国培讲义.docx

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国培讲义

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天水市逸夫实验中学杨尚义

各位同仁：

大家下午好！

很高兴和大家一起来探讨问题。

我这里说的是探讨，而不是讲解。

我想探讨一些我们感兴趣的问题（严格地讲不是我们而是我），我亦苦亦乐，后半生养家糊口所从事的工作，冠冕一点说我的事业。

记不清是在什么杂志或报纸上看到过的哪篇文章了，说是一个好的培训，讲课人至少须具备三个条件：

一是得有真才实学，你不能让听众一无所获；二是得有满腔激情，你不能让听众昏昏入睡；三是得会深入浅出，你不能让听众云里雾里。

　　我以为，这三条都是对的，但只有这三条却又是不够的。

在这三条之外，似乎还得加上两条：

一是得实话实说，你不能天花乱坠地只顾煽情，尽讲一些连你自己都未必相信的假话、大话和空话，或者讲一些貌似真言的假话、貌似微言的大话和貌似实言的空话，那样的讲课也许能赚取听众的几分支持，但却有坑蒙拐骗之嫌；二是得以身作则，你不能像过去许多革命战争片里的国民党军官似的，总是把驳壳枪一挥，大吼一声：

“弟兄们，给我上！

”而自己却躲在后面。

　　因为加了这两个条件，所以，我总觉得，培训是一件既神圣又困难的事情。

　　若是仅仅以前面的三个条件来衡量，可以称得上“优秀”的讲课者虽然不能说比比皆是，但也绝非凤毛麟角。

如今光是在各种平面媒体或立体媒体操办的五花八门的这个讲坛、那个讲堂里，“优秀”讲课者的频频涌现就已让人一年四季都有雨后春笋之感了，更不用说在不计其数的学校、企业乃至政府部门举办的不计其数的报告会、研讨会、交流会上，闪亮登场的“优秀”讲课者之多更是数不胜数了。

而我实在是没有上面说到的任何一点，尽管如此，我还是很高兴，为什么高兴呢？

绝不是尊为专家，只因为我和大家都是来自一线的教师，来自穷山恶水，甚至是被可爱的祖国几乎遗忘的、文化落后的西部边远山区，而又承担着开启智慧、润泽生命的责任，担当使命，把我们的后人培养成起码比我们聪明、生活的好的，撑起一孔蓝天的一线教师。

因此，我很高兴成为其中一员和大家一起享受党和国家赐于我们的恩惠——国家培训，借助这一平台，和大家一起研讨日复一日所从事的工作——初中数学教与学。

今天我和大家研讨的是：

九年制义务教育第三学段初中数学“数与代数”部分的课程、课标以及教与学的有关问题。

一、九年制义务教育第三学段初中数学，数与代数的内容分为三部分：

数与式；方程与不等式；函数。

其教材的呈现方式是两条线，一条是明线，一条是暗线。

即知识系是明线，而思想方法系是暗线。

1.知识系统：

。

。

。

。

。

。

知识的建构——从特殊到一般，概念不定义，采用描述性建构，（举例）在不同的学段逐渐强化，最终在完成学业后沉淀。

当我们搞清楚了知识系统和教材的呈现方式、建构过程后，就得厘清学生数学思维的形成和发展过程，我曾经和一些专家讨论过，在中小学段，学生数学思维发展过程要经历四个飞跃，一是对分数意义的理解，二是字母表示数的建立，三是从常量到变量的认识即函数观念的形成，四是从有限到无限的认识即极限思想的形成。

其中，函数观念的形成不仅经历的时间长，而且具有跨越性。

因为函数承载着数形结合的典型性，从思维的角度说是学生思维从一维到二维空间的跨越。

因此，我们只让学生建立知识系统是不够的，还要从高观点下打通知识系统。

例如：

初三课程内容学习完成后，用函数观点统领知识系统。

如：

用函数及其图象解释一元一次方程、一元二次方程的解：

①把一元一次方程变形化简后总可以化为kx+b=0（k、b是常数，且k≠0），只要令y=kx+b，就得到了一个相应的一次函数，方程kx+b=0的解就是当函数值y于0时对应的自变量骡的值；从图象上看，方程kx+b=0的解则为直线y=kx+b与x轴交点的横坐标．因此，方程kx+b=0（k、b是常数，且k≠0）最多有一个解，且一定有一个解（为什么?

