沪科版七年级数学下册第八章乘法公式与因式分解专题考点重难点复习解析版.docx
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沪科版七年级数学下册第八章乘法公式与因式分解专题考点重难点复习解析版
乘法公式与因式分解专题
一、乘法公式
1、平方差公式
平方差公式：
（ab）（ab）a2b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
要点诠释：
在这里，
a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式
2、完全平方公式
完全平方公式：
a
2b
22
a22abb2
（a
b）2
22
a22abb2
两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
常见的变形：
2a
b2
a
2
b2
2
2abab2ab
a
b2
a
b2
4ab
（a
b）2
（a
b）2
4ab
（1）
x3
y
22
x
2
3
2y；
（2）（2x）（2x）；
（3）（3x2y）（2y3x）
2
2
2
解：
（
1）原式
x
32y
x
9y2．
（2）原式
（2）2
x24x2．
2
2
4
4
1、计算：
3）原式
（3x2y）（2y3x）
（3x2y）（3x2y）
9x24y2
22
解：
（1）59.9×60.1＝（60－0.1）×（60＋0.1）＝6020.12＝3600－0.01＝3599.99
2222
2x22x3y3y4x212xy9y2
4、已知m﹣n＝3，mn＝2，求：
（1）（m+n）2的值；
（2）m2﹣5mn+n2的值．
解：
∵m﹣n＝3，mn＝2，
222
＝m+n+2mn＝（m﹣n）
2）m2﹣5mn+n2＝（m+n）2﹣7mn＝9﹣14＝﹣5．
5、已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．
（1）mn；
22
（2）m+n﹣mn．
解：
（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，
（1）①﹣②得：
4mn＝8，则mn＝2；
（2）①+②得：
2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．
6、已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
解：
（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，
∴2（a2+b2）＝8，解得：
a2+b2＝4；
（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：
ab＝，∴6ab＝3．
二、因式分解
1、因式分解：
1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多
项式分解因式．
（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式
（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.
2、公因式：
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式
要点诠释：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：
①公因式的系数是各项系数的最
大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
3、因式分解的方法：
（1）提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
（2）公式法
①公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
a2b2abab
②公式法——完全平方公式
3）十字相乘法
4）分组分解法
7、下列从左到右的变形，是因式分解的是（）
2
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）
2
C．4yz﹣2yz+z＝2y（2z﹣zy）+z
D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2
解：
A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、（y+1）（y﹣3）≠（3﹣y）（y+1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C、4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D、﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2，正确．故选：
D．
8、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）
222
A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
2
C．x﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1
解：
A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、是整式的乘法，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；故选：
C．
9、
（1）多项式3x26xy3的公因式是；
32
（2）多项式4mn316m28m的公因式是；
（3）多项式x（bca）y（bca）（abc）的公因式是
（4）多项式2（x3）x（3x）的公因式是．
【答案】
（1）3
（2）4m（3）bca（4）x3解：
先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
（1）的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.
（2）公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m．公因式为4m.
（3）公因式是（bca），为一个多项式因式．
（4）多项式可变形2x3xx3，其公因式是x3．
322223
10、把﹣6x3y2﹣3x2y2﹣8x2y3因式分解时，应提取公因式（）
22222222A.﹣3xyB.-2xyC.xyD.﹣xy
【答案】D．
【解析】解：
﹣6x3y2﹣3x2y2﹣8x2y3=﹣x2y2（6x+3+8y），
因此﹣6x3y2﹣3x2y2﹣8x2y3的公因式是﹣x2y2．
11、把下列各式因式分解：
2
（1）16a2b8ab.
