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数学建模论文
煤炭企业生产调度与销售方案设计
摘要
本文介绍了某煤炭企业加工销售产品的过程，并对其相关的一些数据进行了研究，进而对该企业的加工销售的过程给予了一些有效的建议。
第1小题是个数学规划的问题，根据题中给予的条件与数据，再运用Lingo软件计算出该企业在得到符合客户需求的产品时所获得的最大的利润，在获得最大的利润时，有一个生产的销售过程，也就是先加工生产A和B两种原料，再加工C原料，得到所需要这三种原料的数量之比为12600:
800：
21600，并且A和B产品储存在同一个筒仓，C产品储存在另一个筒仓。
对于第二个题目，我们通过探讨筒仓在装卸料时所产生的仓壁动态压力，继而来表征筒仓在同时入放料情况下仓内产品的分布与堆积情况，研究这种情况，实则是寻找出仓内产品在动态平衡的条件下凹凸程度与筒仓的一些硬件设施的关系。
进而确定其分布于堆积的情况。
而第三题则是根据前两题的结果计算得到A和B产品所在仓内的凹面角，并算出出料口的流速为30吨/小时，要想使得A、B、C三种产品能全部混配，需要打开A、B产品所在的筒仓3个出料口，而C产品所在的筒仓则要打开4个出料口。
至于第4题，根据前三题的得到的数据或者数学模型来给予该企业一些有效的建议，进而获得更多的利润。
关键词动态压力动态平衡数学规划Lingo软件凹凸程度
一、问题重述
某煤炭企业近几年来一直在生产一种利润很高的产品，其质量要求为：
灰分10.01%-10.50%，挥发分<35%，硫分<0.8%。
该产品的生产销售过程如图1所示。
该图流程说明如下：
（A）制造这种产品所需要的原料有很多种。
该企业目前主要有如表1所示的A、B、C三种原料
，其生产出来的产品数量用产率表示，如原料A的产率为80%表示每100吨原料A可以生产80吨产品。
（B）在加工生产过程中一次只能对一种原料进行生产加工，该企业的原料加工生产能力为800吨/小时，每次连续生产时间在1~16个小时，每次停车时间不少于2小时，加工成本为10元/吨。
（C）加工生产出来的产品存储到甲、乙两个筒仓中，可以根据用户的需要进行混装，使之达到用户的质量要求，其中甲仓的存储能力为11000吨，乙仓的存储能力为13000吨。
（注：
这里的存储能力表示筒仓在生产过程中允许存储的最大量，一般小于筒仓的容积）
（D）显然A、B、C这三种原料生产的产品质量指标都不能满足用户的要求，因此需要将其中两种或两种以上的产品进行仓下混配，通常是由甲、乙两个筒仓同时放料完成配煤，使之达到用户的质量要求。
（E）产品采用铁路外运，每列火车大约2000-3000吨，装车时间2-3个小时。
现企业高层不打算扩大现有的生产规模，并规定了两个原则：
原则一、确保产品质量符合用户要求；
原则二、为维护原料商长期合作积极性，规定A原料每年采购不少于40万吨，B原料每年采购不少于20万吨，C原料每年采购不少于60万吨。
利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：
（1）如何安排生产销售使企业的利润最大。
（2）筒仓的入料口在筒仓顶部，放料口在筒仓底部，放料口下方为皮带运输机。
在实际生产过程中，通常会有两种以上的产品先后装到同一个筒仓中，试对只有一个入料口和一个放料口的理想筒仓建立数学模型，表征该筒仓在同时入放料情况下仓内产品的分布与堆积情况。
（3）根据企业生产的实际情况，筒仓入料口为两条800mm×8000mm的入料刮板，通过刮板将产品刮入筒仓（入料口可以只运行一个刮板，也可以两个刮板同时运行）；放料口为六个984mm×1440mm的方孔，形成两排，每排三个放料口，放料口下方为配煤皮带运输机（放料口通常部分运行，比如只运行一排中的1-2个，或同时运行两排每排1-2个）。
