第讲自主招生数学试题中的解析几何文档格式.doc

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若点P（x0,y0）在曲线G:

ax2+cy2+dx+ey+f=0内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:

ax0x++cy0y

+d+e+f=ax02+cy02+dx0+ey0+f.

推论:

1.若点P（x0,y0）在椭圆G:

=1内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:

=;

2.若点P（x0,y0）在双曲线G:

3.若点P（x0,y0）在抛物线G:

y2=2px内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:

y0y-p（x+x0）=y02-2px0;

若点P（x0,y0）在抛物线G:

x2=2py内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:

x0x-p（y+y0）=x02-2py0.

4.切线方程:

ax2+cy2+dx+ey+f=0上,则曲线G在点P处的切线方程为:

ax0x+cy0y+d

+e+f=0.

1.若点P（x0,y0）在圆G:

（x-a）2+（y-b）2=R2上,则圆G在点P处的切线方程为:

（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=R2;

2.若点P（x0,y0）在椭圆G:

=1上,则椭圆G在点P处的切线方程为:

=1;

3.若点P（x0,y0）在双曲线G:

=1上,则双曲线G在点P处的切线方程为:

4.若点P（x0,y0）在抛物线G:

y2=2px上,则抛物线G在点P处的切线方程为:

y0y=p（x+x0）;

x2=2py上,则抛物线G在点P处的切线方程为:

x0x=p（y+y0）.

5.切点弦方程:

从点P（x0,y0）引曲线G:

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:

ax0x+b+cy0y+d+e+f=0.

1.从点P（x0,y0）引椭圆G:

=1的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:

2.从点P（x0,y0）引双曲线G:

2第十一讲:

解析几何

3.从点P（x0,y0）引抛物线G:

x2=4py的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:

x0x=2p（y+y0）;

从点P（x0,y0）引抛物线G:

y2=2px的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:

y0y=2（x+x0）.

6.切线交点的轨迹:

过定点Q（x0,y0）（x02+y02≠0）的直线与二次曲线G:

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0相交于M、N,曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:

1.过Q（x0,y0）的直线与椭圆G:

=1相交于M、N,椭圆G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:

2.过点Q（x0,y0）的直线与双曲线G:

=1相交于M、N,双曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:

3.过点Q（x0,y0）的直线与抛物线G:

x2=4py相交于M、N,抛物线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:

过点Q（x0,y0）的直线与抛物线G:

y2=2px相交于M、N,抛物线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:

Ⅱ.归类分析

1.直线与圆:

[例1]:

（2010年同济大学保送生考试数学试题）若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:

ax+by=0的距离为2,则直线l的斜率的取值范围是.

注:

本题引用（2006年湖南高考试题）若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:

ax+by=0的距离为2,则直线l的倾斜角θ的取值范围是（）

（A）[,]（B）[,]（C）[,]（D）[0,]

同类的高考试题有:

①（1991年全国高考试题）圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

②（2010年江苏高考试题）在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.

[解析]:

[练习1]:

1.①（2009年华南理工大学保送生考试试题）已知圆O:

x2+y2=r2,点P（a,b）（ab≠0）是圆O内一点,过点P的圆O的最短的弦在直线l1上,直线l2的方程为bx-ay=r2,那么（）

（A）l1∥l2,且l2与圆O相交（B）l1⊥l2,且l2与圆O相切（C）l1∥l2,且l2与圆O相离（D）l1⊥l2,且l2与圆O相离

②（2007年武汉大学保送生考试试题）如果直线ax-by+1=0（a、b∈R）平分圆C:

x2+y2+2x-4y+1=0的周长,那么ab的取值范围是（）

（A）（-∞,]（B）（-∞,]（C）（0,]（D）（0,]

③（2008年武汉大学保送生考试试题）直线l:

y=2x+m和圆C:

x2+y2=1相交于A、B两点,且∠AOB=1200,O为坐标原点,则常数m=（）

（A）（B）（C）（D）

④（2007年武汉大学保送生考试试题）如果直线x=my-1与圆C:

x2+y2+mx+ny+p=0相交,且两个交点关于直线y=x对称,那

解析几何3

么实数p的取值范围是.

