初中数学各种公式完整版.docx

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初中数学各种公式完整版

数学各种公式及性质

1．乘法与因式分解

1（a＋b）（a－b）＝a2－b2；②（a±b）2＝a2±2＋b2；③（a＋b）（a2－＋b2）＝a3

＋b3；

④（a－b）（a2＋＋b2）＝a3－b3；a2＋b2＝（a＋b）2－2；（a－b）2＝（a＋b）2－4。

2．幂的运算性质

n

1×＝；②÷＝；③（）＝；④（）＝；⑤（ba）＝ban；

⑥＝1n，特别：

（）＝（）n；⑦a0＝1（a≠0）。

a

3．二次根式

1（）2＝a（a≥0）；②＝丨a丨；③＝×；④＝（a>0，b≥0）-。

4．三角不等式

≤±≤（定理）；

加强条件：

≤±≤也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b）

≤；≤；≤b<=>≤a≤b；

≥；≤a≤；

5．某些数列前n项之和

2

1+2+3+4+5+6+7+8+9⋯+

（1）/2；1+3+5+7+9+11+13+15⋯++（21）2；2+4+6+8+10+12+14+⋯+（2n）

（1）；12+22+32+42+52+62+72+82+⋯2

（1）（21）/6；

333333322

13+23+33+43+53+63+⋯n32

（1）2/4；1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+⋯

（1）

（1）

（2）/3；

6．一元二次方程对于方程：

2＋＋c＝0：

1求根公式是x＝bb4ac，其中△＝b2－4叫做根的判别式。

2a

当△>0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当△<0时，方程没有实数根．注意：

当△≥0时，方程有实数根。

②若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式2＋＋c可分解为a（x－x1）（x－x2）。

③以a和b为根的一元二次方程是x2－（a＋b）x＋＝0。

7．一次函数

一次函数y＝＋b（k≠0）的图象是一条直线（b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距）。

1当k>0时，y随x的增大而增大（直线从左向右上升）；

2当k<0时，y随x的增大而减小（直线从左向右下降）；

3特别地：

当b＝0时，y＝（k≠0）又叫做正比例函数（y与x成正比例），图象必过原点。

8．反比例函数反比例函数y＝（k≠0）的图象叫做双曲线。

①当k>0时，双曲线在一、三象限（在每一象限内，从左向右降）；②当k<0时，双曲线在二、四象限（在每一象限内，从左向右上升）。

9．二次函数

（1）.定义：

一般地，如果yax2bxc（a,b,c是常数，a0），那么y叫做x的二次函数。

（2）.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点。

①a的符号决定抛物线的开口方向：

当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同。

2

平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x03）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

2yax

x0（y轴）

（0,0）

yax2k

当a0时

x0（y轴）

（0,k）

yaxh2

开口向上

xh

（h,0）

2

yaxh2k

当a0时

xh

（h,k）

yax2bxc

开口向下

b

x

2a

（b，4acb2）

（，）2a4a

4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法

①公式法：

yax2bxcaxb4acb，∴顶点是（b，4acb），对

2a4a2a4a

称轴是直线

b

x

2a

得到顶点为（h,k），对称轴是直线xh。

3运用抛物线的对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点（x1,y）、（x2,y）（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：