3222
2）xxyxyx
答案】
（1）
22
8ab2a1；
（2）x2xyx1
22
12、因式分解：
yx2y2x2
【答案】yx2xy2；
22
解析】yx22y2x2
13、分解因式：
（1）
a2
9b2
（2）
25x2
y21；
（3）
16
2a
81b2；
2
（4）14m2
9
4
解：
（
1）
a29
b2
2a
2
（3b）2
（a
3b）（a
3b）．
（2）
25x2
2y
1
（5xy）2
12
（5xy
1）（5xy
1）．
（3）
16
2
81
29
2
4
29
4
9
4
a
b2
b
a
b
a
ba．
9
4
2
3
2
3
2
3
（4）
1
4m2
（2
m）
212（
2m
1）（2m
1）．
14、
分解因式：
（1）
x2
14x
49
2）9x2
12
x4；
（3）a2
a
1；
1
（4）
a2b21ab1．
4
16
2
解：
（
1）
x21
4x
49
x22
x
772
（x7）2．
2）
9x2
12x
4
（3x）2
2
3x2
2
22（3x
2）2
．
3）
2
1
2
1
12
1
2
aa
a2a
a
．
4
2
2
2
122
4）a2b2
16
15、分解因式：
2x+7）]
解：
（1）原式＝［（3x﹣2）+（2x+7）］［（3x﹣2）
＝（3x﹣2+2x+7）（3x﹣2﹣2x﹣7）＝（5x+5）（x﹣9）＝5（x+1）（x﹣9）；
（2）原式＝﹣2（a2﹣4ab+4b2）＝﹣2（a﹣2b）2．
16、因式分解：
（1）3x2y﹣18xy2+27y3
（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）
解：
（1）3x2y﹣18xy2+27y3＝3y（x2﹣6xy+9y2）＝3y（x﹣3y）2；
（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x2﹣1）＝（x﹣2）（x+1）（x﹣1）．
17、分解因式：
（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
解：
（1）原式＝1﹣（a+b）2＝（1+a+b）（1﹣a﹣b）；
（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）?
（3a
﹣2b）．
18、已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．解：
∵4x2+y2﹣4x+10y+26＝4（x﹣）2+（y+5）2＝0，
∴x＝，y＝﹣5，则原式＝3+1＝4．
19、将下列各式分解因式：
（1）
；
（2）
2
x
解：
（1）因为
7x8x
x
所以
：
原式＝x7x
8
（2）因为
2x
10x16；（3）103xx2
所以：
原式＝x2x8
（3
103x）
2
xx
23x
10
20、
分解因式：
（1）x2
7x
10；
解：
2x
7x10
x2
x5
（1）
（2）x2
2x8
x4
x2
（3）x
2
27x18
（x
27x
21、
因式分解：
m2n﹣5mn+6n.
解：
m2n﹣5mn
+6n
=n（
m2﹣5m+6）
=n（
m﹣2）（m﹣
3）.
22、
将下列各式分解因式：
（1）
；
解：
（1）因为
8x10x
x5x2
22
（2）x22x8；（3）x27x18
18）x2x9
2）
9y10y19y
所以：
原式＝2y33y5
21x18x3x
所以：
原式＝2x37x9
222
23、分解因式：
a24b24abc2
a2bca2bc
22222解：
原式（a24ab4b2）c2a2bc2
练习】
1.在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）
A.（mn）（mn）B.x3y3x3y3
2222
C.（ab）（ab）D.c2d2d2c2
答案】A；
n和n符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相
解析】A中m和m符号相反，同的，另一项互为相反数.
2．若x
y＝6，x
y
＝5，则x2
2
y2等于（）．
A.11
B.15
C.30D.60
【答案】
C；
【解析】
2
x
2y
x
y
xy
＝6×5＝30.
3．下列计算正确的是
（
）
．
A.5
m
5m
＝
2m
25
2
B.13m13m＝13m2
C.
43n
4
3n
2
9n216
22
D.（2abn）（2abn）＝4ab2n2
答案】
C；
解析】
5m
5
m＝
25m2；1
3m13m＝19m2；
（2abn）（2abn）＝4a2b2n2.
4．下列多项式不是完全平方式的是（）．
2
12
A.x24x4
B.mm
4
C.9a26abb2D.4t212t9
【答案】A；
121222222【解析】m2m（m）2；9a26abb2（3ab）2；4t212t9（2t3）2.
