数学备考Word格式文档下载.doc
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（D）3．
（，）的个数就是到直线l1的距离为p的直线与到直线l2的距离为q的直线的交点的个数，作出满足条件的直线即可．
选（D）①正确，此点为点；
②正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）；
③正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点．
点评：
概念型创新题特点是首先给出一个定义，然后根据定义提出一系列问题．解决此类问题，先要认真理解题目给出的定义，把握定义的本质，在此基础上按定义处理问题．
3：
（06年四川）非空集合关于运算满足：
（1）对任意、，都有ab∈G；
（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①{非负整数}，为整数的加法．②{偶数}，为整数的乘法．
③{平面向量}，为平面向量的加法．④{二次三项式}，为多项式的加法．
⑤{虚数}，为复数的乘法．
其中关于运算为“融洽集”的是（写出所有“融洽集”的序号）
点拨与提示：
按定义逐个验证．注意e是该集合中的“单位元”．
4．已知集合是满足下列性质函数的全体：
若函数的定义域为D，对于任意的（），有。
（I）当D=时，是否属于，若属于，给予证明。
否则说明理由；
（II）当D=时，函数时，若，求实数a的取值范围。
（1）因为，所以时，，
即.当时，；
（2）由，
当时，，因为，
所以，即；
所以即为所求.
评析：
本题应用常规解法，解答较为繁琐；
若用导数的几何意义，则十分简单。
5．（2006年北京卷）在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：
任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
（Ⅰ）,（答案不惟一）
（Ⅱ）因为在绝对差数列中,.所以自第20项开始，该数列是,,
即自第20项开始。
每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当时，的极限
不存在.
当时,,所以
根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下
假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而
当时,;
当时,
即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令则
由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与（）
矛盾.从而必有零项.
若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值0，,,即
所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.
6．已知数列有，（常数），对任意的正整数，，并有满足。
（1）求的值；
（2）试确定数列是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有，且，则称为数列的“上渐近值”，令，求数列的“上渐近值”。
（1），即
（2）
∴是一个以为首项，为公差的等差数列。
（3），
∴
又∵，∴数列的“上渐近值”为。
情境创新题
这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．可以较好的考查学生的学习能力，阅读理解能力，数学思维能力等．由于突出体现了“考思维能力与创新意识”这一特色，所以，在近几年的高考中，备受命题者的青睐．
1：
（06陕西卷）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密）,接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为:
明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为（）
A．4,6,1,7B．7,6,1,4C．6,4,1,7D．1,6,4,7
本题的本质是一种对应，根据对应法则求出a,b,c,d的值．
当接收方收到密文14，9，23，28时，
则，解得，解密得到的明文为C．
2：
某娱乐中心有如下摸奖活动：
拿8个白球和8个黑球放在一盒中，规定：
凡摸奖者，每人每次交费1元，每次从盒中摸出5个球，中奖情况为：
摸出5个白球中20元，摸出4个白球1个黑球中2元，摸出3个白球2个黑球中价值为0．5元的纪念品１件，其他无任何奖励．
（1）分别计算中奖20元、2元的概率；
（2）若有1560人次摸奖，不计其他支出，用概率估计该中心收入多少钱？
本题是等可能事件的概率问题，用等可能事件的概率公式求解．
（1）由已知中奖20元的概率P1=；
中奖2元的概率P2=；
中奖0．5元的概率P3=．
（2）由
（1）知体彩中心收费为1560元,付出
1560×
×
20+1560×
2+1560×
0．5=1080，
收入=1560－1080=480元．
故知中奖20元、２元的概率分别为:
、;
估计该中心收入480元．
点评：
概率问题是高考命题的主干知识，涉及到的问题情景是常考常新的，多数是与生活实际和生产实际相关联的．
3（05年北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：
单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）
（A）（B）（C）（D）
根据图示找出之间的关系，再比较大小．
4：
这是一个计算机程序的操作说明：
（1）初始值为；
（2）（将当前的值赋予新的）；
（3）（将当前的值赋予新的）；
（4）（将当前的值赋予新的）；
（5）（将当前的值赋予新的）；
（6）如果，则执行语句（7），否则回语句
（2）继续进行；
（7）打印；
（8）程序终止．
由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________．
请写出计算过程：
点拨与提示：
我们不难看出，该问题是一个循环、迭代的过程．为了更好的理解题意，我们不妨按照这个程序操作几次：
n
X
y
z
判断
初始值
1
z<
7000,返回
（2）
一轮操作
3
2
5
二轮操作
4
25
三轮操作
7
8
81
……
就此操作下去，并不难得出答案，这也是本题的一种计算方法．
从另一个角度考虑，本题中我们比较难以理解的是这样的语句：
“；
……”，虽然题目中已经给出很好的解释，但是，按照我们通常的认识，应该用不同的符号来分别表达新值与旧值，如何从数学上较好的体现新值与旧值之间的不同，以及它们之间的联系呢？
事实上注意到在整个计算的过程中，一方面，n的值似乎只起到一个计算第几轮的作用，另一方面，随着n的变化，的值随之变化．从这一个角度，不难想到，数列是一种较好的表示方法．
5．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；
