公务员考试数量关系经典类型问题.docx

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工程问题

交替合作问题：

交替合作问题与合作问题有很大的区别体现在“交替”两个字，合作效率为各部分效率的加和；交替合作，也叫轮流工作，顾名思义即是每个人按照一定的顺序轮流进行工作。

　　解决交替合作问题关键：

（1）已知工作量一定，设出特值。

（2）找出各自的工作效率，找出一个周期持续的时间及工作量；

　　（3）在出现有剩余工作量的情况需要根据工作顺序认真计算，确定到最后工作完成。

　　例1：

一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。

如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖1天，两人如此交替工作。

那么挖完这条隧道共用多少天?

　　A.13  B.13.5   C.14   D.15.5

　　【答案】B

　　【解析】：

典型的关于交替合作的问题，题目体现出已知工作总量一定和两人工作时间，可以设特值，假设总的工作量为20，则甲的工作效率为1，乙的工作效率为2，因为1个周期持续的时间为2天，一个周期可以完成总的工作量为1+2=3；所以20÷3=6..........2就代表前面需要6个周期，对应6×2=12天，之后剩下2的工作量需要甲先做1天，剩下乙工作半天，所以整个过程需要13.5天，故答案为B。

　　以上为正效率交替合作的问题，还有一个涉及到负效率交替合作的问题。

　　例2、有一个水池，装有甲、乙、丙三根水管，其中甲、乙为进水管，丙为出水管。

单开甲管需15小时注满空水池，单开乙管需10小时注满空水池，单开丙池需9小时把满池的水放完，现按甲、乙、丙的顺序轮流开，每次1小时，问几小时才能注满空水池?

　　A.47  B.38  C.50  D.46

　　【答案】B

　　【解析】：

典型的关于交替合作的问题，题目体现出已知工作总量一定和两人工作时间，可以设特值，假设总的工作量为90，则甲的工作效率为6，乙的工作效率为9，丙的工作效率为-10，所以1个周期持续的时间为3天，一个周期可以完成总的工作量为6+9-10=5，此种最大效率6+9=15，所以（90-15）÷5=15，就代表共需要15个周期，对应15×3=45天，之后剩下15的工作量需要甲先做1天，乙再工作1天就可以完成，故答案为B。

　　在考试中交替合作的问题如何应对，只要把以上的两道例题所涉及的正负效率两种类型能够很好的理解，在考试中能够快速判断题型，这种类型的题目往往能够快速求解。

排列组合问题

一、分类与分步的区别

　　分类和分布的区别主要在于要求是否全部完成，如果完成为一类，如果没完成那就是一个步骤，我们拿一个例题来分析一下。

　　【例题】有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定次序挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号?

　　A.24B.48C.64D.72

　　解析：

从问法能够判断出这是排列组合问题，那就需要我们分析是用排列还是组合，以及需要分类还是分步，根据题干信息“按一定次序挂在灯杆表示信号”可以得出顺序改变对结果（信号）是有影响的，因此此题用排列，一盏可以表示信号，说明可以完成，所以分为第一类，两盏也可以表示信号，说明可以完成，所以分为第二类，三盏也可以表示信号，说明可以完成，所以分为第三类，四盏也可以表示信号，说明可以完成，所以分为第四类，题目分析完计算为4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，因此，选择C。

　　二、排列与组合的区别

　　简单来说排列和组合的区别就是顺序的变化对于题干的最终结果是否存在着影响，如果存在影响那么就用排列，如果不存在影响就用组合，比如我们来举个例子。

　　【例题】某K次列车沿着某铁路线共停靠25个车站，那么应该为这条线路准备多少种不同的硬座车票?

票价为多少种?