）．所以，反过来常常用解方程kx+b=0来求出直线y=kx+b与x轴的交点坐标．

把一元二次方程变形化简后总可以化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），只要令y=ax2bx+c就得到了一个相应的二次函数，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解就是当函数值y=0时，对应的自变量x的值；从图象上看，则为抛物线y=ax2+bx+c上所有的点中，纵坐标为0时对应点的横坐标．即抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．

然而，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）是否与x轴有交点呢?

由哪个量确定呢?

由抛物线y=ax2+bx+c=a

（a≠0）知：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与兄轴是否有交点，取决于抛物线的顶点

中的纵坐

标值的正、负性．当a>0时，抛物线开口向上，且当

<0，即b2-4ac>0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在x轴下方，必有两个交点；且当

=0，即b2-4ac=0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在x轴上，仅有一个交点；且当

>0，即b2-4ac<0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在x轴上方，没有交点如图：

反之，如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有交点，求其坐标时，只需解方程

（△≥0），则交点坐标为

具备了以上的知识和观点，解决如下面的问题就简单了许多。

令y=kx+b，则原一元一次不等式中的未知数（x）便成了函数y=kx+b中的自变量，那么直线y=kx+b在x轴上方的所有点的横坐标都能使y>0，即为kx+b>0的解集．当kx+b>0中的“>”是“<”或“≥”或“≤”时解释同理．所以在求一次函数y=kx+b（k≠0），当y>0（<0或≥0，或≤0）或图象在x轴上方时自变量z的取值范围，只要解出不等式kx+b>0（<0或≥0，或≤0）的解集就可以了．

②用函数及其图象解释二元一次方程和二元一次方程组的解．

一个二元一次方程ax+by+c=0当ab≠0时，可化为

，可看作一次函数，而函数

的图象是一条直线，这条直线上有无数多个点，每一个点的坐标都能使

满足，也就能使ax+bx+c=0成立．所以二元一次方程ax+by+c＝0有无数组解．而直线

的所有点的坐标值正是二元一次方程ax+bx+c=0的无数组解。

一个二元一次方程组中有两个二元一次方程，每个二元一次方程的解，分别在每个方程对应的一次函数的图象上，只有它们的交点是公共点，其坐标即为二元+次方程组的解，且只有一个．反之，求两条直线的交点坐标，就是把函数的解析式联立起采解方程组，其方程组的解即为交点的坐标．

关于列方程解应用题：

列方程解应用题这个内容，贯穿于初中数学每学期的教学内容中，有相当一部分学生觉得始终掌握不好，这是因为解决这类问题需要一定的分析问题和解决问题的能力．有人说“评价一个初中生的思维清楚还是糊涂，在代数中，首推应用问题”，正是基于这个原因，中考中应用题是必选的考题，近年来与日常生活中工农业、运输、商业、经济、环境相结合的题月新日易，不断推陈出新．如何解决这部分内容呢?

