圆锥曲线直线和圆锥曲线的位置关系Word文件下载.docx
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0，所以厶•0恒成立，此
aa
时直线与双曲线相交
当b2-a2k2：
0=k或k时，直线与双曲线的公共点个数需要用厶判断：
1厶.0=方程有两个不同实根=•直线与双曲线相交
2=0=方程有两个相同实根=直线与双曲线相切
3.-:
0=方程没有实根=直线与双曲线相离
注：
对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。
尤其是直线与
双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；
如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切
（3）直线与双曲线交点的位置判定：
因为双曲线上的点横坐标的范围为
-：
-a1U〔a,七，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：
当
位于双曲线的右支；
当x乞a时，点位于双曲线的左支。
对于方程:
交点分别位于双曲线的左，右支
Xi,X2同号，即交点位于同一支上
（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：
通过
（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直
线的斜率相关，其分界点刚好与双曲线的渐近线斜率相同。
所以可通过数形结合得到位
置关系的判定
b
1k二-且m=0时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程
中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点
2-一：
k:
b时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直
线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。
222bb
3b-akc0nk>
-或k<
-—时，此时直线比渐近线“更陡”通过平移观察可得：
线不一定与双曲线有公共点（与厶的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点
位于双曲线同一支上。
（三）直线与抛物线位置关系：
相交，相切，相离
1、位置关系的判定：
以直线y=kx•m和抛物线：
y=2pxp0为例
「y=kx+m2
联立方程：
2=kxm2px，整理后可得：
ly=2px
222
kx2km-2pxm=0
（1）当k=0时，此时方程为关于x的一次方程，所以有一个实根。
此时直线为水平线，与抛物线相交
（2）当k=0时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定
1=「0=方程有两个不同实根=直线与抛物线相交
2厶-0=方程有两个相同实根=直线与抛物线相切
3厶：
0=方程没有实根=直线与抛物线相离
2、焦点弦问题：
设抛物线方程：
y2=2px，
过焦点的直线l:
y=k'
x—卫
I2丿
（斜率存在且k式0）,对应倾斜角为日，与抛物线交于
AXi，%,BX2，y2
2kp
-kp2px0
4
1、直线与圆锥曲线问题的特点：
（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设Ax1,y,,Bx2,y2，至于A,B坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
（3）通过联立方程消元，可得到关于x（或y）的二次方程，如果所求的问题与两根的和
或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出x1,x2,y1,y2（所谓"
设而不求”
（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。
则可简化运算的过程
这几点归纳起来就是"
以一个（或两个）核心变量为中心，以交点Axj,y1,Bx2,y2为
两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（x1-乂2公必2,yi•y2,%y2，坚持数形结合，坚
持整体代入。
直至解决解析几何问题“
2、韦达定理：
是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛
使用的原因主要有两个：
一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用
求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；
二是解析几何的一些问题或
是步骤经常与两个根的和与差产生联系。
进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根
结果，通过整体代入的方式得到答案。
所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。
如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应
对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。
3、直线方程的形式：
直线的方程可设为两种形式：
（1）斜截式：
y=kx•m，此直线不能表示竖直线。
联立方程如果消去y则此形式比较好
用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件
（2）x=myb，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。
经常在联立方
程后消去x时使用，多用于抛物线y2=2px（消元后的二次方程形式简单）。
此直线不能直
1
接体现斜率，当m=0时，斜率k二一
m
4、弦长公式：
（已知直线上的两点距离）设直线I:
y=kx+m,l上两点Ax,,y1）,B（x2,y2）,所以|AB=Ji+k2|x,_x2或|AB=Ji+耳］|y,-y2
y,=kx,m
（1）证明：
因为Ax,,y1,Bx2,y2在直线I上，所以
、y2=kx2+m
r2~；
2J%=心+m
二|AB=d（X1—X2）+（y1—y2），代入_亠可得：
、y2=kx2十m
（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果A,B为直线与曲线的交点（即AB
为曲线上的弦），贝UXi-X2（或yi-y2）可进行变形：
为一X2={（为一x2$=丁（治+x2i—4^X2，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。
5、点差法：
这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。
不妨以椭圆方
X2y2
程r2=1ab0为例，设直线y二kx•m与椭圆交于A为，％,Bx?
y?
两点,
则该两点满足椭圆方程，有:
'
a2b2i
a2b21
考虑两个方程左右分别作差,
并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系:
122i22
2Xi-X22yi-Y2=0①
I22
）
ab2'
八
ii
二丐N-x2xiX2匸力-y?