筒仓的规格如附件1所示。
试针对这种类型的筒仓建立适当的数学模型，对产品入放料过程中仓内产品的分布与堆积情况进行实时模拟，进而实现准确有效的产品入仓和混配装车。
（4）以企业生产调度者为报告对象，写一份生产调度销售方案建议书。
二、问题分析
工厂生产计划的问题，是在全面考虑了原料的产率，成品中各个物质的含量以及为维护原料商长期合作积极性，各种原料每年的最小采购量。
各阶段储蓄设备的储蓄量，该企业的原料加工生产能力，以及这些原料的成本费和加工费用，目的是为了使该工厂获得最大的利润。
所以该问题是一个数学规划模型。
用数学规划的解决这种问题是最有效的方法。
首先，由表一我们知道了原料A的灰分，挥发分以及硫分含量分别为6.32%、34%、0.4%。
原料B的灰分，挥发分以及硫分含量分别为8.16%、26%、1.9%原料C的灰分，挥发分以及硫分含量分别是13.54%，0.9%，36%。
而所需的成品其质量要各物质的含量为：
灰分10.01%-10.50%，挥发分<35%，硫分<0.8%。
所以为了使成本减少，我们应该合理安排原料的采购量使其在满足产品质量要求的前提下无某原料过多的剩余。
并且还应该各种考虑原料价格及其产率，在这其中找出一个最优解使其在满足产品质量要求的前提利用便宜且产率较高的原料。
在满足了成本底，市场的销量及价格一定下，这样则可以获得最大的利润。
三、基本假设
1、假设企业生产产品的销售量及销售价格不变；
2、假设原料市场变动对原料的采购和供应没有影响；
3、假设人员的轮休对生产能力没有影响；
4、假设机器的检修对生产力以及生产效率没有影响；
5、假设煤料任意截面上的垂直压力是均匀分布的；
6、假设任意截面上的水平压力与垂直压力之比为一固定常熟（侧压力系数）K；
7、假设煤炭是理想的散体颗粒，不考虑其黏度；
8、假设煤料是不可压缩的；
9、煤体颗粒相差不大，形状为球体，密度相对比较均匀；
四、符号说明
S：
产品的总利润；q：
垂直压力；
P：
产品的单位售价；p：
水平压力（侧压力）；
c：
原料C的量；
：
煤炭散料内部之间的摩擦系数；
M：
产品的总量；g：
重力加速度；
：
侧压力系数；
：
筒仓的容积；
：
筒仓壁的半径；
：
放料口的半径；
：
入料口的半径；
：
内摩擦角；
：
筒高；
：
煤料上表面堆积倾角；
：
每个出料口的出料流速
：
产品C的出料流速
：
产品A、B的出料流速
五、模型建立与求解
5.1问题1
5.1.1问题的分析
很明显，此问题是个数学规划模型。
通过题中所给的一些限制条件，来确定出最优解，即该企业获得的最大的利润。
混配三种产品中的至少其中的两种，目的是为了满足客户的要求，目的是获利最多。
而从题目给出的数据来看，每种原料加工出来的产品都不符合客户的要求，
所以还能将它们进行混装，因而能够卖出并获取利润。
5.1.2模型的建立与求解
设生产质量为M吨的混合煤炭产品，需要A、B、C三种原料分别为a、b、c吨，每吨产品的售价为P元，所获得的利润为S元，由以上的分析可建立如下有关利润的数学模型：
现以生产
吨的产品为基准，来讨论混合煤炭产品当中A、B、C三种产品的比例关系。
所以A、B、C三种原料有如下的约束条件（见表1）：
表1某煤炭企业原料及产品规格表
原料
原料价格
（元/吨）
产品质量指标
产率（%）
灰分（%）
挥发分（%）
硫分（%）
A
500
6.32
34
0.4
80
B
700
8.16
26
1.9
60
C
300
13.54
36
0.9
70
现在我们取P=1500元，M=3500吨，通过Lingo软件计算得到（计算过程
见附件2）：