⑤（2010年全国高中数学联赛河北预赛试题）已知圆C1:

（x+3）2+y2=4,C2:

x2+（y-5）2=4,过平面内的点P有无数多对互相垂直的直线l1、l2,它们分别与圆C1、圆C2相交,且被圆C1、圆C2截得的弦长相等,则P点坐标为.

2.①（2010年“北约”自主招生试题）已知点A（-2,0）,B（0,2）,若点C是圆x2-2x+y2=0上的动点,求△ABC面积的最小值.

②（1994年全国高中数学联赛河北预赛试题）在圆C:

（x-1）2+y2=2上有两个动点A和B,且满足条件∠AOB=900（O为坐标原点）.求以OA、OB为邻边的矩形OAPB的顶点P的轨迹方程.

③（2012年全国高中数学联赛陕西预赛试题）在平面直角坐标系中,以点C（t,）为圆心的圆经过坐标原点O,,且分别与x轴,y轴分别交于点A、B（不同于原点O）.

（Ⅰ）求证:

△AOB的面积S为定值;

（Ⅱ）设直线l:

y=-2x+4与圆C相交于不同的两点M、N,且|OM|=|ON|,求圆C的标准方程.

④（2011年全国高中数学联赛河北预赛试题）已知O为坐标原点,B（4,0）,C（5,0）,过C作x轴的垂线,M是这垂线上的动点,以O为圆心,OB为半径作圆,MT1,MT2是圆的切线,

则△MT1T2垂心的轨迹方程是.

⑤（2012年全国高中数学联赛试题（A卷））如图,yB

在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的边长

为4,且|OB|=|OD|=6.HC

|OA||OC|为定值;

A

（Ⅱ）当点A在半圆M:

（x-2）2+y2=4（2≤x≤4）上OMx

运动时,求点C的轨迹.D

2.基本问题:

[例2]:

（2012年“卓越联盟”自主招生数学试题）抛物线y2=2px（p>

0）,F为抛物线的焦点,A、B是抛物线上两点,线段AB的中垂线交x轴于D（a,0）,a>

0,m=||+||.

（Ⅰ）证明:

a是p、m的等差中项;

（Ⅱ）若m=3p,l为平行于y轴的直线,其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值,求直线l的方程.

[练习2]:

1.①（2001年复旦大学保送生考试试题）抛物线y2=-4（x-1）的准线方程为（）

（A）x=1（B）x=2（C）x=3（D）x=4

②（2011年复旦大学保送生考试试题）设直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b（m、b为实数,t为参数）和+y2=1（a

是非零实数）,若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a、b应满足（）

（A）a2（1-b2）≥1（B）a2（1-b2）>

1（C）a2（1-b2）<

1（D）a2（1-b2）≤1

③（2006年武汉大学保送生考试试题）椭圆+=1（a>

b>

0）的半焦距为c,直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标为c,则该椭圆的离心率为.

④（2012年全国高中数学联赛江苏预赛试题）在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若△FAB的面识为8,则直线l的斜率为________

⑤（2008年武汉大学保送生考试试题）点P为椭圆C:

+=1上的一点,F1、F2为椭圆C的左、右焦点,若|PF1|:

|PF2|=

5:

1,则△PF1F2的面积为（）

（A）（B）（C）（D）

4第十一讲:

⑥（2012年全国高中数学联赛试题（B卷））如图,y

设椭圆+=1（a>

0）的左、右焦点分别A

为F1、F2,过点F2的直线交椭圆于A（x1,y1）、F1F2x

B（x2,y2）两点,若△ABF1内切圆的面积为π,且

|y1-y2|=4,则椭圆的离心率为.B

⑦（2012年全国高中数学联赛试题（A卷））抛物线y2=2px（p>

0）的焦点为F,准线为l,A、B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是.