在具体问题中历练，提高分析和解决问题的能力是必不可少的．同时，要注意总结，努力完善解应用题酌思维结构，通过多题归一，建立几个基本的模型，下面不妨总结几个模型，引导大家去探索总结．

①对于行程问题、稀释问题、工程问题等等来讲，基本量之间的关系找出共性，建立模型．

路程＝速度×时间

溶质＝溶液×浓度

工作量=工作效率×时间

产值＝产量×单价

抽象概括：

口＝△×O

建立模型：

A＝B·C

②对于行程问题、工程问题等中，用分式方程列出的一个模型：

，其中X是未知数．

③对于增长率问题，设初始量（基础量）为a，经过两个阶段的增长（或降低）、平均增长率为x，终结量为b，那么a（1+x）2=b，其中x是未知数，且当x<0时为负增长（降低）．

2.思想方法系统

思想方法——是在知识的产生与建构过程中蕴含，通过渗透、强化让学生逐步内化。

也就是说，伴随着学生知识建构，技能、能力的形成过程而生成。

《课程标准（2011年版）》中所说的“数学的基本思想”主要指：

数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。

由上述数学思想演变、派生、发展出来的思想还有很多。

例如，由“数学抽象的思想”派生出来的：

分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对称的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。

又如，由“数学推理的思想”派生出来的：

归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。

再如，由“数学建模的思想”派生出来的：

简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，抽样统计的思想，等等。

举个例子，“分类的思想”和“集合的思想”可以是由“数学抽象的思想”派生出来的：

人们对客观世界进行观察时，常常从研究需要的某个角度分析联想，。

排除那些次要的、非本质的因素，保留那些主要的、本质的因素，一种有效的做法就是对事物按照某种本质进行分类，分类的结果就产生了“集合”。

把它们上升到思想的层面上，就形成了“分类的思想”和“集合的思想”。

我们把数学思想方法整理为以下三类18种。

表1　数学思想方法类型表

策略性思想方法

逻辑性思想方法

操作性思想方法

化归

演绎

构造

抽象概括

分类

换元

方程与函数

特殊化

待定系数

猜想

类比

配方

数形结合

归纳

消元、降次（参数）

整体与系统

反证

判别式

一、关于目标的设置

首先，弄清课标要求的目标。

课程基本理念凝聚成为三维目标，应怎样理解三维目标呢？

我是这样看的，知识与技能是基础，是载体；过程与方法涉及的是教学方式，是要让学生经历知识的发生发展过程；情感、态度、价值观则是学习过程中不可避免要涉及到学生的情绪、倾向、兴趣、观念等。

下面看一看课标又是怎样分层次阐述目标的呢？

总目标

通过义务教育阶段的数学学习，学生能：

1．获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

2．体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

3．了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。

总目标从以下四个方面具体阐述：

知

识

技

能

·经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。

·经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。

·经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。

·参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。

数

学

思

考

．建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。

．体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

．在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。

．学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

问

题

解

决

·初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

·获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

·学会与他人合作交流。

·初步形成评价与反思的意识。

情

感

态

度

．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。

·在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

．体会数学的特点，了解数学的价值。

·养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。

·形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。

总目标概括起来就是：

获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

即我们现在常说的“四基”。

那么从“双基”为什么要发展为“四基”呢？

既然《课程标准（2011年版）》继续保留和强调了“双基”，那么，为什么有了“双基”还不够，还要增加两条，发展为“四基”?

这有下面三个理由。

第一，因为“双基’，仅仅涉及上述三维目标中的一个目标——“知识与技能”。

新增加的两条则还涉及三维目标中的另外两个目标——“过程与方法”和“情感态度与价值观”。

第二，因为某些教师片面地理解“双基”，往往在实施中“以本为本”，见物不见人；而教学必须以人为本，人的因素第一，新增加的“数学思想”和“活动经验”就直接与人相关，也符合“素质教育”的理念。

第三，因为仅有“双基”还难以培养创新型人才，“双基”是培养创新型人才的一个基础，但创新型人才不能仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养，思维训练和积累经验等也十分重要，所以新增加了两条。