（1）a,b,c都大于或等于0时，算出：
S=3374489.0元，a=1781.62吨，
b=108.24吨，c=2871.10吨；
（2）当a=0时，即仅B、C两种产品混合，计算出：
S=2235564元，b=3296.16
吨，c=2174.72吨；
（3）当b=0或c=0，即A、C两种产品或者A、B两种产品混合时，均得不
到最优化的解。
以上的几种情况下的结果相互比较可知，只有第
（1）种情况的混合是最佳
的，即只有在A、B、C三种原料加工生产后的产品混合时才会有最大的利润，此
时所需要A、B、C三种原料的比例在：
A：
B：
C=1781.62：
108.24：
2871.10左右。
但是，因为机器加工生产时，每次连续生产时间在1~16小时，即机器每次
连续加工生产至少为1个小时，而混合产品当中需要B原料加工生产的产品所占
的比例最小，而且远远小于另外两种原料。
考虑到实际加工生产当中遇到的一些
问题，现在我们就加工B原料800吨，则此时需要加工A原料13167吨，所需要的加工时间为16.46小时；需要加工生产C原料为21220吨，所需要加工26.53小时。
然而，在实际加工生产中，连续生产的时间尽量取整数，才更便于控制加工生产产品，考虑到甲、乙两个筒仓的储存能力，现在想要得到符合客户要求的产品，那么在一个回合中，我们就加工生产A原料13600吨，所需要加工的时间为17小时；加工生产B原料800吨，所需要的加工时间为1小时；加工生产C原料21600吨，所需要加工的时间为27小时。
而机器加工生产最多能连续16小时，所以在加工生产A、C两种原料时，都分成两个次来加工生产。
在加工生产如上那么多的原料时，可得到A、B、C产品分别为：
A——13600
80%=10880吨，B——800
60%=480吨，C——21600
70%=15120吨。
由于甲、乙两个筒仓的储存能力有限，甲仓的储存能力为11000吨，乙仓的储存能力为13000吨。
而且混装时也需要将三种原料混装才符合顾客的要求。
所以在储存这三种产品时，需要有两种产品储存在同一个筒仓里，根据此时这三种产品的数量不难得到：
A、B两种原料加工生产的产品都储存在乙仓里，C原料加工生产的产品储存在甲仓里。
但是，由于在加工生产过程中一次只能对一种原料进行生产加工，且甲仓不足以一次性储存乙产品。
所以，首先加工生产A、B两种原料，最后在生产加工C原料，并且在甲仓在储存一定的C产品同时开始对这三种产品进行混装（此时C原料仍然在加工生产）。
在A、B两种产品流完时，要保证C产品够与A、B两种产品进行混装，以符合顾客的要求。
在以这种方案进行生产加工时得到的混装产品的数量为：
10880+480+15120=26480吨，加上每次停车的最少时间，在一个回合中共至少需要55小时。
而每列火车大约装2000～3000吨，装车时间2～3小时。
所以使该企业获得最大利润的生产销售的最佳方案为：
每个回合中，首先加工生产A或者B原料，并储存在乙仓里，最后再加工生产C原料，并储存在甲仓里，在甲仓储存一定的C产品时开始同时打开两个筒仓进行产品混装。
在混装一定的产品后，开始用火车装运这些混装的产品，分九次装运，其中有8次每列火车装运混装产品3000吨，另外一次列车装运2480吨。
5.2问题2
5.2．1问题的分析
散体概念的引入：
散体的颗粒处于弹性或塑性状态，并且具有一定的强度。
散体运动状态的变化由其变形（体积和形状的改变）所表现出来，是不可恢复的。
它与塑性变形的不同之处在于它有可能在体积不变的情况下发生；颗粒变形是指颗粒自身的可恢复和不可恢复性。
散体颗粒虽然向各个方向传递压强，但不相等。
散体之间的接触应力大大超过以连续体计算的平均压力，即使平均应力不大，而接触点的应力已达到使变形带有弹塑性变形的性质。