xx1x2

2

2

（5）.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

①a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样。

2b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线。

xb，故：

①b0时，对称轴为y轴；②b0（即a、b同号）时，2aa

对称轴在y轴左侧；③b0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。

a

③c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b0。

a

（6）.用待定系数法求二次函数的解析式

①一般式：

yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

2顶点式：

yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

③交点式：

已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

yaxx1xx2。

（7）.直线与抛物线的交点

①y轴与抛物线yax2bxc得交点为（0,c）。

2抛物线与x轴的交点。

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

a有两个交点（0）抛物线与x轴相交；

b有一个交点（顶点在x轴上）（0）抛物线与x轴相切；

c没有交点（0）抛物线与x轴相离。

3平行于x轴的直线与抛物线的交点

同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根。

④一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组ykx2n的解的数目来确定：

yaxbxc

a方程组有两组不同的解时l与G有两个交点；

b方程组只有一组解时l与G只有一个交点；

c方程组无解时l与G没有交点。

⑤抛物线与x轴两交点之间的距离：

若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，则ABx1x2

10．统计初步

（1）概念：

①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．

（2）公式：

设有n个数x1，x2，⋯，，那么：

①平均数为：

x=x1+x2++xn；

n

②极差：

用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化

③方差：

数据

范围，用这种方法得到的差称为极差，即：

极差=最大值-最小值；

x1、x2⋯⋯,xn的方差为s2，

则s2=1n犏轾臌（x1-x）+（x2-x）++（xn-x）

4

标准差：

方差的算术平方根。

一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

11．频率与概率

1）频率

频率=频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频

总数

率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。

（2）概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；

P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。

3大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

12．锐角三角形

①设∠A是△的任一锐角，则∠A的正弦：

＝，∠A的余弦：

＝

∠A的正切：

＝．并且A＋A＝1。

0＜＜1，0＜＜1，＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而

越小。

②余角公式：

（90o－A）＝，（90o－A）＝。

3特殊角的三角函数值：

30o＝60o＝，45o＝45o＝，60o＝30o＝，

30o＝，45o＝1，60o＝。

4斜坡的坡度：

i＝水平宽度＝．设坡角为α，则i＝

13．正（余）弦定理

（1）正弦定理2R；注：

其中R表示三角形的外接圆半径。

正弦定理的变形公式：

（1）2,2,2；

（2）:

:

=a:

b:

c

2）余弦定理b222-2；a222-2；c222-2；

注：

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

14．三角函数公式

（1）两角和公式

（）（）（）（）

（）=（）/

（1）（）=（）/

（1）

（）=

（1）/（）（）=

（1）/（）

2）

倍角公式

22（12A）2（21）/2

222221=1-22a

3）

半角公式

（2）=√（

（1）/2）

（2）

√（

（1）/2）

（2）=√（

（1）/2）

（2）

√（

（1）/2）

（2）=√（

（1）/（

（1））

（2）

√（

（1）/（

（1））

（2）=√（

（1）/（

（1））

（2）

√（

（1）/（

（1））

4）

和差化积

2（（）/2）（（）/22（（）/2）（（）/2）

（）（）

（）（）

5）

积化和差

2（）（）2（）（）

2（）（）-2（）（）

15．平面直角坐标系中的有关知识

（1）对称性：

若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）。

（2）坐标平移：

若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h

7/11

个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：

点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）。

16．多边形内角和公式

多边形内角和公式：

n边形的内角和等于（n－2）180o（n≥3，n是正整数），

外角和等于360o

17．平行线段成比例定理

C和D、

成比例。

如图：

a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、

E、F，

则有ABDE,ABDE,BCEF

BCEFACDFACDF

19．圆的有关性质

1）垂径定理：

如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：

①经

8/11

过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：

具备①，③时，弦不能是直径。

（2）两条平行弦所夹的弧相等。

（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半。

（6）同弧或等弧所对的圆周角相等。

（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

（8）90o的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90o，直径是最长的弦。

、

（9）圆内接四边形的对角互补。

20．三角形的内心与外心

（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点。

（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．

常见结论：

①△的三条边分别为：

a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径rabc；

2

S1lr

②△的周长为l，面积为S，其内切圆的半径为r，则2

21．弦切角定理及其推论

（1）弦切角：

顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做

弦切角。

如图：

∠为弦切角。

如果是⊙O的弦，是⊙O的切线，A为切点，则PACABC

22．相交弦定理、割线定理和切割线定理

如图①，即：

两条线段长的积相等。

如图②，即：

圆交点的两条线段长的比例中项。

如图③，即：

2=·

积），

⑩S圆锥侧＝×底面周长×母线＝

S全面积＝S侧＋S底＝

π＋πr

①

O

D

A

②

D

P

O