5．已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（）A．10B．±10C．﹣20D．±20
【答案】D；
【解析】解：
∵关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，
∵﹣m=±20，即m=±20.
6．若x22ax16是一个完全平方式，则a＝．
【解析】x22ax16x224x42，所以a4
2
7.若9x24y2＝3x2yM,则M＝．
【解析】9x24y2＝3x2y12xy
8.若xy＝3，xy＝1，则x2y2＝.
22222
【解析】xyx2y22xy，x2y2927
9.用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．
（1）69×71；
（2）992．
解：
（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；
（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．
10.怎样简便就怎样计算：
（1）1232﹣124×122
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【答案】解：
（1）1232﹣124×122
=1232﹣（123+1）（123﹣1）
=1232﹣（1232﹣1）
22
=1232﹣1232+1
=1；
2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
22
=（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）
=（4a2﹣b2）（4a2+b2）
=（4a2）2﹣（b2）2=16a4﹣b4
11.先化简，再求值：
3（a1）25（a1）（a1）2（a1）2，其中a3．
22
3（a1）25（a1）（a1）2（a1）2
3a22a15a212a22a12a10
当a3时,原式=231016
12、已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值．
解：
（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；
（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴（a﹣b）2＝49，
∴a2+b2﹣2ab＝49，
∴a2+b2＝25；
（3）∵a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，∴a+b＝±1．
13、分解因式：
12
（1）18x2
2；
（2）
a3b
ab3；
（3）
x516x；
（4）（a1）b2（1a）
【答案与解析】
12
解：
（1）x2
8
2
12
8（x2
16）
18（x
4）（x
4）．
（2）a3b
ab3
ab（a2
b2）
ab（a
b）（a
b）．
（3）
5
x
16x
x（x416）
x（x2
4）（x2
4）x（x2
4）（x
2）（x2）．
（4）
（a
1）
b2（1
a）（a1）
b2（a
1）（a
2
1）（1b2）
（a
1）（1b）（1b）
14.
如果
2x
kxy
2
9y2是一个完全平方公式，那么
k是（
）
A.6
B.
－6C.
±6
Ｄ.18
15.下列各式中，是完全平方式的是（）
2
A.9x29x1B.
6y
9y2
16.若x2mx16x
42，
那么m
17.分解因式：
m2m
1＝
4＝_
222
18、因式分解:
m2n2
4m2
2
n＝___
2
1
2
Ｃ.16y9y2
2
D.9y23y
答案】
mn
2
mn；
解析】
m2n2
4m2n2
m2
n22mnm2n22mn
2
nm
19、若【答案】1；
y24x
2y5
0，x
y＝
解析】x2y24x2y
5x
0，所以x
2,y
1，x
y1.
20、下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（
A．
a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
B．
x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．
x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．
x2﹣1＝x（x﹣
解：
A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、
x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故B符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故
C不符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故
D不符合题意；故选：
B．
21、因式分解：
1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）
2）
x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）
解：
（1）原式＝
2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）＝（a﹣
b）（2x﹣3y）；
2）原式＝x2
x﹣y）﹣4x（x﹣y）＝x（x﹣y）
x﹣4）．
22、已知x+y＝4，
x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．
解：
∵x+y＝4，
∴（x+y）2＝16，∴x2+y2+2xy＝16，
22而x2+y2＝14，∴xy＝1，
∴x3y﹣2x2y2+xy3＝xy（x2﹣2xy+y2）＝14﹣2＝12．
23、分解因式：
22
1）x26x8；
（2）x210x24；
（3）
15a2
23a
8
；
（4）5x26xy8y2
（5）
5a2
5b2
3a
3b.
解：
（
1）x2
6x
8
x2
x4；
2
2）x210x24x12x2；
（3）15a
23a
815a8a1
（4）5x2
6xy
8y25x26xy8y2
5x
4y
x2y
5）原式5
22ab
3ab5abab
3a
b
ab5a5b3
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