学而思初一数学暑假班第1讲有理数与数轴教师版.docx
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学而思初一数学暑假班第1讲有理数与数轴教师版
模块
有理数基本概念
定义
示例剖析
正数：
像3、1、0.33等的数，叫做正数．在小学学
正数
4
：
1，2.5，，⋯⋯
过的数，除0外都是正数．正数都大于0．
3
负数：
像1、3.12、17、2008等在正数前加上
5
负数
：
1，5，1，⋯⋯，⋯⋯2
”（读作负）号的数，叫做负数．负数都小于0．
一个数字前面的“”，“”
0既不是正数，也不是负数．
号叫做它的符号．
正数前面的“”可以省略，注
意3与3表示是同一个正数．
用正、负数表示相反．意．义．的．量．．：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意
譬如：
用正数表示向南，那么向
义，
反之亦然．
北3km可以用负数表示为3km．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：
一是相反意
义；
二是相反意义的基础上要有量．
有理数：
整数与分数统称有理数．
正整数
自然数
正整数：
整数零
1，2，10，⋯⋯
有理数（按定义分类）负整数
正分数
负整数：
3，6，15，⋯⋯
分数
负分数
2
，1.5，0.3&，⋯⋯
正整数
正分数：
正有理数正整数
3
正分数
有理数（按符号分类）零
负分数：
1，3.25，1.62&，⋯⋯
负整数
5
负有理数负整数
负分数
注
：
⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；
⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数
A．节约汽油10升和浪费粮食10kg
B．向东走8公里和向北走8公里
C．收入300元和支出100元
D．身高180cm和身高90cm
⑵规定向前、收入为正，后退、支出为负，那么下面四个语句中错误的是（）A．前进18米的意义是后退18米
B．4万元的意义是亏损4万元
C．收入的相反意义是支出
D．后退4米的意义是前进4米
⑶如果零上5℃记作5℃，那么零下5℃记作（）
A．5B．10C．5℃D．10℃
⑷如果水位升高4m时水位变化记作4m，那么水位下降3m记作m，水位不
升不降时水位变化记作m.
⑸甲，乙两地的海拔高度分别为200米，150米，那么甲地比乙地高出（）．
A．200米B．50米C．300米D．350米
⑹学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030（ml）”字样，请问“60030ml”是什么含义？
质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml，611ml，
589ml，573ml，627ml，问抽查产品的容量是否合格？
⑺在下表适当的空格里打上“√”号．
整数
分数
正数
负整数
正分数
非负数
非负整数
无理数
0
1.5
1
4
0.62
3
0.31&
π
9
8
解析】⑴C；⑵B；⑶C；⑷3，0；⑸D；
⑹“60030ml”表示每瓶饮料容量最小可以是60030ml，最大可以是
600+30ml，抽出的5瓶容量均在60030ml与60030ml之间，因此合格．
⑺
整数
分数
正数
负整数
正分数
非负数
非负整数
无理数
0
√
√
√
1.5
√
1
4
√
√
√
√
0.62
√
√
√
√
3
√
√
0.31&
√
√
√
√
π
√
√
√
9
8
√
能力提升
不超过米，最小不小于米．
（北京师范大学附属实验中学）⑵1是（）
A．最小的整数B．最小的正整数C．最小的自然数D．最小的有理数
⑶4.5，6，0，2.4&，π，1，0.31&3&，3.14，11，以上各数中
2
属于负数，属于非正数，属于非负有理数
⑷
在15，3，
0.15，
22
30，12.8，
中，负分数的个数是（
）
8
5
A．1
B．2
C．3
D．
4
人大附中期中）
解析】⑴
20.0519.95
⑵B
⑶属于负数的有：
4.5，1，
2
0.31&3&，1
；属于非正数的
有：
4.5，0，
1，
2
0.31&3&，11；属于非负有理数：
6，0，2.4&，
3.14⑷B.
定义
示例剖析
数轴：
规定了原．点．、正．方．向．和单．位．长．度．的直线．
-101
⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，
画数轴的常见错误：
三者缺一不可．
⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前
23
没有原点
者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的
名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线
段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．
⑶数轴的画法
0
1
2
①画一条水平的直线；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原
没有正方向
点：
2
3
4
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
没有原点
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，
单位长度不统一
并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
0
没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．注意：
数轴上的点不都代表有理数，如π．
-10
1
234
利用数轴比较有理数的大小：
数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所
b
0
1a
对应的数．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
b
0
1a
例3】⑴画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“”连接．
11
5，3.5，，1，4，0，2.5
22
（北京101中学期中）
⑵4和0.9的大小关系是：
40.9
55
⑶数轴上与原点的距离是3个单位长度的点所表示的数是．
（北京四中期中）⑷数轴上点A对应的数为3，那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是
⑸数轴上的点A、B分别表示数3和1，点C是AB的中点，则点C所表示的数是
（人大附中单元测试）⑹如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为．
⑺在数轴上任取一条长度为19991的线段，
则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为.
