中考复习最短路径问题之胡不归与阿氏圆问题探究.docx

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中考复习最短路径问题之胡不归与阿氏圆问题探究

“PA+k·PB”型的最值问题（胡不归+阿氏圆）

【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】线段最值问题常用原理：

①三角形的三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

【模型初探】

（一）点P在直线上运动——“胡不归”问题

如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?

分析：

本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值（如图1-1-2），即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

图1-1-1图1-1-2图1-1-3

思考：

当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？

提取系数k即可哦！

！

！

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？

胡不归？

…何以归”。

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？

倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？

这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

（二）点P在圆上运动——“阿氏圆”问题

如图所示2-1-1，⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

AA

BB

图2-1-1图2-1-2图2-1-3

分析：

本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2-1-2）在线段OB上截取OC使OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。

【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=kPB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

“阿氏圆”一般解题步骤：

第一步：

连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；

第二步：

计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；

第三步：

计算这两条线段长度的比

；

第四步：

在OB上取点C，使得

；

第五步：

连接AC，与圆O交点即为点P．

【模型类比】

①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数

起点构造所需角（k=sin∠CAE）——过终点作所构角边的垂线——利用垂线段最短解决问题

②“阿氏圆”构造共边共角型相似

构造△PAB∽△CAP推出

即：

半径的平方=原有线段⨯构造线段

【典型例题】

1．（胡不归问题）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线

BD（不含B点）上任意一点,则

的最小值为.

分析：

如何将

转化为其他线段呢？

即本题k值为

必须转化为某一角的正弦值,即转化为30°角的正弦值。

思考到这里，不难发现，只要作MN垂直于BC，

则

即

最小转化为AM+MN最小，本题得解。

变式思考：

（1）本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？

（2）本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？

2．（阿氏圆问题）如图，点A、B在☉O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4，动点P在☉O上，则2PC+PD的最小值为．

分析：

如何将2PC转化为其他线段呢？

不难发现本题出现了中点，即2倍关系就出现了。

套用“阿氏圆”模型：

构造共边共角相似

半径的平方=原有线段⨯构造线段

【中考真题】（胡不归问题）

（阿氏圆问题）

写在最后：

“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。

两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。

不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k（如果k＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于

或等于

）将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；

“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如果大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如果小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。