（任意两站之间票价不同）

　　A.500，250B.600，300C.400，200D.450，150

　　解析：

根据问法能够确定是一道典型的排列组合问题，那么我们观察会发现这是两个问题，我们先看第一个问题，问车票有多少种，思考对于车票来说站点顺序的改变是否会影响结果，显然是影响的，顺序变化后就不再是一张车票了，因此用排列，一共是25个站点，选出2个构成一张车票，计算结果为=25×24=600，第二问有多少种票价，对于票价而言顺序改变是否会影响结果呢，顺序变化后对于同一辆车的往返车次票价相同，因此顺序改变并不影响结果，所以用组合，计算结果为=（25×24）÷2=300，因此，此题选择B。

经济问题

　　经济问题是一类涉及运算较多的问题，同时也是数学运算中必考的知识点之一。

一般侧重考查概念之间的关系。

　　方法技巧

　　折扣：

售价为原价的百分之几十，如“一折”是售价为原价的10%。

　　单件利润=售价－成本；总利润=单件利润×售出数量。

　　利润率=利润÷成本×100%。

　　Ps：

在资料分析中，利润率=利润÷销售额×100%。

　　下面结合真题具体讲讲数学运算中的基础经济问题，这也是数学运算中经济问题考查的重点。

　　这道题用比例思维解题，可能有些考生会觉得是考巧合，因为这里的5+3正好等于8，如果题目中的60%改为80%，这样最后算的时候看起来会有冲突。

如果出现这种情况可以用最小公倍数来化解这种情况。

年龄问题

　一、年龄问题

　　题型特征：

已知两人或多人年龄之间的数量关系，求他们的年龄。

（一）知识要点：

　　1、每过N年，所有人都长了N岁。

　　这一点很好理解，不论过了年，所有人张了一样多的岁数。

　　2、任何两人的年龄差始终不变。

　　这句话是相对而言的。

如哥哥比弟弟大5岁，再过5年、10年，哥哥仍然比弟弟大5岁，但如果过了几十年，其中一个死亡了，两者之间的年龄差可能就会有差别了。

但在公务员考试中，会考“生”不考“死”，也就是说可能会有孩子刚出生，但不会考死亡。

出现这种考点也可以称得上是一种极其特殊的题型了。

　　3、任何两人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。

　　比如甲的年龄是8岁，乙2岁，现在甲的年龄是乙的4倍，4年以后，甲12岁，乙6岁，此时甲的年龄是乙的2倍。

任何两人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。

（二）方法技巧：

　　1、当题中涉及两人之间的年龄关系时，一般用代入排除法求解。

　　2、当题中涉及多人之间的年龄关系时，一般用方程法求解。

说到方程有一种特殊方程，a2 +b2 =c2 ，这种一般就是a=6，b=8，c=10了。

　　3、为了理清年龄间的数量关系，必要时可借助线段或表格进行分析。

这类技巧主要用在题干中出现“当我像你这么大的时候”这一表述。

　　最后补充几点：

（1）在公务员考试中，出生当年算0岁，不是1岁。

如某甲1986年出生，1986年是0岁，1987年才算1岁。

（2）记住这个三个数的平方：

432=1849；442=1936；452=2025。

记住这三个数主要是为了解决一种特殊题型。

如下：

某人年龄的平方正好是自己出生的年份，问这个人是哪一年出生的。

遇到这种问题，只用找上面的3个数就可以了。

　　（3）注意考试中有2个常识：

法律规定女性20岁以下男性22岁以下不允许结婚，如果题目中说父亲，算出来的年龄肯定是22岁以上；一般妈妈年龄会比爸爸年龄要小，如果算出来妈妈是36岁，爸爸33岁，这个时候就可以怀疑自己是不是算错了。

快慢钟问题

例1：

小强家有一个闹钟，每小时比标准时间快3min，有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天早晨6点起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分?

　　【参考解析】从晚上10点整到早晨6点，标准时间经历了8小时，而根据条件，标准时间每一小时快3min，所以8小时应该快24min。

所以此时闹铃的时间为6点24min。

　　不难发现，我们这道题目用一个简单的比例关系就能求解。

　　例2：

有一只钟，每小时慢5min，早上6点时对准了标准时间，当下午这个钟指向5点时，标准时间是多少?