解析】⑴先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示），在数轴上，右边的数总比左边的数大，故3.511012.545.
22
11
-1
-3.52022.54+5
-4-3-2-1012345
⑵；⑶3；⑷4或2;⑸1;⑹1，0，1，2;⑺2000
例4】⑴在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了2个单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终点，此时这个点表示的数是（）
A．5B．1C．1D．5
⑵一个点从数轴上表示2的点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，则终点表示的数是．
⑶数轴上的点A对应的数是1，一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后，用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？
B点与A点的距离是多
少个单位长度？
B点对应的数是多少？
解析】⑴C；⑵3；
⑶蚂蚁6s共爬行12个单位长度；B点到A点的距离为6个单位长度；B点对应的数
是5．
例5】⑴已知数轴上有A、B两点，它们之间的距离为1，点A与原点的距离为3，那么点B所对应的数为.
⑵在数轴上，N点和O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是.
⑶已知下图中数轴上线段MO（O是原点）的七等分点A、B、C、D、E、F中，只有两点对应的数是整数，点M对应的数m>10，那么m可以取的不同值有个，m的最小值为.
EF
MA
解析】⑴4或2或2或4.
⑵N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍.
1若N点在数0和30之间，设N点到O点的距离为x，则5x=30，x=6.所以N=24.
2若N点在30右边，设N点到O点的距离为x，那么N点到30所对应的点的距离即为x，O点到30所对应的点的距离为3x，则3x=30，x=10.所以4x=40.N=40.
N点表示的数是24或40.
⑶七等分点A、B、C、D、E、F中，只有两点对应的数是整数，故可分以下几种情况讨论：
1若点F为整数，则有点A、B、C、D、E均为整数，不符合题意；
2若点E为整数，则有点A和点C都为整数，也不符合题意；
3若点D为整数，则点A为整数，符合题意；
4若点A或点B或点C为整数，则都只有一点为整数，不符合题意.
通过以上的分析，可以发现只有点A和点D对应的数为整数
由题意得：
对应的数为整数的两点为点A和点D，
3m为整数，且m和2m都不为整数，又0>m>10，
7
77
解得：
m
28147或或.
333
拓展】如图，已知数轴上A、B、C、D四点对应的实数都是整数，每相邻两个点相距1个
单位，如果A对应的实数为a，B对应的实数为b，且b2a9，那么数轴上的原点应该是A、B、C、D中的哪一点？
ABCD
解析】从数轴上可以看出：
ba，且ba4，由于b2a9，所以a5，所以比a大5的c是原点。
定义
示例剖析
例如：
5和5互为相反数，或者说5是
相反数：
只有．符．号．不．同．．的两个数互称为相反
5的相反数，5是5的相反数；
数．特别地，0的相反数是0．
例如：
3与3互为相反数，而3与2虽
相反数必须成对出现，不能单独存在．
然符号不同，但它们不是相反数．
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添
例如：
3的相反数为3
上“”号即可．
一般地，数a的相反数是a；这里以a表示任意
3的相反数为（3）
一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个
代数式．注意a不一定是负数．
0的相反数为0
当a0时，a0；当a0时，a0；当a0
时，a0．
（3）0
互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为
相反数，则ab0；
例如：
3与3互为相反数，则3+（3）=0
反之，若ab0，则a与b互为相反数．
一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且
-404
到原点的距离相等．
多重符号的化简：
一个正数前面不管有多少个
“”号，都可以全部去掉；
例如：
++66
一个正数前面有偶数个“”号，也可以把
“”号全部去掉；
66
一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保
留一个“”号，即“奇负偶正”（其中“奇偶”是
指正数前面的“”号的个数的奇偶数，“负正”是
（-5）5
指化简的最后结果的符号）
倒数：
乘积为1的两个数互为倒数．a，b互为
例如：
311，3与1互为倒数.
倒数，则ab1；反之亦然．
33
负倒数：
乘积为1的两个数互为负倒数．若a，
若311,则3与1互为负倒数.
b互为负倒数，则ab1．反之亦然．
33
倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；
互为倒数的两个数的乘积一定是1；0没有倒数；
求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.
