牛吃草问题 关键有三点.docx

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牛吃草问题关键有三点

牛吃草问题关键有三点

1  设一头牛1天吃1份草2  算出草增加或者减少的速度3  算出总量

例题1

牧场上有一片青草，每天牧草都匀速生长，这片草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

问可供25头牛吃多少天？

---------------------------------------

解析：

设1头牛1天吃1份草，原有草量M，草长的速度为X

10头牛20天吃的草量=原有草量+20天长出来的草量

15头牛10天吃的草量=原有草量+10天长出来的草量

    观察上面的式子发现：

原有草量M是不变的

所以：

10*20-15*10=（20-10）XX=5

再来算原有草量：

10*20-20*5=100（或者15*10-10*5=100）

设25头牛可以吃Y天

所以100+5Y=25Y----------------------Y=5

PS：

一般做熟悉了，直接就是

（10*20-15*10）/（20-10）=5--------------草长的速度

10*20-5*20=100---------------------------------原有量

100+5X=25XX=5

例题2一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完，如果要求2小时淘完，要安排多少人？

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此题是牛吃草问题的变型！

设每人每小时淘水量为“1”

每小时漏进船的水量为：

（5*8-10*3）/（8-3）=2

发现时船内的水量为：

5*8-2*8=24

24+2*2=2*XX=14（人）

例题3超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。

某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了

A.2小时          B.1.8小时        C.1.6小时      D.0.8小时

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此题和牛吃草的题类似

一个收银台4小时接收的顾客为80*4=320

每小时排队的顾客是4*60=240

所以没开收银台时已经有320-240=80人排队

80+60X=2*80X

X=0.8难度较大的牛吃草题：

有三块草地,面积分别是5,15,24亩,草地上的草一样厚,而且长得一样快,第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块草地可供多少头牛吃80天?

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设1头牛1天吃的草为“1”

（1）第一块草地中的草和30天长出来的草一共是：

10*30=300

所以一亩地中原有草及30天长出来的草为：

300/5=60

（2）同理算第二块草地28*45/15=84

（3）因此1公亩草地每天新长出的草量：

（84-60）/（45-30）=8/5

（4）1公亩地原有草量为：

60-30*8/5=12

第三块草地原有草为12*24=288

24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42（头）解法二：

10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量（28*45-30*30）/（45-30）=24；15亩原有草量：

1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：

（180/80+24）*（24/15）=42头

几大经典行程问题汇总及技巧介绍

1、甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去。

假如他们都在10至10点半的任意时间来到见面地点，则两人能见面的概率有多大？

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卡卡西解析：

在坐标第一象限，画一个正方形（两边贴着坐标轴），画两条线x-y<15,y-x<15,求围成图形/正方形面积

2、张王两人相约见面，并约定张到达后等15分钟、王到达后等30分钟，如果时间到了仍不见另一人到可以自行离开.请问，张王两人在6点到7点之间见面的概率是多大？

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同理，两条线分别是x-y<15,y-x<30

相信话这个图大家没问题吧

3、某公交线路共有15站。

假设一辆公交车从起点站出发，从起点站起，每一站都会有都到前方每一站下车的乘客各一名上车，那么站第九站和第十站之间，车上有多少人？

A.48B.54C.56D.60

-----------------------------------

一般解题方法：

站台：

1  ，2  ，3  ，4  ，5  ，6，7，8，9，10

上车：

14，13，12，11，10，9，8，7，6，5

下车：

0  ，1  ，2  ，3  ，4  ，5，6，7，8，9

第9到第10之间是：

（14+13+12+……+6）-（0+1+2+3+……8）=54方法二：

1到9是9站，9到15是6站，即前9站每一站上车的乘客都还剩下6个人，6X9=54

4、有甲、乙两汽车站，从甲站到乙站与从乙站到甲站每隔6分同时各发车一辆，且都是1小时到达目的地。

问某旅客乘车从甲站到乙站，在途中可看到几辆从乙站开往甲站的汽车？

（）

A.18  B.21    C.20  D.19

-----------------------------------

解析：

从甲站到乙站与从乙站到甲站每隔6分同时各发车一辆，则从甲站到乙站的过程中每6\2=3分钟就可以看到一辆车（可以理解为，一辆车要走6分钟，两辆车相向而行只需要6/2=3分钟），所以最多可看到60\3+1=21辆车，在途中可以看到21-2=19辆车