⑧（2007年武汉大学保送生考试试题）如果椭圆+=1（a>

0）的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为

（A）（B）2（C）（D）

⑨（2012年全国高中数学联赛安徽预赛试题）设两个椭圆+=1和+=1有共同的焦点,则t=.

⑩（2010年复旦大学保送生考试试题）已知常数k1、k2满足:

0<

k1<

k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=k1（x-1）+1和y=k2（x

-1）+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于（）

（A）（B）（C）1（D）

2.①（2007年清华大学自主招生数学试题）已知A（-1,-1）,△ABC是正三角形,且B、C在双曲线xy=1（x>

0）一支上.

B、C关于直线y=x对称;

（Ⅱ）求△ABC的周长.

②（2006年上海交通大学保送生考试试题）A（0,1）是椭圆+y2=1（a>

1）的一个顶点,是否存在以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？

若存在,求出共有几个;

若不存在,请说明理由.

③（2003年同济大学保送生考试数学试题）已知抛物线y2=2px.

（Ⅰ）过焦点的直线斜率为k,交抛物线于A、B,求|AB|;

（Ⅱ）是否存在正方形ABCD,使C在抛物线上,D在抛物线内？

若存在,求出k满足的方程;

若不存在,说明理由.

④（2012年全国高中数学联赛浙江预赛试题）设P为椭圆+=1长轴上的一个动点,过P点斜率为k的直线交椭圆于A、B两点.若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与P无关,求k的值.

⑤（2009年全国高中数学联赛山东预赛试题）已知椭圆T:

+=1（a>

0）和双曲线S:

-=1（m>

0,n>

0）具有相同的焦点F（2,0）.设双曲线S经过第一象限的渐近线为l,若焦点F和椭圆T的上方的顶点B关于直线l的对称点都在双曲线S上,求椭圆T和双曲线S的方程.

3.方程思想:

[例3]:

（2011年“卓越联盟”自主招生数学试题）已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0,则抛物线方程为（）

（A）y2=16x（B）y2=8x（C）y2=-16x（D）y2=-8x

[练习3]:

1.①（2005年复旦大学保送生考试试题）直线l与双曲线xy=1交于P、Q两点,直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B,求

解析几何5

证:

|AP|=|BQ|.

②（2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题）如图所示,过双曲线x2-=1的中心O作两条互相垂直的射线,交双曲线于A、B两点.试求:

yB

（Ⅰ）弦AB的中点P的轨迹方程;

A

（Ⅱ）双曲线的中心O到直线AB的距离.Ox

③（2012年全国高中数学联赛四川预赛试题）直线

y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点,直线l

经过点（-2,0）和AB的中点,求直线l在y轴的截距b的取值范围.

④（2008年上海交通大学保送生考试试题）曲线y2=2px（p>

0）与圆（x-2）2+y2=3交于A、B两点,线段AB的中点在y=x上,求p.

⑤（2001年复旦大学保送生考试试题）已知椭圆:

+y2=1与抛物线y2=x在第一象限内有两个公共点A、B,线段AB的中点M在抛物线y2=（x+1）上,求a.

2.①（2004年同济大学保送生考试数学试题）设抛物线y=x2-（2k-7）x+4k-12与直线y=x有两个不同的交点,且交点总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖,试问:

实数k应满足什么条件？

②（2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题）已知点E（m,n）为抛物线y2=2px（p>

0）内一定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于A,B,C,D,且M,N分别是线段AB,CD的中点.

（Ⅰ）当n=0,且k1k2=-1时,求△EMN的面积的最小值;

（Ⅱ）若k1+k2=λ（λ≠0,λ为常数）,证明:

直线MN过定点.