　　【参考解析】标准时间60min相当于慢钟走55min，而从6点到5点，代表的是慢钟走了11小时，所以可以根据比例关系：

　　求得x=12h，6点经过12小时为18点

　　例3：

有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟，当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点。

当这只怪钟显示8点50分时，实际上是什么时间?

　　【参考解析】怪钟每昼夜一共有10×100=1000分钟，从5点到8点50分经历了3h50min也即350分钟，所以相当于一昼夜的35%。

按照标准时间一昼夜为24h，24×35%=8.4h。

所以12点过8.4h也即8小时24min，最终时间为20点24min。

方阵问题

　方阵相邻两层人数相差8，此处需注意一种特殊情况，当实心方阵的最外层每边人数为奇数时，从内到外每层人数依次是1、8、16、24…；

　　实心方阵总人数=最外层每边人数的平方

　　空心方阵总人数利用等差数列求和公式求解（首项为最外层总人数，公差为-8的等差数列）

　　方阵每层总人数=方阵每层每边人数×4-4；

　　在方阵中若去掉一行一列，去掉的人数=原来每行人数×2-1；

　　在方阵中若去掉二行二列，去掉的人数=原来每行人数×4-2×2。

　　在明白了方阵问题的基本原理之后，我们会发现方阵问题并不难理解，关键就是能够将已经总结出的公式会在具体题目中的使用，所以接下来我们通过几个例题深刻理解方阵问题。

　　【例题1】五年级学生分成两队参加广播操比赛，排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8.如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。

五年级一共有多少人?

　　A.200B.236C.260D.288

　　【答案】C.

　　【参考解析】此题答案为C。

空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8×8×2=128人。

丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人，即多了16÷8=2层。

这两层的人数即为实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为（128+8）÷2=68人，丙方阵最外层每边人数为（68+4）÷4=18人。

那么，共有18×18-8×8=260人。

　　【例题2】参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。

问参加团体操表演的运动员有多少人?

　　A.196B.225C.289D.324

　　【答案】C。

　　【参考解析】去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1，去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数=（33+1）÷2=17.方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289人。

　　相信通过例题的讲解，广大考生对于方阵问题会得到更深刻的理解，方阵问题在近几年考试当中虽然出现较少，但是也需要将这类问题有所了解才可以，解题时要先确定方阵的类型，搞清方阵中一些量（如层数、最外层人数、最里层人数和总人数）之间的关系，然后套用正确的公式求解。

青蛙跳井问题

一.基本青蛙跳井问题

　　1.基本青蛙跳井问题最关键的题型特征：

存在循环周期性以及周期内既有正效率也有负效率。

　　2.基本模型：

　　【例1】现有一口高10米的井，有一只青蛙坐落在井底，青蛙每一个白天上跳5米，但是由于井壁过于光滑，青蛙每一个晚上下滑3米，问该青蛙几天能跳出此井?

　　【解析】青蛙白天晚上不停地上跳和下滑，存在周期性，一个白天加一个晚上即一天为一个周期，经过一个周期青蛙上跳2米。

大家会发现，无论最终青蛙花几天的时间跳出此井，有一个规律是十分确定的，即当青蛙跳出井口的时候，它一定处于上跳的过程，并不是下滑的过程，也就是说，只要运动N个周期之后，青蛙离井口的距离小于5米，那青蛙一次就能跳出此井，我们称这个5米为预留距离，也称作周期峰值。

总高度是10米，一个周期青蛙上跳2米，因此需要N=[（10-5）÷2]=3个周期就能保证离井口的距离为5米，（[]为向上取整符号），此时青蛙只需一次即可跳出井口，所以最终青蛙需要4天的时间才能跳出此井。

　　总结利用青蛙跳井规律解题的基本步骤：

　　1.确定周期：

求一个周期之内的效率之和即周期值以及最大的效率即周期峰值;