“+1”表示到站的时候看到的正准备出发的车，“-2”表示他出发的时候遇到的车和他到站时候遇到的车（题目问的是途中，所以起点遇到和终点遇到不算）

5、从甲、乙两车站相对同时开出公车，此后两站每隔8分钟再开出一辆，依次类推，已知每辆车的车速相同且匀速，每辆车到达对方站都需45分钟，现有一乘客坐甲站开出的第一辆车去乙站，问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车？

-------------------------------------

速度相同，第一辆车走了S/2时遇到迎面而来的第一辆车。

此时还有22.5分钟到站

这个时候和上一题的思路一样22.5/4=55+1=6

6、某公共汽车从起点开往终点站，途中共有13个停车站。

如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站。

为了使每位乘客都有座位，那么，这辆公共汽车至少应有多少个座位？

【山东2005-10】

A.48B.52C.56D.54

-------------------------------------

途中有13个站，加上起点和终点站一共是15个站

起点的时候，14个人  第二站的时候上车13个，下车1个。

一共剩下13+13个

第N站的时候每一站剩下的人数为nX（15-n），可得最大值为7X8=56

追击问题的两点重要思路

1、设间隔距离看作单位1

2、路程差＝速度差×时间

讲解几个例题：

1、某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少?

?

?

?

------------------------------------------------------

1、设间隔距离看作单位1

2、路程差＝速度差×时间

画个简单的图帮助大家理解

后面追上：

------------------A----------->------------------------B------>---------（速度差）

迎面而来：

------------------A------------>------------------<---B-----------------（速度和）

所以根据图我们可以得到下面的方程

（1）  后面追：

（V电－V人）=1/12

（2）  迎面来：

（V电+V人）=1/4

（1）+

（2）==>  2V电=1/12+1/4=1/3（问题是算发车间隔，所以我们要计算车的速度）

V电=1/6

根据时间=路程÷速度

间隔        =1      ÷1/6

T=6

PS：

做熟悉了直接就是1/[（1/12+1/4）/2]=6

2、一条街上，一个骑车人和一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。

每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？

A  10      B  8    C  6      D  4

-------------------------------------------------------------------

1、设间隔距离看作单位1

2、路程差＝速度差×时间

所以有下面的方程：

（1）  （V汽－V步）=1/10

（2）  （V汽－3V步）=1/20

算出V汽=1/8T=1/（1/8）=8

把1～100这100个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，留1，擦去2,3,4，留5，擦去6,7,8……（每擦去3个数，留一个数）。

直到最后剩下的一个数是多少？

    A、47B、48C、49D、64

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【天字一号解析】

考察点：

周期循环等比数列的问题

这个题目考到的可能性不是特别大，但是不排除。

就只介绍规律吧。

主要是看间隔编号的个数。

如该题间隔编号就是1个。

例如留1拿走2，留3拿走4，间隔是1：

以下公式是按照从去1开始的。

那么公式是：

2/1×（A－2^n）这是最后剩下的数字2^n表示A内最大的值A表示原始的编号总数。

间隔是2：

3/2×（A－3^n）

间隔是3：

4/3×（A－4^n）

间隔是4：

5/4×（A－5^n）

特别注意的是：

此题的A值不是随便定的必须满足A－1要能够除以间隔编号数目。

否则最后的结果就是全部被拿走。

该题答案是：

按照公式4/3×（100－4^3）=48  但是这是按照去1开始得如果是留1  那么答案是48＋1＝49

另解：

留1，去掉234，题目告诉我们的是4个一组循环，所以答案应该是4K+1，即答案减去1应该是4的倍数，只有C满足

广东rainlycc的一道题

连续自然数按编号1，2，3，…，8899顺时针排成一圈。

从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？

（）

A.3508  B.3513  C.3509  D.3524

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正规做法：

间隔是2：

3/2×（A－3^n）

8899-1=8898，能整出2

3/2*（8899-6561）=3507

从1开始取，就是从2开始划，所以应该是3507+1=3508

另解：

3个一组循环，答案减去1应该是3的倍数，选A

50枚棋子围成圆圈，编号1到50…每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的那枚棋子号码是40，那么该从几号棋子开始取？

A3                        B4                                  C5                  D6

---------------------------------

间隔是1

2/1×（A－2^n）

要是从1开始数的话最后剩下的是36~~

40-36+1=5

送几个常见的公式给大家

1、一根绳连续对折N次，从中减M刀，则被剪成了（2^N*M+1）段

2、直线分平面：

N条直线，最多能分  N（N+1）/2+1个部分

3、直线画三角形：

直线数  3  4  5  6  7

                          三角形数  1  2  5  7  11

4、传球是无敌公式!