③（2010年全国高中数学联赛河北预赛试题）已知椭圆C过点M（2,1）,两个焦点分别为（-,0）、（,0）.O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B.

（Ⅰ）求△OAB面积的最大值;

（Ⅱ）证明:

直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.

④（2012年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题）已知直线x-y+1=0经过椭圆S:

0）的一个焦点和一个顶点,过坐标原点的直线交椭圆S于P、A两个点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC并延长交椭圆S于B.求证:

PA⊥PB.

⑤（2009年全国高中数学联赛贵州预赛试题）设椭圆C1的方程为+=1（a>

0）,曲线C2的方程为y=,且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.

（Ⅰ）试用a表示点P的坐标;

（Ⅱ）设F1,F2是C1的两个焦点,当a变化时,求ΔPF1F2的面积函数f（a）的值域;

（Ⅲ）设g（a）是以C1的半焦距为边长的正方形的面积,求函数y=min{f（a）,g（a）}的表达式.

⑥（2011年全国高中数学联赛山东预赛试题）在平面直角坐标系中,已知圆C1与圆C2相交于点P,Q,点P的坐标为（3,2）,两圆半径的乘积为.若圆C1和C2均与直线l:

y=kx及x轴相切,求直线l的方程.

注:

与本题类同的有（2011年全国大纲卷高考试题）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点（4,1）,则两圆心的距离|C1C2|=（）

（A）4（B）4（C）8（D）8

4.轨迹问题:

[例4]:

（2009年南京大学保送生考试数学试题）在x轴上方作圆与x轴相切,切点为A（,0）,分别从点B（-3,0）、C（3,0）

6第十一讲:

作该圆的切线BP和CP,并相交于P.设点C在∠BPC的角平分线的投影为Q.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程,并求其横坐标的取值范围;

（Ⅱ）求点Q的轨迹方程,并求其横坐标的取值范围.

[练习4]:

1.①（2005年复旦大学保送生考试试题）已知曲线C:

+y2=1,曲线C关于直线y=2x对称的曲线为C1.曲线C1与曲线C2关于直线y=-x+5对称,求曲线C1、C2的方程.

②（2010年复旦大学保送生考试试题）经过坐标变换将二次曲线3x2-2xy+5y2-6=0转化为形如=1的标准方程,求θ的值并判断二次曲线的类型（）

（A）θ=kπ+（k∈Z）,为椭圆（B）θ=+（k∈Z）,为椭圆

（C）θ=kπ-（k∈Z）,为双曲线（D）θ=-（k∈Z）,为双曲线

③（2008年全国高中数学联赛安徽预赛试题）平面中,到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（）

（A）椭圆（B）双曲线的一部分（C）抛物线的一部分（D）矩形

④（2004年全国高中数学联赛山东预赛试题）设A1、A2是椭圆+=1（a>

0）长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的

弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是.

⑤（2011年“华约”自主招生试题）已知C1、C2是平面上两定圆,另一动圆C与C1、C2均相切,问圆心C的轨迹是何种曲线？

说明理由.

本题源自:

（2007年全国高中数学联赛试题）设圆O1和圆O2是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则圆P的圆心轨迹不可能是（）

（A）（B）（C）（D）

2.①（2009年清华大学自主招生数学试题）已知|PM|-|PN|=2,M（-2,0）,N（2,0）.

（Ⅰ）求点P的轨迹W;

（Ⅱ）直线y=k（x-2）与W交于点A、B,求S△AOB（O为坐标原点）.

②（2002年全国高中数学联赛山东预赛试题）已知椭圆的焦点为F1（-1,0）,F2（1,0）,直线x=4是它的一条准线.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）设A1,A2分别是椭圆的左顶点和右顶点,P是椭圆上满足|PA1|-|PA1|=2的一点,求cos∠A1PA2的值.

③（2012年全国高中数学联赛广西预赛试题）在周长为定值△ABC的