　　2.确定循环周期数：

N=[（工作总量-周期峰值）÷周期值]（[]为向上取整符号）;

　　3.确定未完成的工作量：

计算剩余的工作时间;

　　4.确定总时间。

　　二.青蛙跳井与工程问题结合——增减交替合作求时间

　　特殊的工程问题——既有正效率也有负效率的交替合作问题，看似题目难度增大了，其实只是题目的说法变化了一下，其本质不变，其本质依旧属于青蛙跳井问题，利用我们上面总结过的基本解题步骤能够达到快速解题的效果。

　　【例2】一水池有甲进水管和乙排水管各一根，当水池是空的时候，若单独打开甲进水管，需要5小时可将水注满;当水池是满的时候，若单独打开乙排水管，需要10小时可以排空水池。

如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流各开1小时，要将水池注满需要多少小时?

　　A.14B.15C.16D.17

　　【解析】此题可将工作总量设为10份，则甲进水管的效率为+2，乙排水管的效率为-1，甲乙各开1小时为一个周期，即每两个小时进水1份，周期峰值为+2。

循环周期数N=[（10-2）÷1]=8个周期，即16个小时，还有2份工作量未完成，只需甲进水管工作1小时即可，所以最终工作总时间为17个小时。

选择D选项。

　　【例3】某粮仓装有三个输送带，甲乙输入，丙输出。

要想空仓贮满，甲要4天，乙要5天;要想满仓送空，丙要10天。

那么按照甲、乙、丙......的顺序各开1天的交替方式，需要几天贮满空仓?

　　A.5B.6C.7D.8

　　【解析】此题可将工作总量设为20份，则甲、乙、丙的效率分别为+5、+4、-2，甲乙丙各开1天为一个周期，即每3天贮粮7份，周期峰值为+9。

循环周期数为N=[（20-9）÷7]=2个周期，即6天，还剩9份粮食未贮满，需要甲、乙各工作1天即可，所以最终总工作时间为8天。

选择D选项。

日期问题

一、日期问题中的基本常识

　　1.平年、闰年的区别方法：

满足以下任一条件的年份即为闰年，否则为平年。

　　①能被4整除但是不能被100整除的年份。

　　②能被400整除但是不能被3200整除的年份。

　　2.平年的二月份有28天，一年有365天。

闰年的二月份有29天，一年有366天。

　　3.大月：

1、3、5、7、8、10、12月，每月有31天。

　　4.小月：

4、6、9、11月，每月有30天。

　　5.平年有52个星期多1天，闰年有52个星期多2天。

　　6.大月有4个星期多3天，小月有4个星期多2天。

　　7.平年的二月有4个星期，闰年的二月有4个星期多1天。

　　二、日期问题的基本题型

　　常考的日期问题基本题型为可以利用日期问题中基本常识做的题。

　　【例题1】2005年7月1日是星期五，那么2008年7月1日是星期几?

　　A.星期三B.星期四C.星期五D.星期二

　　【答案】D。

解析：

2005，2006，2007都是平年（365天），2008是闰年（366天）；365=52*7+1，所以，经历一个平年（365天），星期往后推一天；366=52*7+2，所以，经历一个闰年（366天），星期往后推两天；因为2005年7月1日是星期五，所以2008年7月1日是星期五+1+1+2=星期9=星期二。

　　【例题2】某月有31天，有4个星期三和4个星期六，那么这个月的15号是星期几?

　　A.星期日B.星期六C.星期五D.星期四

　　【答案】A。

解析：

如果一个月有31天，则这个月就有4个星期多3天，同时如果这个月只有4个星期三和星期六，那么多出来的三天只可能是星期日、星期一、星期二并且只可能是在月初1、2、3号，因此可以判断出这个月的1号是星期日，2号是星期一，3号是星期二，所以15号为星期日，选择A。

　　三、关于日期的一个神奇的结论

　　1.每一年当中的4月4日、6月6日、8月8日、10月10日、12月12日为相同的星期。

　　2.每一年当中的3月3日、5月5日、7月7日、9月8日、11月10日为相同的星期。

　　【例题3】2017年的5月1日为星期一，则2017年的10月1日为星期几?

