《三角形格点与面积》专题.docx

《三角形格点与面积》专题.docx

《《三角形格点与面积》专题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三角形格点与面积》专题.docx（45页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

《三角形格点与面积》专题

1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．

（1）画出△A'B'C'；

（2）在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；

（3）试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．

2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．

（1）请画出平移后的△A′B′C′；

（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是　　．

（3）作直线MN，将△ABC分成两个面积相等的三角形．

3．如图：

在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．

（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．

（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．

（3）△ABC的面积为　　．

（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是　　．

4．正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点A移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）画出平移后的△DEF；

（2）在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积；

（3）利用网格画△ABC的高BH；

（4）连接AD、CF，AD与CF的关系是　　．

5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）

（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；

（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是　　．数量关系是　　

（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为　　

A．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝180°

B．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝360°

C．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°

D．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝360°

6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．

（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；

（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；

（3）若点P在格点上，且S△PBC＝S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有　　个．

7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．

（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；

（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；

（3）图中△ABC的面积是　　．

8．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：

（1）补全△A′B′C′；

（2）作出△ABC的中线CD；

（3）画出BC边上的高线AF；

（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有　　个．

（注：

格点指网格线的交点）

9．画图（只能借助于网格）并填空：

如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．

（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）△A′B′C′的面积为　　；

（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；

（4）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有　　个（点P异于A）．

10．画图并填空：

如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．

（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；

（2）画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE；

（3）线段AA′与线段BB′的关系是：

　　；

（4）求四边形ACBB′的面积．

11．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：

（1）画出△A′B′C′；

（2）画出△ABC的高BD；

（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是　　，线段AC扫过的图形的面积为　　．

12．画图并填空：

如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：

（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；

（2）画出AB边上的中线CD；

（3）画出BC边上的高线AE；

（4）△A′B′C′的面积为　　．

（5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中这样的格点F共有　　个．

13．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．

（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是　　；

（3）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为　　．

14．利用直尺画图

（1）利用图

（1）中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．

（2）把图

（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．

（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图

（2）中组成的三角形的面积等于　　．

15．如图：

在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．

（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．

（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．

（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．

16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．

（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积＝　　；

（2）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP；

（3）请在图中画出过点C且平行于AB的直线CM．

17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）请画出平移后的△DEF；

（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是　　；

（3）在图中找出所有满足S△ABC＝S△QBC的格点Q（异于点A），并用Q1、Q2表示．

18．画图并填空：

如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．

（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；

（3）△A′B′C′的面积为　　．

（4）在平移过程中线段BC所扫过的面积为　　．

（5）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有　　个（点P异于A）．

19．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝　　；

（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；

（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有　　个．

20．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：

（1）补全△A′B′C；

（2）画出AB边上的中线CD；

（3）画出AC边上的高线BE；

（4）平移过程中，线段AB扫过的面积为　　．

21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．

（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积；

（2）在图中找出格点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等．

22．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．

（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′

（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是　　

（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为　　

（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有　　个

（注：

格点指网格线的交点）

23．如图所示，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形（顶点是网格的交点），若点A坐标为（﹣1，3），按要求回答下列问题：

（1）建立符合条件的平面直角坐标系，并写出点B和点C的坐标；

（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△DEF，请在图中画出△DEF，并求出线段AC在平移过程中扫过的面积．

24．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：

（1）补全△A′B′C′

（2）画出AB边上的中线CD；

（3）画出BC边上的高线AE；

（4）△A′B′C′的面积为　　．

25．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个长度单位．

（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是　　；

（3）作直线l，将△ABC分成两个面积相等的三角形．

参考答案与试题解析

一．解答题（共25小题）

1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．

（1）画出△A'B'C'；

（2）在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；

（3）试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．

【分析】

（1）根据平移的性质画出图形即可；

（2）根据三角形中线的性质解答即可；

（3）根据面积公式解答即可．

【解答】解：

（1）如图所示：

△A'B'C'即为所求；

（2）如图所示：

点P即为所求；

（3）如图所示：

点Q即为所求．

【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．

2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．

（1）请画出平移后的△A′B′C′；

（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是　相等且平行　．

（3）作直线MN，将△ABC分成两个面积相等的三角形．

【分析】

（1）作出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；

（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行；

（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．

【解答】解：

（1）平移后的△A′B′C′如图所示．

（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行，

故答案为相等且平行．

（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．

【点评】本题考查平移变换、平移变换的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

3．如图：

在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．

（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．

（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．

（3）△ABC的面积为　3　．

（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是　AA′＝CC′且AA′∥CC′　．

【分析】

（1）根据三角形的中线和高的定义作图即可得；

（2）根据平移变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；

（3）直接利用三角形的面积公式计算可得；

（4）根据平移变换的性质可得答案．

【解答】解：

（1）如图所示，AH和AD即为所求；

（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；

（3）△ABC的面积为

×3×2＝3，

故答案为：

3；

（4）由平移的性质知AA′＝CC′且AA′∥CC′，

故答案为：

AA′＝CC′且AA′∥CC′．

【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．

4．正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点A移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）画出平移后的△DEF；