又因为颗粒之间的接触面会随着作用力的增大而增大，因此使得作用在散体上的力与变形位移之间呈现出非线性关系。
由于加工后的产品是比较均匀的，在筒仓中可以当做均匀颗粒来处理，即可以利用散体的理论来对产品在筒仓中的特性来分析筒仓的受力情况，从而根据受力情况得到装货时煤产品在筒仓中的运动规律，算出其在筒仓中的分布与堆积情况。
5.2.2模型的建立与求解
表示一个典型的圆筒仓的外形，上部由竖直的筒壁所围成的圆柱形称为筒体，下部由圆锥体构成的卸料装置称为漏斗。
筒仓的动态压力是指筒体部分由卸料时引起的侧压力。
当打开卸料口，散料在重力作用下向下位移。
为建立散料对仓壁的动态压力的平衡条件，由图1中取dy微段来研究，该微段作用有重力，上下表面的垂直压力，微段四周作用有水平压力和摩擦力。
储料微分受力图
由，得
，得
（1）
上式化简得
（2）
式中
为垂直压力；
为水平压力（侧压力）;
为散料与仓壁之间的摩擦系数；
为散料密度；
为重力加速度。
垂直压力
与水平压力
之间的关系由下式确定：
（3）
为侧压力系数，在散料流动时，其侧压力系数随着仓体深度而变化。
将（3）式带入
（2）式后，得
（4）
（4）式即为散料在流动是所建立的仓壁动态压力的微分方程式，该方程为一阶线性非齐次微分方程式。
解的形式可写成
（5）
将（5）式求导得
（6）
将（5）、（6）二式代入（4）得
（7）
（7）式代入（5）式，得一阶非齐次微分方程式（4）的通解为
（8）
式中待定常数
由筒仓的边界条件确定。
筒仓在卸料时散料式平稳均匀地卸出，卸料时的动能可以忽略不计。
卸料时之所以仓壁侧压力增大，式由于散料中应力状态的置换，散料中水平压力增大，垂直压力则减小，而总的能量不变。
散料在仓体内流动时，由于散料所处的变形状态不同，对应的应力状态也就不同。
上部散料处于背离垂直轴向外变形状态，根据詹尼克等理论基础，当散料背向垂直轴向外变形时，处于主动应力状态（最小应力状态），此时侧压力系数按文献取值为：
。
而简体下部的散料在卸料过程中受到漏斗内散料向内变形的牵制，也必然会产生程度不同的向内水平变形。
由于漏斗的斗壁式以某一角度倾斜的，故而散料产生式想着垂直轴向内变形状态，根据文献，散料卸料区呈现横向压缩的被动应力场，处于被动应力状态（最大应力状态），此时侧压力系数系数相应地取为
。
筒仓在卸料过程中，仓体内的散料由主动应力场向被动应力场过渡，其相应的动态侧压力系数自上而下由主动侧压力系数转向被动侧压力系数。
由任伯特试验可知，动态侧压力系数是按某种曲线规律变化，假定动态侧压力系数以二次曲线变化，即：
（9）
式中a,b为两个特定常数，由筒仓的边界条件确定。
y=0,k（y）=K,代入（9）式b=ka;y=H,k（y）=Kb代入（9）式得
。
把a,b值代回（9）式后得
（10）
散料在流动过程中，动态侧压力系数的数值由（10）式确定。
将（10）式代入（8）式得
（11）
式中
（12）
筒仓边界条件：
y0,q=0代入（11）式，得待定常数C2=0
为了求解（11）式，将积分用泰勒级数展开:
因
则
（13）
将（13）式代入（11）式并考虑（3）式后得
（14）
（14）式为筒仓仓壁的动态压力近似计算公式，利用（14）式可以计算出散料在仓体内整体流动时，筒仓在不同深度各点处的动态压力数值。
在探讨筒仓同时入放料情况下仓内产品的分布与堆积情况的时候，我们先进行局部的分布与堆积情况，即只放料不入料的情况下。
由于储料流动时会产生不同的流态，而且不容易掌控，所以我们只讨论整体流动的情况。
储料在流动一段时间后会达到一个动态平衡，此时我们可以有在平衡时有个下凹的程度，此时就求出这个角度，在达到一个动态平衡后，我们通过研究一个颗粒的达到平衡时的状态来算出下凹的角度。