　　A.星期日B.星期三C.星期五D.星期四

　　【答案】A。

解析：

2017年5月1日为星期一，则5月5日为星期五，则9月8日为星期五，再过23天即3周多2天为10月1日，因此10月1日为星期日，因此选A。

鸡兔同笼问题

一、鸡兔同笼知识点回顾

　　判断一道题目是不是鸡兔同笼问题，要从它的题型特征入手，这里面我们主要研究两者鸡兔同笼的题型特征。

　　两者鸡兔同笼题型特征：

已知某两种事物的两个属性的指标数和指标总数，分别求个数的问题。

　　例：

有一个笼子里有鸡和兔子两种动物，从上面看有10个头，从下面看有30只脚，则鸡和兔子各有多少只?

　　①两种事物是指：

鸡和兔子

　　②两个属性是指：

头和脚

　　③指标数是指：

每只动物头的数量和脚的数量，即：

一只鸡有一个头两只脚，一只兔子有一个头四只脚。

　　④指标总数是指：

头和脚的总数量

　　二、假设法解决鸡兔同笼问题：

　　假设法主要依据以下三个步骤，即可解决大部分题目。

　　步骤一：

先看问题，再设对立的另一种事物

　　步骤二：

两者以上鸡兔同笼问题需要先转化为两者鸡兔同笼再用假设法。

　　步骤三：

基本公式：

指标总数之间的差÷指标数之间的差

　　例题1：

某工厂，张师傅一天可以做120个零件，他徒弟一天可以做90个零件，两人在这个月共工作25天，完成了2730个零件，问师傅工作多少天?

　　答案：

16天。

　　解析：

假设25天都是徒弟做，应该做90×25=2250个，根据公式，师傅做的=指标总数之间的差÷指标数之间的差=（2730-2250）÷（120-90）=16天

　　例题2：

班主任张老师带五年级

（2）班50名同学栽树,张老师一人栽5棵,男生一人栽3棵,女生一人栽2棵,总共栽树120棵,问几名男生，几名女生?

　　答案：

15名男生，35名女生

　　解析：

去掉张老师，转化成两者鸡兔同笼，指标总数=120-5=115，男女生人数还是50人。

假设都是男生，一共栽树：

3×50=150棵，根据公式，女生人数=（150-115）÷（3-2）=35人，男生人数：

50-35=15人。

　　例题3：

甲乙两人参加奥数比赛，若答对，甲得8分，乙得10分;若答错，甲扣2分，乙扣3分，每人各答10题，共答对13题，结算分数时，甲比乙多25分，问甲、乙各对几题?

　　答案：

甲对2题，乙对5题。

　　解析：

假设甲10题全对，一共得分：

8×10=80分，乙对3题，得分：

3×10-3×7=9分。

甲乙相差80-9=71分，实际相差25分，指标总数之差=71-25=46分。

甲多对一道多得：

8+2=10，乙少对一道少得：

10+3=13分，根据公式：

甲答错的题目=46÷（10+13）=2题，所以甲做对10-2=8题，乙做对13-8=5题。

抽屉问题

抽屉问题，又叫狄利克雷原则。

这类题型有两个原则。

　　原则一：

把多于n个的元素，按任意确定的方式分成n个集合，那么一定至少有一个集合中，含有至少两个元素。

　　原则二：

把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里有m+1个或者m+1个以上的元素。

抽屉原则是证明符合某种条件的对象存在性问题有力工具。

应用抽屉原则解决问题的关键是如何构造抽屉。

　　对于抽屉问题，各位考生学习的重点有两个：

1、根据题目特征快速判断出此题为抽屉问题;2、其相应的解题方法要能够立刻浮现在脑海中。

　　要想解决第一个重点，各位考生只需记住抽屉问题的题型特征，即出现“至少……才能保证（一定）……”的字眼，即可快速判断出该题为抽屉问题。

　　要想解决第二个重点，各位考生需知道解决这类题目最快速最核心的方法为最不利原则，即题目要求达到某个目的，我们就想尽办法不满足它，这样的话就可以考虑最不利的、最倒霉的的情况，最后在此情况的基础上加1即恰好满足了题干的要求。

