配凑法一样，要注意
所换元的定义域的变化。
例3
已知f（
x1）
x2x，求f（x1）
解：
令t
x
1
，则t
1，x
（t
1）2
Qf（
x
1）
x
2
x
f（t）
（t
1）2
2（t
1）
t2
1,
f（x）x21（x1）
f（x1）（x1）21x22x（x0）
四、函数性质法：
1.已知函数奇偶性及部分解析式，求f（x）解析式本类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。
“一
变”是取相反数使自变量属于所给区间；“二写”是写出新变量的表达式；“三转化”就是利用函数的奇偶性将上
述表达式转化为f（x）的表达式。
例4.1已知定义在R上的偶函数f（x），当x
0时，f（x）
x2
2x，求f（x）解析式。
解：
当x
0时，
x
0，
依题有f（
x）（
x）2
2xx2
2x，
又因为f（x）是定义在R上的偶函数
故f（x）
f（x），
所以当x
0时，f（x）
x2
2x
所以f（x）
x2
2x
（x
0）
x2
2x
（x
0）
2.已知函数周期性及部分解析式求f（x）解析式此类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。
“一变”
是通过自变量减周期使自变量属于所给区间；“二写”是写出新变量的表达式；“三转化”就是利用函数的周期性
将上述表达式转化为f（x）的表达式。
例
4.2
已知
f（x）是定义域为R周期为
2的函数，对k
Z，用Ik表示区间
（2k
1,2k
1]
，当x
I0时
f（x）
x3，试求当x
Ik
时f（x）解析式。
解：
当x
（2k
1,2k
1]时，则x
2k
（1,1]
I0，
故f（x2k）
（x2k）3，
又∵f（x）的周期为2，
∴f（x）f（x2k），
∴f（x）（x2k）3（xIk）
五、构造方程组法：
若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程
组求得函数解析式。
例5.1
设f（x）满足f（x）
2f
（1）
x,求f（x）
x
解f（x）2f
（1）
x①
x
显然x0,将x换成
1
1
1
②
，得：
f（）
2f（x）
x
x
x
解①②联立的方程组，得：
f（x）
x
2
3
3x
例5.2
设f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，又f（x）
g（x）
1
试求f（x）和g（x）的解析式
x
1
解
f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
f（
x）
f（x）,g（
x）
g（x）
又f（x）g（x）
1
①，
x
1
用x替换x得：
f（x）
g（x）
1
即f（x）g（x）
1
x
②
1
x1
解①②联立的方程组，得
f（x）
1
，
g（x）
1
2
1
2
x
x
x
六、赋值法：
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，
使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例6已知：
f（0）1，对于任意实数x、y，等式f（xy）f（x）y（2xy1）恒成立，求f（x）
解Q对于任意实数x、y，等式f（xy）f（x）y（2xy1）恒成立，
不妨令x0，则有f（y）f（0）y（y1）1y（y1）y2y1
再令yx得函数解析式为：
f（x）x2x1
七、设元代入法：
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用设元代入法。
例7已知：
函数yx2x与yg（x）的图象关于点（2,3）对称，求g（x）的解析式
解：
设M（x,y）为y
x
x
2
则
2
y
y
3
2
g（x）上任一点，且M（x,y）为M（x,y）关于点（2,3）的对称点
xx4
，解得：
，
y6y
点M（x,y）在y
g（x）上
y
x2
x
把x
x
4
代入得：
6y
（x
4）2
（x4）
y
6
y
整理得y
x2
7x
6
g（x）
x2
7x
6
八、递推法：
若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代
等运算求得函数解析式。
例8
设f（x）
是定义在N
上的函数，满足f
（1）1
，对任意的自然数a,b都有
f（a）
f（b）
f（ab）
ab，求f（x）
解f（a）
f（b）
f（a
b）ab，a,b
N
，
不妨令a
x,b
1，得：
f（x）
f
（1）
f（x
1）
x，
又f
（1）
1,故f（x
1）
f（x）
x
1①
分别令①式中的x
1,2L
n
1
得：
f
（2）
f
（1）
2,
f（3）
f
（2）
3,
LL
f（n）f（n
1）
n,
将上述各式相加得：
f（n）
f
（1）
2
3
n，
f（n）
1
23
n
n（n
1）
f（x）
1x2
1x,x
N
2
2
2
函数解析式求法练习
待定系数法
1．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x1）2f（x1）2x17，求f（x）.
2．求一个一次函数f（x），使得fff（x）8x7.
3．设函数F（x）
f（x）g（x）其中f（x）是x的正比例函数，g（x）是x2的反比例函数，又
F
（2）F（3）19
求F（x）的解析式。
4．设f（x）是一元二次函数,g（x）2xf（x）,且g（x1）g（x）2x1x2,
求f（x）与g（x）.
5．设二次函数f（x）满足f（x2）f（x2）,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长
为22,求f（x）的表达式.
配凑法
1．已知f（x
1）x3
13，求f（x）；
x
x
2．已知f（x1）x21，求f（x）解析式.
换元法
1．已知f（3x1）4x3,求f（x）的解析式.
2．若f（3x2）x2x，求f
（2）．
3．若f
（1）x,求f（x）.
x1x
4．已知f（1
x）
1
x
2
2
，求f（x）的解析式.
1
x
1
x
5．设f（x）2x23x1,g（x1）f（x）,求g（x）及fg
（2）.
函数性质法
1．已知函数yf（x）是R上的奇函数，当x0时，f（x）3x1，求f（x）的解析式。
2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x（0,）时，f（x）x（13x），求当x（,0）
时，f（x）的函数解析式。
设元代入法
1．已知函数yf（x）的图像与函数g（x）log2x（x0）的图像关于原点对称，求f（x）的解析式。
构造方程组法
1．已知f（x）3f（x）2x6,求f（x）．
2．定义在区间（1,1）上的函数f（x）满足2f（x）f（x）lg（x1），求f（x）的表达式。
3．设函数f（x）是定义在（
0）（0,）上的函数,且满足关系式
1
x,求f（x）的解析式.
3f（x）2f（）4
x
x
1
x,求f（x）.
※4．若f（x）f（
）1
x
赋值法
1．设f（x）是定义在N上的函数,若f
（1）1,且对任意的x,y都有：
f（x）f（y）f（xy）xy,求f（x）.
2．函数f（x）满足：
f（0）1，且对任意x,yR都有f（xy1）f（x）f（y）f（y）x2，求
f（x）
递推法
1．已知函数f（x）对任意的实数x,y都有f（xy）f（x）f（y）2y（xy）1，且f
（1）1，若
xN，试求f（x）的表达式。
升级会员 