“四基”是一个有机的整体需要注意的是，“四基”不是四个事物简单的叠加或混合，而是一个有机的整体，是互相联系、互相促进的。

基础知识和基本技能是数学教学的主要载体，需要花费较多的课堂时间；数学思想则是数学教学的精髓，是统领课堂教学的主线；数学活动是不可或缺的教学形式。

“四基”既然比原来增加了两条，在课堂时间的安排上就应该有意识地给“数学思想”的教学预留适当的时间，但是“数学思想”的教学不能空洞地进行，一定要以数学知识为载体进行，并且应该注意将数学知识与数学思想融为一体，因势利导，水到渠成，画龙点睛。

教师在讲解数学思想时，应该避免“两层皮”，避免生硬牵强，避免长篇大论。

表2数学思想分层教学目标

数学思想领域认知领域

层次

教的目标学的目标教学目标教学目标

初期蕴含感受渗透孕育识记了解

中期揭示领悟领悟形成理解领会

后期激活发展应用发展掌握应用

这就是说,学生的数学思想方法的发展与其知识的掌握同样需要经历三个层次或阶段.我们这里仅以化归思想的教学目标分层设制为例。

1.初期即渗透孕育期.这一时期以“有理数”和“整式的加减”的教学为载体,将化归思想的教学目标划分为三个层次:

..含而不露;..显现本质;..明晰要义.在有理数意义的教学中,针对“整数也可以看作是分母为1的分数”这句话,可在语气上加强,书写上给予突出.也可以进一步提问:

整数2可以看作分数吗?

而在有理数的运算中可逐步显示化归思想的本质:

有理数运算转化为算术数运算;在“整式的加减”中突出化归思想在诸如“合并同类项”“去括号”等数学知识的学习中的重要作用.使学生感知到“化归”思想的要义（此时并不需要指明）.2.中期即领悟形成期.这一时期以“方程”教学为载体,将化归思想的教学目标划分为三个层次:

..点破阐释;..突出地位;..提炼概括.在方程教学初期,就可从正面向学生介绍什么是化归思想,化归思想的基本要素,并且运用生活中的实例或典故如曹冲称象等加以阐释,使学生感受化归思想并非数学专有,在现实生活中也有广阔的背景.在方程教学中期,着重引导学生把握:

解一元一次方程的实质就是将原方程转化为“x=a”的目标形式,从而认识到化归思想在解方程中的重要决策和导向作用.在“方程的应用”教学中,通过将实际问题转化成数学问题再转化成方程问题来解决,以及将“未知数看成已知数”参与建立方程等一些具体的化归思路、方法和技巧,进一步提高学生对化归思想的认识,使学生明确“化归”的真谛.3.后期即应用发展期.这一时期以“二元一次方程组”至后继教学内容为载体,将化归思想的教学目标划分为三个层次:

..体验价值;..发挥功能;..活化应用.在“二元一次方程的解法”探索中,使学生通过将其中一个未知数看成是已知数,即通过未知向已知的转化过程,再次体验到“看成”的意义和重要价值.继而在“二元一次方程组”的教学中,会自然地去寻找和发挥它的价值功能,并自觉地应用它指导思维活动,从而实现二元向一元的转化.二元一次方程把x（或y）看成已知数化归y（或x）的一元一次方程在讲授代入法与加减消元法之后,使学生进一步明确化归思想是指导探索解题方法的有效导航仪,但要顺利便捷地解答问题,还需要灵活选择化归方法,掌握化归技能,在此基础上引入换元法如整体换元、整体代入等,达到活化化归思想、优化化归方法之目标.

由于数学思想方法有浅显与深奥之分、具体与抽象之别,因而数学思想的各个教学阶段（层次）的划分也是相对的,教学目标也应因人因地因材而异.但无论怎样,数学思想方法的教学必须是有目标的、有序的、有层次的,必须遵循人的思维发展规律和教学规律.