M个小朋友传N次球,最后回到第一个人手中,共X种方法!

X+（M-1）（X+1）=（M-1）^N  N为奇数

X+（M-1）（X-1）=（M-1）^N    N为偶数

5、圆分割平面：

N个圆，  最多能分  N^2-N+2  个部分

6、涂油漆

一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?

  （    ）

    A.296              B.324            C.328            D.384

设边长为N

这类题的公式就是：

N^3-（N-2）^3

对此题来说就是8^3-6^3=296

7、含盐率不同的盐水混合成含盐率相同的m=xy/x+y

有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克

m=9600/200=48

8、相遇问题：

单岸型为S=（3S1+S2）/2

双岸型为S=3S1-S2

9、追击问题里面的（间隔时间问题）

（2*T1*T2）/（T1+T2）

10军团云淡原创：

得分公式

1：

甲乙进行象棋比赛，获胜得a分，平局得b分，输的不得分，进行n局比赛，问甲一共有几种得分情况?

（ab互质，a>b）

共有【1+2+---+（n+1）】-【1+2+--+（n-a+1）】种得分

2：

n道题，错一个扣a分，对一个得b分，不答0分，请问有多少种得分？

（其中ab互质）

共有【1+2+---+（n+1）】-【1+2+--------+（n-a-b+1）】种得分

11、硬币翻转问题（我觉得云淡的比较好记）

现有m个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，每次翻转n个硬币，问最少经过几次翻转可以使这m个硬币全部反面朝上？

（m和n互质，m不等于n+1）

总结公式为：

2+[  |（m-2n）|  /n  ]  +f（a）

其中a为  （m-2n）/n的余数，[]是取整算符，f（a）当a是奇数时值为1，a是偶数时值为2

总结】关于页码和页数的题目（刚看到的一个题目顺便做个分析）

先从几个题目开始说

（1）699页的书页码当中含有多少2？

可以采用排列组合来做，我们将这1~999个数字按照这样的方式来看

首先001表示1，我们把百位，十位，个位单独来看

百位如果是2的情况有多少种？

主要是取决于十位和个位的选择情况，十位有0~910个选择，个位有0~9十个选择即10*10=100个

十位如果是2的情况有多少种？

百位的选择是0~6即7种选择，个位0~9这10个数字选择，即7*10=70

个位如果是2的情况有多少种？

百位的选择0~6，即7种选择，十位0~910个数字可以选择，即和十位是2的情况一样7*10=70

则答案是100+70*2=240个

注解：

例如522是含有2个2，当百位是0十位是2个位是2的时候即022表示的是页码22

（2）999页码的书有多少页不含2的页码？

这个题目跟上一题不一样求的是页码，比如说522这个页码虽然含有2个2，但是这是一个页码

这个题目我们同样采用排列组合

每个位置不是2的种类选择，即都是0~9 排除2，9个数字可以选择，所以不含2的页码是9*9*9=729 但是当三个位置都是0时，即表示为0，页码当中没有0页码，所以最终答案是729-1=728个页码不含2

（3）999页的书有多少页含2的页码？

上面我们已经分析了，借助上面做法

含2的页码就是999-728=271个页码

【讨论】裴波纳契数列的另类运用（补充完整了）

先说典型的裴波纳契数列：

图片：

裴波纳契数列 就是移动求和A＋B＝C

因为第一个月这对小兔长成大兔所以第一个月还是1对 即A从1开始。

第2个月开始剩下一对小兔 合计2对 B从2开始。

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233

小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。

已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

A：

54 B：

64 C：

57 D：

37

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这个题目刚刚看到讨论我也用排列组合的办法参与了讨论 现在我再来说说裴波纳契数列的解法

楼梯级数：

1，2，3，4，5，6........

走法情况：

0，1，1，1，2，2........