%y2i=°
ab
二Xi—X2Xi2X2古yi—y2•
a2b
由等式可知：
其中直线AB的斜率k二出一y2,AB中点的坐标为
x^-x2
代B坐标的平方差问题
联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。
同时由①可得在涉及中也可使用点差法。
、典型例题
x2y2
例1：
不论k为何值，直线y=kx•1与椭圆1有公共点，则实数m的取值范围
7m
是（）
A.0,1B.1,：
C.1,7U7,：
D.0,7
思路一：
可通过联立方程，消去变量（如消去y），得到关于x的二次方程，因为直线与椭
圆有公共点，所以.：
_0在x・R恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可
「y=kx+122
解：
22=mx27kx17m，整理可得：
mx+7y=7m
m7kx14kx7-7m=0
二14k-4m7k7「7mi：
0
即-1m7k2_0二m--7k21
.m--7k211
max
Tm=7m1,7UJ
思路二：
从所给含参直线y二kx•1入手可知直线过定点0,1，所以若过定点的直线均与
椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入0,1后—<
1，即
二辽1=m_1，因为是椭圆，所以m=7，故m的取值范围是1,7U7,=
答案：
C
小炼有话说：
（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆
位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；
第二种思路是抓住点与椭圆位置关系
的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。
在思路二中，从含参直线能发现定点是关键
（2）本题还要注意细节，椭圆方程中x2,y2的系数不同，所以m=7
x2y2寸3
思路：
由1可得渐近线方程为：
yx，若过右焦点的直线与右支只有一个
1243
交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即
333
=12，整理后可得:
x2—Wx2_3k2x"
2
y=kx-4
1-3k2x224k2x-48k212=0
当1-3k2=0=k3时，8x-28=0=x=7，即位于双曲线右支，符合题意
32
=48k210
当1—3k2式0时，心=（24k2（—4（1—3k2）「一（48k2+12
-直线与双曲线必有两个交点，设为捲，丫1,X2,y2
因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点
48k2+12
mx2：
：
0，即20
1-3k2
3k2T于
综上所述：
3岂k3
33
公共点，则实数t的取值范围是（
可得到关于t的不等式，从而解得t的范围
若t=0，则直线AB:
x=0与抛物线有公共点，不符题意
若t=0，贝UkAB二4.AB:
y=4x-1，与椭圆联立方程:
tt
21
xy
y=—x-1
t
D
AB
=4，当I斜率存在时，设直线丨：
y=kx-「3，与椭圆方程联立，利用弦长公式可
得ab/E
2-k2
为关于k的表达式，即
41k2
22人一4
■。
可解得：
k2或
k2=24。
若乞二4=0或24=0，即二-2时，可得k=0,仅有一解，不符
先一4.•；
”-4—4
2）_42]+4
题意。
若0且0，则每个方程只能无解或两解。
所以可知当■=4时,
4'
■■■■—4
方程有两解，再结合斜率不存在的情况，共有3解。
符合题意，所以，=4
由双曲线x-y1可得a=1,b-2,c=.3.Fi.L3,0，
当AB斜率不存在时，I的方程为x=J3二AB为通径，即AB=
若直线I斜率存在，不妨设为k
则设I:
y=kx-、一3，AXi,yi,Bx?
联立直线与椭圆方程:
2"
「宀2消去y可得：
2x—k2x-G2=2，
y=kx-、3
整理可得:
2-k2x22.3k2x-3k22]=0
..■:
=2、.3k2彳42-k2
3k2=16k16
二AB=Ji+k2为—x2
2-k2
可得：
k
I①
-4
k=0，只有一解，不符题意
0时，即，=2，则方程①的解为
几+4
2九+4
同理，当0,即■二-2，则方程①的解为k=0，只有一解，不符题意
—4
2-424
当0且0时，则每个方程的解为0个或两个，总和无法达到
.；
：
44
3个，不符
所以若
AB」的直线恰有3条，只能"
4，方程①解得：
J
题意
满足条件的直线AB的方程为:
訂、3，
x=3，y=
彊-4
y=4x•m对称，则
例5:
已知椭圆1，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线
43
的取值范围是（
A.
1313
B.
13
C.
.13、13
m——
D.
2、13
2.13
m:
设椭圆上两点Ax,,%,Bx2,y2，中点坐标为
『2x0=x,+x2
"
y0），则有仏=yr，由
t、3捲+4%=122222、
中点冋题想到点差法，则有,=3x-i-x24y-i-y2=0,变形可得:
[3x；
+4y；
=12
3x,-x2x1x24y^y2y1y2i；
=0①由对称关系和对称轴方程可得，直线
AB的斜率k--1，所以方程①转化为：
6x。
-8y。
•-1
4片—x2I4
fx°
=_m
由对称性可知AB中点x°
y°
在对称轴上，所以有y。
=4x°
m，所以解得：
，
Iy°
=—3m
设直线m的斜率为kk,=0，直线OP的斜率为k2，则k,k2的值为（
已知m与椭圆交于R,F2两个基本点，从而设Rx,,y,,F2x2,y2，可知
，即k2=,从结构上可联想到韦达定理，设m:
y=匕x2,
论+x2
线段PR为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点P展开，在圆锥曲线中处理弦中点问
122221一
2人-X2］亠目1-y2［=0=为-X2x1X2］亠$1-y2yry?