例6】⑴7的相反数（）
⑶如果a0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数
①
（a）；②
（a）；③
（a）；④（a）；⑤
a
⑷
3的倒数是
（
）
A．
1
B．
1
C．3
D．3
3
3
（北京市中考题）
解析】⑴
D
⑵C
⑶
①
a
a
，正数；
②
aa，负数；③
a
a，负数；
④
a，正数；
⑤
a=a，正数
⑷选A
例7】⑴3与互为相反数；1a是的相反数．72
⑵2的相反数是；b4是的相反数．⑶4
互为相反
⑷5与互为相反数，ab与数，7bc与互为相反数．
31
解析】⑴
，a；⑵2，b4；⑶4；⑷5，ab，7bc
72
例8】⑴若a与2a7互为相反数，则a．
33
⑵若x、y都是有理数，且使得四个两两不相等的数x4、2x、2y7、y能分成两组，每组的两个数是互为相反数，则xy的值等于
解析】⑴7；
3；
⑵有两对相反数，初看没法确定4个数中谁是谁的相反数，但是从整体考虑，由于互
为相反数的两个数的和为0，所以这4个数的和仍为0，即x4+2x2y7y0，
得到xy1
例9】
⑴已知有理数a、b在数轴上表示如图，
现比较a、b、a、b的大小，
正确的是（）
a
0
b
A．ab
ab
B．
ab
b
a
C．ba
ab
D．
ab
b
a
⑵已知a,b为有理数，且a0，
b0，
ab
0，
将四个数a,b,a,
b按由小到大的顺
序排列是
解析】
⑴C
⑵借助数轴标出
a,b的大概位置，
知b
aa
b
探究数字黑洞：
“黑洞”原指非常奇怪的天体，体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：
任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，⋯⋯，重复运算下去，就能得到一个固定不变量的数T，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力？
通过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘．请问，数字“黑洞”
所以结果T153．
例11】电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4⋯⋯，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是
19.94，试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数.
解析】30.06.设K0点表示的有理数为x，则K1，K2，⋯K100点所表示的有理数分别为x1，x12，x123，⋯x123499100，由题意得：
x12349910019.94，解得x30.06.
例12】动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，
3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A，B的速度比是1:
4，（速度单位：
单位长度/秒）
-12-9-6-3036912x
1求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置．
2若A，B两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
3若A，B两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点C也同时从B点
位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，点C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
（北京东城区期末）解析】①设A的速度为x单位长度/秒，B的速度为4x单位长度/秒
依题意，3（x4x）15
x1
即：
A的速度为1单位长度/秒，B的速度为4单位长度/秒．
3秒时，A的位置在3，B的位置在12．
②设x秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
124x3x
x1.8
3设y秒后B追上A，依题意，
4yy15
y5
205100
点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度．
知识模块一有理数基本概念课后演练
演练1】⑴一天早上的气温是7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，那么半夜的气温是（）
A．5℃B．5℃C．13℃D．13℃
（八中期中）⑵如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作．
⑶下列说法正确的是（）
A．有最小的负整数，没有最小的正整数B．有最小的负数，没有最大的正数C．有最大的负数，没有最小的正数D．有最大的负整数，没有最大的正整数
（十一学校期中）
⑷把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
10
2.4，3，2.008，10，
3
114，0.1&5&，0，
2，3.14
正有理数数集合：
{
}
非负整数集合：
{
}
负分数集合：
{
}
解析】⑴
A；⑵
6吨；⑶D；
⑷
正有理数：
1
3，2.008，1，2，3.14
4
非负整数：
3，0，2；
负分数：
2.4，10，0.1&5&
3
演练2】检验5个排球，其中超过标准的克数记为正数，
记数分别为：
1号球，+5；2号球，+0.7；3号球，轻重的角度看，最轻的球是号球，最接近标准的球是号球．
八中期中）
解析】4；3.
知识模块二数轴课后演练
演练3】数轴上，点A,B分别表示3和5，则线段AB的中点所表示的数是
解析】1
演练4】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示：
则（）
a
-1
A．ab0B．ab0解析】A
C．ab
0D．ab0
知识模块三相反数，倒数课后演练
演练5】⑴
6的相反数是
4
24的倒数是
7
，4的倒数的相反数是
解析】⑴6，
a的相反数为2，则a
7
18
1；
；
4
演练6】如图所示，
若点
A是有理数
解析】a1a
（北京师范大学附属实验中学）
；ab的相反数
a在数轴上对应的点，则
a、
a、1的大小关系是
01
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