如图所示，由于储料整体已经达到一个平衡，所以每个颗粒也是平衡的，固有：
在计算的过程中，为便于计算，令流体下凹的角度
与出料的内摩擦角
相等，此时将（14）（15）两式联立解得：
在表征筒仓内产品的分布与堆积情况时，我们假定同时入放时仓内已经有两种产品，而入仓的为不同于仓内的第三种产品，由于入料口大于出料口，所以产品的进入速度大于放出的速度。
显而易见，在同时入放料的情况下，在达到动态平衡后，第一种产品与第二种产品之间的接触面、第二种与第三种产品的接触面均是下凹的，而第三种产品是上凸的，并且第一、二种之间的接触
面的下凹程度大于第二三种产品的下凹程度，下凹的程度与接触面
的高度有关，草图如右图所示：
5.3问题3
5.3.1问题的分析
根据企业生产的实际情况，在考虑问题时，不能再像问题二想得那样理想。
不过在解决这些实际中的问题时，问题二中的解决方法与思想可以很好的借鉴。
在问题二中我们已经求得了筒仓里的一些相关量，我们可以问题二中的数学模型借鉴过来，从而可以表征在题中已给定的筒仓建立适当的模型，以对该条件下产品入放料过程中仓内产品的分布与堆积与堆积情况。
由于产品在仓内的分布与堆积情况（即凹凸面的角度）不仅仅与其所在的高度有关，还与出料得流速有关。
在计算的过程中，体重所给的筒仓的规格的出料口都是矩形的，在计算的过程中，为便于计算出有效的结果，我们可把出料口转换成圆形来计算。
为了实现准确而有效的产品入仓和混配装车，也要计算好入料口的产品流入的速度。
5.3.2模型的建立与求解
在问题二中我们已经知道了仓内产品在流动时分布与堆积情况的一般情况，此时我们要根据体重所给定的具体数据以及查到的相关数据来计算出具体的凹凸的角度。
由问题一的结论可知，产品A与产品B都储存在同一个筒仓里，并且A产品的量远大于B产品的量，所以为了易于讨论仓内产品在流动时的分布与堆积情况，我们不妨先储存A产品，而后再入放B产品。
根据实际生产中筒仓的规格得到它实际中的容积
在查阅相关的资料有以下的有效的数据：
表二
煤体的直径
煤体颗粒间
的摩擦系数
煤体颗粒与筒
壁间的摩擦系数
煤的视密度
煤的散密度
30-90
0.5
0.42
1.05-1.70
0.50-0.75
为此该筒仓的实际储存能力为8025-12430.5吨，正好够储存A产品和B产品。
由于在对产品进行装配时，A产品与B产品已经储存结束，故现在只需要研究产品A与产品B所在的筒仓内只出料时仓内产品的分布与堆积的情况即可。
由于产品只出不入，所以产品的堆积情况只会出现下凹的情况。
由于产品在仓内的堆积情况还与产品出仓的流速有关，现在还要计算出产品的流出速度。
查阅资料得到，当产品流动并达到动态平衡时，散料出仓的流速符合经验公式：
即：
在实际生产加工中，筒仓的实际出料口形状是
的矩形，为了便于计算，将它转变为以
为半径的圆形出料口。
此时，当仓内的产品整体流动并达到动态平衡时，每个出料口的流速为：
此时根据材料已给的以及从资料上查找出的数据还有问题二中建立的数学模型，通过Matlab软件计算得到，B产品的下凹面的角度为：
，产品B与产品A接触面的下凹的角度为
至于产品A所在的筒仓，由于在产品出仓时，仓内已储存一定量的产品。
而当该筒仓在同时入放料得情况下，又因为因为该筒仓入料口远大于出料口，故而入料的流速大于出料的流速，从而仓内产品的堆积情况是产品A的上表面是上凸的。
同样，根据所给的条件再通过Matlab软件计算出产品A在仓内当产品整体流动达到动态平衡时的上凸的角度为
。
在问题一中已经提到过，根据实际的情况，要想加工生产出符合客户要求的产品并且想要获得最大的利润，需要将产品A、产品B和产品C三种产品按照一定的比例进行混装方可，即此时分别需要产品A、B、C：