1=0，发现等式中
出现与中点和PF2斜率相关的要素，其中卩宀宀2,*+丫2L所以k2=y1*y2，且
I22丿X1+X2
k^yiy2，所以等式化为丄，一一=0即-k,k^0，所以k1k^-1
x^x22为一x2为x222
D小炼有话说：
两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。
（1）涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系
（2）涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法
例7:
已知点A1,2在抛物线C:
y2=4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D,E，
直线AD,AE的斜率分别为kAD,kAE，若直线DE过点P-1,-2，则kAD*ae二（）
A.4B.3C.2D.1
““一2（%十y2）+4
设Dx1,y1,Ex2,y2，进而所求.kADkAE一--，所以可从直
Nx2-（為+x2）+1
线DE入手，设直线DE:
y^kx1，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可化简
kADkAE=2
设D,Ex2,y2
设P-1,-2，则DE:
y2=kx1
y4x
彳，消去X可得:
y2=kx1
ky2-4y4k_8=0
44k一8
y1"
严：
代入①可得:
MF=2NF，则直线I的斜率为（
M1-1x,-1y,NF1-2X"
2所以y1=_2y2，设直线I:
x=my1，联立抛物
线方程消元后可得：
y?
一4my-4=0，利用韦达定理可得：
％"
=4m，再结合
1灿2=-4
屮二-2y,消去yi,y即可得m2，直线l:
x2y1,即可得到斜率为一2、2
从所给线段关系MF=2NF恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑
M,N向准线引垂线，垂足分别为P,Q，便可得到直角梯形PMNQ，由抛物线定义可知：
MP=|MF,NQ|=|NF，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为NPMF。
不妨设M在第一象限。
考虑将角放入直角三角形，从而可过N作NT丄MP于T,则nNMT=旦，
|TM|因为MF=2NF而TM|=|PM—PT=|PM—QN=|MF—NF=|NF，且MN=|M产NF|,利用勾股定理可得：
|TN=』MN『—|MT『=2@|NF|，从而tanNMT22，即k=2』2，当M在第四象限时，同理，可得k--2.2
|TM|
k二2&
B
X2
例9:
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆y=1的左、右焦点分别为Fi,F2，设A,B
是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
AF2与BF1交于点P，AF1=BF2
率是（）
而求出斜率。
考虑与椭圆联立方程，分别解出A,B的纵坐标，然后利用弦长公式即可用m表
—2
m1
r，可将已
m2
1知等式转化为关于m的方程，从而解出m=1，所以斜率为1
由椭圆方程可得：
R-1,0,F21,0
设AR:
x=my-1,BF2:
x=my1，Ax,,%,Bx2,y2，依图可知：
y10,y20
联立AF1与椭圆方程可得:
m2y_2my_1二0
同理可得：
J2（m2+1）-m寸m2+1'
旺=n?
+2
即如壬
m22
2”2，解得:
3
■直线AF1的斜率k1
（1）在运用弦长公式计算AF1,BF2时，抓住焦点的纵坐标为0的特点,
x=myb的形式以
使用纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上，本题采用便于消去x得到关于y的方程
（2）直线方程x=myb，当m=0时，可知斜率k与m的关系为：
k=一
Xy2
例10:
过椭圆1的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于代B,C,D四
43
考虑拆成两个焦半径的和，如设A（x「％）B（x2,y2），贝UAB=2a-e（%+x2），从而想
到联立直线与椭圆方程并使用韦达定理整体代入，同理CD也为焦半径。
设AB的斜率为
若AB,CD分别与坐标轴平行，不妨设AB_x轴,
则AB为椭圆的通径，二|AB=旦
由—y=1可得：
a=2,b=3,c=1
因为CD丄AB二CD为长轴长，即CD=2a=4
117
+=
」ab||cd|12
1当AB,CD斜率均存在时，设AB斜率为k，由CD_AB可得CD斜率为-一k
F1,0-设AB:
y=kxT,Ax1,y1,Bx2,y2
联立方程可得:
3x4y=12
P"
]1〉消去y可得：
3x2+4k2（x—1丫=12，整理后为:
4k23x-8k2x4k2-12=0
12k212
118k2
_42%1x2_4_24k23_4k23
设CX3,ya,DX4,y4，CD:
y--1x-1,与椭圆联立方程:
式），所以在解决CD的问题时就可参照AB的结果，进行对应字母的替换，即可得到答
算步骤
（2）本题是选择题，通过题意可发现尽管过焦点相互垂直的直线有无数多对，但从选项中
从而选择正确的
暗示结果是个常数，所以就可以利用特殊情况（通径与长轴长）求出结果,选项
升级会员 