第17练 三角函数的化简与求值.docx

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第17练三角函数的化简与求值

第17练　三角函数的化简与求值

[题型分析·高考展望]　三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.

体验高考

1.（2015·课标全国Ⅰ）sin20°cos10°－cos160°sin10°等于（　　）

A.－B.C.－D.

答案　D

解析　sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.

2.（2015·重庆）若tanα＝2tan，则等于（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　C

解析　＝

＝＝＝＝＝3.

3.（2016·课标全国甲）若cos＝，则sin2α等于（　　）

A.B.C.－D.－

答案　D

解析　因为sin2α＝cos＝2cos2－1，

又因为cos＝，

所以sin2α＝2×－1＝－，

故选D.

4.（2016·课标全国丙）若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于（　　）

A.B.C.1D.

答案　A

解析　tanα＝，

则cos2α＋2sin2α＝＝＝.

5.（2016·四川）cos2－sin2＝________.

答案　

解析　由题可知，cos2－sin2＝cos＝.

高考必会题型

题型一　利用同角三角函数基本关系式化简与求值

基本公式：

sin2α＋cos2α＝1；tanα＝.

基本方法：

（1）弦切互化；

（2）“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α；（3）在进行开方运算时，注意判断符号.

例1　已知tanα＝2，求：

（1）的值；

（2）3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值.

解　

（1）方法一　∵tanα＝2，∴cosα≠0，

∴＝＝＝＝.

方法二　由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得

＝＝＝.

（2）3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α

＝＝

＝＝.

点评　本题

（1）

（2）两小题的共同点：

都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cosα”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再化简.

变式训练1　已知sin（3π＋α）＝2sin，求下列各式的值：

（1）；

（2）sin2α＋sin2α.

解　由已知得sinα＝2cosα.

（1）原式＝＝－.

（2）原式＝＝＝.

题型二　利用诱导公式化简与求值

1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.

2.诱导公式化简的基本原则：

负化正，大化小，化到锐角为最好！

例2　

（1）设f（α）＝，则f＝______.

（2）化简：

＋＝________.

答案　

（1）　

（2）0

解析　

（1）∵f（α）＝

＝＝＝，

∴f＝＝＝＝.

（2）原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.

点评　熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.

变式训练2　

（1）（2016·课标全国乙）已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.

（2）已知cos＝a（|a|≤1），则cos＋sin＝________.

答案　

（1）－　

（2）0

解析　

（1）将θ－转化为（θ＋）－.

由题意知sin（θ＋）＝，θ是第四象限角，

所以cos（θ＋）＞0，

所以cos（θ＋）＝＝.

tan（θ－）＝tan（θ＋－）＝－tan[－（θ＋）]

＝－＝－＝－＝－.

（2）cos＝cos＝－cos＝－a.

sin＝sin＝cos＝a，

∴cos＋sin＝0.

题型三　利用其他公式、代换等化简求值

两角和与差的三角函数的规律有三个方面：

（1）变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

（2）变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.（3）变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.

例3　化简：

（1）sin50°（1＋tan10°）；

（2）.

解　

（1）sin50°（1＋tan10°）

＝sin50°（1＋tan60°tan10°）

＝sin50°·

＝sin50°·＝

＝＝＝1.

（2）原式＝

＝＝

＝＝cos2x.

点评　

（1）二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用.

（2）重视三角函数的“三变”：

“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：

对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：

尽可能减少函数名称；变式：

对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形.

变式训练3　

（1）在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为________.

（2）的值是（　　）

A.B.C.D.

（3）若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为（　　）

A.B.－C.D.－

答案　

（1）　

（2）C　（3）D

解析　

（1）因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan＝，

所以tan＋tan＋tantan

＝tan＋tantan

＝＋tantan＝.

（2）原式＝

＝

＝＝.

（3）cos2α＝sin＝sin

＝2sincos

代入原式，

得6sincos＝sin，

∵α∈，sin（－α）≠0，

∴cos＝，

∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.

高考题型精练

1.（2015·陕西）“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　∵sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0；

cos2α＝0⇔cosα＝±sinα⇏sinα＝cosα，故选A.

2.（2016·课标全国丙）若tanθ＝－，则cos2θ等于（　　）

A.－B.－C.D.

答案　D

解析　tanθ＝－，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.

3.若tan＝，且－＜α＜0，则等于（　　）

A.－B.C.－D.

答案　A

解析　由tan＝＝，得tanα＝－.

又－＜α＜0，所以sinα＝－.

故＝＝2sinα＝－.

4.已知f（x）＝sin2，若a＝f（lg5），b＝f（lg），则（　　）

A.a＋b＝0B.a－b＝0

C.a＋b＝1D.a－b＝1

答案　C

解析　a＝f（lg5）＝sin2（lg5＋）＝＝，

b＝f（lg）＝sin2（lg＋）＝＝，

则可得a＋b＝1.

5.已知sin＋sinα＝，则sin的值是（　　）

A.－B.C.D.－

答案　D

解析　sin＋sinα＝⇒sincosα＋cossinα＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sinα＋cosα＝，

故sin＝sinαcos＋cosαsin＝－＝－.

6.若（4tanα＋1）（1－4tanβ）＝17，则tan（α－β）等于（　　）

A.B.C.4D.12

答案　C

解析　由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，

∴tanα－tanβ＝4（1＋tanαtanβ），

∴tan（α－β）＝＝4.

7.（2015·江苏）已知tanα＝－2，tan（α＋β）＝，则tanβ的值为________.

答案　3

解析　∵tanα＝－2，

∴tan（α＋β）＝＝＝，

解得tanβ＝3.

8.设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.

答案　－

解析　f（x）＝sinx－2cosx＝＝sin（x－φ），

其中sinφ＝，cosφ＝，

当x－φ＝2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）取到最大值，

即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f（x）取到最大值，

所以cosθ＝－sinφ＝－.

9.已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝_______.

答案　

解析　∵α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，

∴（2sinα－3cosα）（sinα＋cosα）＝0，

∴2sinα＝3cosα，

又sin2α＋cos2α＝1，

∴cosα＝，sinα＝，

∴＝＝.

10.（2015·四川）已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________.

答案　－1

解析　∵sinα＋2cosα＝0，

∴sinα＝－2cosα，

∴tanα＝－2.

又∵2sinαcosα－cos2α＝＝，

∴原式＝＝－1.

11.（2015·广东）已知tanα＝2.

（1）求tan的值；

（2）求的值.

解　

（1）tan＝

＝＝＝－3.

（2）

＝

＝

＝＝＝1.

12.已知函数f（x）＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.

（1）求f的值；

（2）若sinα＝，且α∈，求f.

解　

（1）f＝cos2＋sincos

＝2＋×＝.

（2）因为f（x）＝cos2x＋sinxcosx

＝＋sin2x

＝＋（sin2x＋cos2x）

＝＋sin，

所以f＝＋sin

＝＋sin

＝＋.

又因为sinα＝，且α∈，

所以cosα＝－，

所以f＝＋

＝.

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