10880吨、480吨、15120吨，而由于产品A和B放在同一个筒仓里，并且它们量的和低于C产品，要想同时开始混装且同时混装完，显而易见，C产品所在的筒仓的出料流速要高于产品A、B所在的筒仓的出料流速，并且它们的流速之比为：
（
）
用Matlab软件计算得到：
。
所以要想准确有效的对这三种产品进行混配装车，需要在产品C所在的筒仓打开4个出料口，在产品A、B所在的筒仓打开3个出料口。
5.4问题四
通过以上三个问题的分析得到的结果，不难看出，该煤炭企业目前的生产销售模式有很大的缺陷。
在产品的生产销售的过程中，由于机器一次只能对一种原料进行加工，而且每次更换所加工的原料，至少要停车2个小时，还有每次连续生产1-16个小时，再加上筒仓规格的限制。
导致了从开始加工生产到产品混配装车，这个过程至少要花费55个小时，而这段时间却只加工生产了26480吨的产品。
而火车只需要花不到27个小时的时间就能运完这些产品，可见这个生产模式的效益不高。
其次，按照这种模式加工生产的话。
会增多生产加工的设备的停车的次数，停车的次数多，说明了开车的次数多，每次开车都会损失很多的能量，而且每一次的开车或者停车都会使加工设备受到磨损。
这样的话，就大大的增加了原料生产加工的成本。
还有一点，为了维护原料商长期合作的积极性，规定了A原料每年采购不少于40万吨，B原料每年采购不少于20万吨，C原料每年采购不少于60万吨。
可是如果按照这样的生产销售的模式来的话，从开始加工生产到产品混配装车，一年顶多完成这样的生产模式
次，这样的话，每一年加工A原料有
万吨，加工B原料有
万吨，加工C原料有
万吨。
很明显，每年都会有7万多吨的B原料积压，原料的成本本来就很高的，这样话，常年累月的，不利于该企业的发展。
所以作为企业的生产调度者，在分析了以上的几个问题之后，有如下的几个建议：
（1）购置更先进的加工生产的设备，使其每次连续加工的时间更长，停机的时间更短；
（2）加工生产A、B、C这三种原料，应该购置两台
（1）中所提到的那种设备，其中一台加工生产A和B两种原料，另一台设备加工生产C原料。
这样的话，就大大减少了从加工到混配装车的时间周期，至少缩短一半的时间，而且还减少了停车的次数，减少设备的磨损。
而且以这样的效率，每年生产加工B原料肯定会超过20万吨的。
（3）再增加一个同样的筒仓，将A和B两种产品分开储存，这样的话在将A、B、C三种产品混配的同时，就可以装车了。
如此，也大大的缩短了列车等候床车的时间。
六、模型评价
6.1优点
（1）、整体散粒连续介质的模型可以把应力等同于内力强度；
（2）、整体散粒连续介质的模型可以使用微分平衡方程，依据关于连续连续性的假设，每种散粒体都可以通过一个统一的计算模型进行计算，而且模型的性质可以通过实验确定的有限的有关常数来表示。
（3）、可以推广到很多领域的有关筒仓的计算当中去（比如：
粮食的装卸等）；
6.2缺点
实际中，煤料不会是本文中所处理的那样理想，有一定的误差，只能是作近似的计算，所得的结果只能说明个大概情况。
因为知识的限制以及硬件设施的不足，我们不能做筒仓在同时入放料情况下仓内产品的分布与堆积情况的探究的实验，这样，很多数据我们得不到。
只能查找相关的论文，借鉴别人的出来的数据。
不过这样做，误差会比较大，以至于得出的结果与实际情况出入比较大，说服力不是很强。
七、误差分析
因为种种条件的限制，导致出现了误差筒仓体积的近似计算，出料口的近似计算，都会出现避免不了的误差。
在研究问题时，还有一些因素没有考虑到。
尤其在计算煤体颗粒的质量的时候，并不是所有的颗粒是同等大小
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