（2）在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积；

（3）利用网格画△ABC的高BH；

（4）连接AD、CF，AD与CF的关系是　AD＝CF，AD∥CF　．

【分析】

（1）作出B，C的对应点E，F即可解决问题．

（2）取AB中点P，连接CP即可．

（3）取格点T作射线BT交AC于H，线段BH即为所求．

（4）根据平移的性质即可解决问题．

【解答】解：

（1）△DEF如图所示．

（2）线段CP即为所求．

（3）取格点T作射线BT交AC于H，线段BH即为所求．

（4）AD＝CF，AD∥CF．

故答案为：

AD＝CF，AD∥CF．

【点评】本题考查平移变换，三角形的中线，高等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）

（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；

（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是　BB′∥CC′　．数量关系是　BB′＝CC′　

（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为　C　

A．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝180°

B．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝360°

C．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°

D．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝360°

【分析】

（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；

（2）根据平移的性质求解；

（3）根据平行线的性质和三角形外角性质解答．

【解答】解：

（1）如图所示：

△A'B'C'即为所求：

（2）根据平移的性质可得：

BB′∥CC′，BB′＝CC′；

故答案为：

BB′∥CC′；BB′＝CC′；

（3）由图可知：

∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°

故答案为：

C

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：

确定平移后图形的基本要素有两个：

平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．

（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；

（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；

（3）若点P在格点上，且S△PBC＝S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有　4　个．

【分析】

（1）作出A，B的对应点，E，F即可．

（2）根据高的定义画出图形即可．

（3）利用等高模型解决问题即可．

【解答】解：

（1）△DEF如图所示．

（2）线段CH如图所示．

（3）如图所示满足条件的点P有4个．

故答案为4

【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．

（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；

（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；

（3）图中△ABC的面积是　8　．

【分析】

（1）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；

（2）根据中线的概念作图可得；

（3）利用割补法求解可得．

【解答】解：

（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）如图所示，CM即为所求；

（3）△ABC的面积是

×5×7﹣

×2×6﹣

×（2+5）×1＝8，

故答案为：

8．

【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

8．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：

（1）补全△A′B′C′；

（2）作出△ABC的中线CD；

（3）画出BC边上的高线AF；

（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有　6　个．

（注：

格点指网格线的交点）

【分析】

（1）由点B及其对应点B′的位置得出平移方向和距离，据此将点A、C按照相同方式平移得到对应点，再顺次连接即可得；

（2）根据中线的概念作图可得；

（3）根据高线的概念求解可得；

（4）根据共底等高及平行线间的距离处处相等作图可得．

【解答】解：

（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．

（2）如图所示，CD即为所求；

（3）如图所示，AF即为所求；

（4）如图所示，中满足条件且异于点C的格点E共有6个，

故答案为：

6．

【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及中线、高线的概念、平行线间的距离处处相等．

9．画图（只能借助于网格）并填空：

如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．

（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）△A′B′C′的面积为　4　；

（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；

（4）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有　7　个（点P异于A）．

【分析】

（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；

（2）利用三角形的面积公式即可得出结论；

（3）根据格点的特点△ABC的中线CD，高线AE即可；

（4）过点A作直线BC的平行线，此直线与格点的交点即为P点．

【解答】解：

（1）如图所示：

（2））△A′B′C′的面积＝

，

故答案为：

4；

（3）如图所示：

AD，AE即为所求；

（4）能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有7个，

故答案为：

7

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．

10．画图并填空：

如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．

（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；

（2）画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE；

（3）线段AA′与线段BB′的关系是：

　平行且相等　；

（4）求四边形ACBB′的面积．

【分析】

（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；

（2）取线段AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥BC的延长线与点E即可；

（3）根据图形平移的性质可直接得出结论；

（4）根据S四边形ACBB′＝S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′即可得出结论．

【解答】解：

（1）如图所示；

（2）如图所示；

（3）由图形平移的性质可知，AA′∥BB′，AA′＝BB′．

故答案为：

平行且相等；

（4）S四边形ACBB′＝S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′

＝

（7+3）×6+

×4×4﹣

×1×7﹣

×3×5

＝30+8﹣

﹣

＝27．

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．

11．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：

（1）画出△A′B′C′；

（2）画出△ABC的高BD；

（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是　平行且相等　，线段AC扫过的图形的面积为　10　．

【分析】

（1）根据平移的定义和性质作出点A、C平移后的对应点，顺次连接即可得；

（2）根据三角形高的定义作图即可得；

（3）根据平移变换的性质可得，再利用割补法求出平行四边形的面积．

【解答】解：

（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；

（2）如图所示，BD即为所求；

（3）如图所示，AA′与CC′的关系是平行且相等，

线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2×

×4×1﹣2×

×6×1＝10，

故答案为：

平行且相等、10．

【点评】此题主要考查了平移变换以及平行四边形面积求法等知识，根据题意正确把握平移的性质是解题关键．

12．画图并填空：

如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：

（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；

（2）画出AB边上的中线CD；

（3）画出BC边上的高线AE；

（4）△A′B′C′的面积为　8　．

（5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中这样的格点F共有　7　个．

【分析】

（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；

（2）画出AB边上的中线CD即可；

（3）过点A向BC的延长线作垂线，垂足为点E即可；

（4）利用三角形的面积公式求解即可；

（5）过点B作BF∥AC，直线BF与格点的交点即为所求，还有AC下方的一个点．

【解答】解：

（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）如图，线段CD即为所求；

（3）如图，线段AE即为所求；

（4）S△A′B′C′＝

×4×4＝8．

故答案为：

8；

（5）如图，共有7个格点．

故答案为：

7．

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．

13．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．

（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）若连接BB′，C