若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn．
（I）求P0，Pl，P2；
（II）求证:
，
（Ⅲ）求玩该游戏获胜的概率．
（I）依题意，得P0=1，P1=，．
（II）依题意，棋子跳到第n站（2≤n≤99）有两种可能：
第一种，棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为；
第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为，
∴
即
（III）由（II）可知数列{}（1≤n≤99）是首项为，公比为的等比数列，
于是有
=
因此，玩该游戏获胜的概率为．
6．如图，这是一个计算机装置示意图，A、B是数据入口处，C是计算结果出口，计算过程是由A、B分别输入正整数m、n，经计算得正整数k后由C输出，即f（m,n）=k此种计算装置完成的计算满足以下3个性质，
（1）若A、B分别输入1,则输出结果1；
即：
f（1,1）=1
（2）若A输入任何固定正整数不变，B输入正整数增大1,则输出结果比原来增大2；
f（m,n+1）=f（m,n）+2
（3）若B输入1,A输入正整数增大1,则输出结果为原来的2倍。
F（m+1,1）=2f（m,1）
试问：
Am
kC
Bn
①若A输入1,B输入正整数n，输出结果为多少？
②若B输入1,A输入正整数m，输出结果为多少？
③若A输入正整数m,B输入正整数n，输出结果为多少？
解
（1）由f（1,1）=1f（m,n+1）=f（m,n）+2得：
f（1,2）=f1,1）+2=3f（1,3）=f（1,2）+2=5--------
所以f（1,n）是首项为1公差为2的等差数列，则
f（1,n）=1+2（n-1）=2n-1
（2）由F（m+1,1）=2f（m,1）得f（2,1）=2f（1,1）=2f（3,1）=2f（2,1）=22-----------------
所以f（m,1）是首项为1公比为2的等比数列，则f（m,1）=2f（m-1,1）=2m-1
（3）因为f（m.2）=f（m,1）+2=2m-1+2f（m.3）=f（m,2）+2=2m-1+4
所以f（m,n）是首项为2m-1,公差为2的等差数列，则f（m,n）=2m-1+2（n-1）
学科间综合创新问题
一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（）
A．人可在7米内追上汽车B．人可在10米内追上汽车
C．人追不上汽车,其间距离最近为5米D．人追不上汽车,其间距离最近为7米
本题是一道加速行程问题,需要运用物理现象建立数学模型，即汽车行程+25=人的行程，建立二次函数关系式．
若经t秒人刚好追上汽车，则S+25=6t，由S=，得
考虑距离差
故当t=6时,d有最小值7,即人与汽车最少相距7米,故选D．
点评 本题属于跨学科综合题,要求将物理问题抽象成数学问题,利用数学工具,通过推理和计算解决物理问题，这类题型也是今后数学高考命题的趋势之一．
给出下列一系列化合物的分子式:
则该系列化合物中,分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近（）．
A．95% B．96% C．97% D．98%
C与H的下标分别成等差数列，求出通式，利用极限的知识求解．
某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成．已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：
画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）．
根据题意，四个二极管按串并联可组成五种不同的联结方式，计算每一种联结方式的可靠度．
二、开放型试题
1．如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢块，现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）
（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要的说明；
（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。
（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱。
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥。
乙
甲
（2）∵正四棱柱的底面边长为2a，高为a，∴其体积为V柱=，
又∵正四棱锥的底面边长为2a，高长=，
∴其体积为V锥=，
，即，
，即V柱>
V锥
故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。
2．集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：
对于任意的
（Ⅰ）试判断？
说明理由；
（Ⅱ）设写出一个满足以上条件的f（x）的解析式；
并证明你写出的函数
（I）解：
取x=1,y=4则
………………6分
（II）设函数满足其值域为（1，2）
且……………………………………………………9分
又任意取x>
0,y>
0且x≠y则
………………………13分
3．设F1,F2分别为椭圆的左右两个交点.
（1）若椭圆C上的点到F1,F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
（2）设点K是
（1）中所得椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程;
（3）已知椭圆具有性质:
M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为,时,那么与之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出类似的性质,并给以证明.
（1）椭圆C的方程为,焦点坐标.
（2）所求轨迹方程为.
（3）类似的性质为:
若M,N是双曲线上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为,时,那么与之积是与点P位置无关的定值..
证明:
设点M的坐标为,则点N的坐标为,其中.
又设点P的坐标为,
由得,
将代入得.
4．对任意函数可构造一个数列发生器：
输入数据，输出，若，则结束工作；
若，则输入，输出。
并依次规律继续下去，现定义（）.
（1）若要产生一个无穷常数列，试求的值；
（2）若是的一个近似值，，试判断和中那一个更接近于？
（3）请依据以上事实，设计一种求的近似值的方案，并说明理由.
讲解：
（1）由题意，要产生一个无穷常数列，只要令，解得，又，故，易见仅当时，可构造一个常数列；
（2）更接近于，下面证明之：
因为
所以比更接近于.
（3）取，依次令，则
这表明依次更接近于，而且.
本题的命题背景似有着高等数学的味道，是高考命题创新的方向.
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