　　例1.从一副抽掉大小王的扑克牌中，至少抽出（）张牌，才能保证至少有2张牌的花色相同。

　　A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5

　　【答案】D。

解析：

此题包含了“至少……才能保证（一定）……”的字眼，故属于抽屉问题。

此题中的目标是2张花色相同的牌，而一副无大小王的扑克牌由4种花色那么最倒霉最不利的情况莫过于将每种花色各抽1张牌，即一共抽4×1=4张，最后再抽1张，无论抽到什么样的牌都可以保证此牌的花色与之前抽出的四张牌中的某一张为相同花色，即至少抽出4+1=5张牌，才能保证至少有2张牌的花色相同，故选D。

　　例2.从一副完整的扑克牌中。

至少抽出（）张牌，才能保证至少有2张牌的花色相同。

　　A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8

　　【答案】C。

解析：

最倒霉的情况为每种花色各抽1张牌，此时还不能忘了大小王，即共抽4×1+2=6张牌，最后再抽1张，即至少抽出6+1=7张牌，才能保证至少有2张牌的花色相同，故选C。

　　例3.从一副完整的扑克牌中。

至少抽出（）张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同。

　　A.21　　　　B.22　　　　C.23　　　　D.24

　　【答案】C。

解析：

最倒霉的情况为每种花色各抽5张牌，不忘大小王，即共抽5×4+2=22张牌，最后再抽1张，即至少抽出23张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同，故选C。

行程问题

　　行程问题是数量关系里面经常会考一种类型。

有些考生在这种题目面前是遇一次错一次，而另一部分考生虽然作对了，但是却花费了大量的时间。

　　例题1、甲乙两辆赛车在20公里的环形公里赛赛道上练习，甲出发1分钟后乙同向出发，乙出发2分钟后第一次追上甲，又过了8分钟，乙第二次追上甲，此时乙比甲多行驶了12.5公里，问两车出发地相隔多少公里?

填入划横线部分最恰当的一项是：

　　A、10

　　B、7.5

　　C、5

　　D、2.5

　　【权威解析】

　　作为追击问题，其实列方程解方程是通用办法，设甲速度为x公里/分钟，乙速度为y公里/分钟，乙出发地在甲出发地前s公里。

　　第一次相遇：

3x=2y+s

　　第二次相遇：

8x+20=8y

　　总共行驶：

11x+12.5=10y

　　方程2转换，带入方程3，加减乘除等式两边，移项，合并同类项，系数化为一，……，然后得到x=、y=、s=……

　　所谓的通用的往往效率低，计算量大。

此时想一想我们老祖先的鸡兔同笼问题的解法，思辨的方式。

　　第一次相遇，乙比甲少（或者多）行驶了的距离就是出发地相隔的距离。

　　第二次相遇，乙比甲多行驶了20公里。

　　题目说，乙仅仅比甲多行驶了12.5公里。

　　那么两车出发地相聚|20-12.5|=7.5公里。

　　故选B。

　　例题2、甲乙两人在长50米的跑道上往返跑,甲每分钟62.5米,乙每分钟87.5米,两人同时分别从两端出发,到达终点后原路返回,如是往返.如果不计转向的时间,则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次?

　　A、5

　　B、2

　　C、4

　　D、3

　　【权威解析】

　　既然是相遇问题，所以两人时间相同，路程和相等，也就是

　　第一次相遇：

62.5x+87.5x=50

　　第二次相遇：

62.5x+87.5x=50+100

　　第三次相遇：

……

　　估计又要花去大量的时间了。

思辨的方式：

　　两人相