这是一个裴波纳契的间隔运用 因为他没有走1步的情况

即A＋B＝D

0，1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37

在举例1题：

小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈一级，两级或三级台阶。

已知相邻楼层之间有10级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

因为是1，2，3级都可以所以可以采用

A＋B＋C＝D的裴波纳契数列变式！

列举前3个 分别是1，2，3

则 10个是 1，2，4，7，13，24，44，81，149，274

练习题目：

小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈一级或三级台阶。

已知相邻楼层之间有10级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析

   一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。

每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？

A 10   B 8  C 6   D 4

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我们知道这个题目出现了2个情况，就是

（1）汽车与骑自行车的人的追击问题，

（2）汽车与行人的追击问题

追击问题中的一个显著的公式就是 路程差＝速度差×时间

我们知道这里的2个追击情况的路程差都是汽车的间隔发车距离。

是相等的。

因为我们要求的是关于时间所以可以将汽车的间隔距离看作单位1.

那么根据追击公式

（1） （V汽车－V步行）=1/10

（2） （V汽车－3V步行）=1/20

（1）×3－

（2）=2V汽车＝3/10-1/20  很快速的就能解得V汽车＝1/8 答案显而易见是8

再看一个例题：

小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。

扶梯方向向上，小芳则从二楼到一楼。

已知小明的速度是小芳的2倍。

小明用了2分钟到达二楼，小芳用了8分钟到达一楼。

如果我们把一个箱子放在一楼的第一个阶梯上问多长时间可以到达二楼？

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跟上面一题一样。

这个题目也是2个行程问题的比较

（1）小明跟扶梯之间是方向相同

（1） （V小明＋V扶梯）=1/2

（2）小芳跟扶梯的方向相反

（2） （V小芳－V扶梯）=1/8

（1）-2×

（2）=3V扶梯＝1/4 可见扶梯速度是1/12 答案就显而易见了。

总结：

在多个行程问题模型存在的时候。

我们利用其速度差，速度和的关系将未知的变量抵消。

可以很轻松的一步求得结果！

习题：

1、电扶梯由下往上匀速行驶.男孩以每秒2个梯级的速度沿电扶梯往上走,40秒种可达电扶梯顶部.一女孩以每2秒3个梯级的速度往上走,50秒可以达到顶部.则静止时电扶梯的梯级数为（      ）

A 80    B 75    C   100    D  1202、

2、某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少?

?

?

?

（1）某工人的步行速度为每小时5公里，如果他先步行上班路程的1/10，然后乘上速度为每小时25公里的汽车，最后再步行1公里刚好到厂，那么他可以比完全步行上班早二小时到厂。

问他的上班路程有多少公里？

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2个情况的比较

主要是中间的一段路程，一个步行，一个乘车

速度之比是25：

5＝5：

1 则所需时间之比是1：

5 差4个比例点对应2小时。

每个比例点是0.5小时，

那么如果是步行这段路程所需时间是0.5×5＝2.5小时

后面1公里步行所需时间是1/5=0.2小时

说明后面9/10的路程需要2.7小时 则全程需要2.7/9 ×10＝3小时

答案就是3×5＝15小时

（2）一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5千米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远？

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变化的部分就是返回的时候离甲城还有1/4的总路程少5千米的一段

这段路用40千米的速度比用30千米的速度节省10分钟

速度之比4：

3 时间之比是反比是3：

4 差1个比例点则假设是40千米的速度则所需时间是3×10＝30分钟，

则这段1/4少5千米的路程就是40×0.5＝20千米

答案是（20＋5）×4＝100千米

（3）一个学生从家到学校，先用每分50米的速度走了2分，如果这样走下去，他会迟到8分；后来他改用每分60米的速度前进，结果早到学校5分。

这个学生家到学校的路程是多少米？

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这个题目变化部分是后面采用60米的速度

速度之比是6：

5 时间之比是5：

6 差1个比例点对应的时间是5＋8＝13分钟

也就是说如果这段路程还是用50米的速度，那么所需时间是13×6＝78分钟

连带前面的2分钟答案是50×（78＋2）＝4000米

（4）王师傅加工一批零件,每天加工20个,可以提前一天完成.工作4天后,每天多加工5个,结果提前3天完成,问这批零件有多少个?

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