下面我们讨论一下数学课程中的核心概念，课标中说：

应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。

为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。

建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。

建立符号意识有助于学生理解符

号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

数据分析观念包括：

了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；’了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。

数据分析是统计的核心。

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。

培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。

在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：

合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

建立和求解模型的过程包括：

从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

应用意识有两个方面的含义：

一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。

在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。

三、知识、技能和能力

我在每一届初三进行参加全国数学竞赛学生辅导时，深切的感到，由于数学知识没有建立体系，每块知识体系之间的联系还未连接，特别是一些解决问题的基本技能，特殊的问题思想方法没有内化，甚至是各种技能的熟练运用不够，远远没有达到灵活运用的程度，当然没有形成能力。

听讲的学生看到解决问题时方法之妙趣，分析问题的严谨，探索解决问题办法的精美绝伦，眼睛里放射出好奇而神秘的光芒，自己也幸福的在给出的问题探讨中畅游，然而，上了“战场”，一见到竞赛题眼前一片茫然，无从下手解决，考试结束，根本不敢与人交流，因为一直是很优秀的学生，发现几乎每个题都不会，成绩下来很让人吃惊，多年天水市数理化竞赛常常是20分—30分就能拿到省级或国家级的奖。

这是因为我们的课程所呈现的是知识系，而思想方法是隐含在知识的产生发生过程中，要解决问题，综合运用，必须是在完成知识学习后，专门用一定的时间，以问题解决为情境，进行抽取思想方法的强化训练，进行思想方法的点明阐释，通过必要的训练，逐步内化成为学生自己解决问题的思想方法，进而生成综合运用技能解决问题的能力，才能游刃有余去分析解决数学竞赛问题，显然，这一点仅有按部就班的课堂学习是不够的。

关于任何一门学科的知识技能的形成都是要经过训练，甚至强化训练才能在学习者内部形成。

因为知识、技能和能力三者既有区别又有联系。

所谓区别，它们虽然是一些巩固了的概括化的系统，但它们概括的侧重是不同的。

知识是对经验的概括，技能是对一系列行动的概括，而能力则是对思想材料进行加工的过程的概括。

总之，技能是偏重在操作方面的，而能力则偏重在个性心理特征方面，特别是反映人的认识过程中的心理差异。

如：

学生懂得换元法是知识，掌握换元法的步骤和过程是技能，但是判断什么时候使用换元法，在“元”不明显时，怎样构造“元”则是能力了。

当然，知识、技能，能力三者是密切相关的，它们是互相依存、互相促进的，中学数学中的知识只有通过训练才能转变为技能，这时知识才能得到巩固和应用，能力是在知识的教学和技能的训练过程中，通过有意识的培养而得到发展的；同时能力的提高又会加深知识的理解和技能的掌握。

四、关于数学课堂教学

1.关于一节课的教学目标：

课程标准中有两类行为动词：

一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”等；另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经”“体验”“探索”等。

这些词的基本含义如下。

了解：

从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。

理解：

描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。

掌握：

在理解的基础上，把对象用于新的情境。

运用：

综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。

经历：

在特定的数学活动中，获得一些感性认识。

体验：

参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。

探索：

独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。

[说明]在本标准中，使用了一些词，表述与上述行为动词同等水平的要求程度。

这些词与上述行为动词之间的关系如下。

（1）了解

同类词：

知道，初步认识。

实例：

知道三角形的内心和外心；能结合具体情境初步认识小数和分数。

（2）理解

同类词：

认识，会。

实例：

认识三角形；会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

（3）掌握

同类词：

能。

实例：

能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。

（4）运用

同类词：

证明。

实例：

证明定理：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

（5）经历

同类词：

感受，尝试。

实例：

在生活情境中感受大数的意义；尝试发现和提出问题。

（6）体验

同类词：

体会。

实例：

结合具体情境，体会整数四则运算的意义。

反思新理念，新课标、新课程之间的关系。

知识与技能是基础，是载体；过程与方法涉及的是教学方式，是要让学生经历知识的发生发展过程；情感、态度、价值观则是学习过程中不可避免要涉及到学生的情绪、倾向、兴趣、观念等。

因此，一节课要达到、可以实现、