学而思奥数学习材料.docx

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学而思奥数学习材料

学而思小学奥数知识点梳理

前言

小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。

概述

计算

四则混合运算繁分数

运算顺序

分数、小数混合运算技巧

一般而言：

加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；

乘除运算中，统一以分数形式。

⑶带分数与假分数的互化

⑷繁分数的化简

简便计算

⑴凑整思想

⑵基准数思想

⑶裂项与拆分

⑷提取公因数

⑸商不变性质

⑹改变运算顺序

运算定律的综合运用

连减的性质

连除的性质

同级运算移项的性质

增减括号的性质

变式提取公因数

形如：

估算

求某式的整数部分：

扩缩法

比较大小

通分

通分母

通分子

跟“中介”比

利用倒数性质

若

，则c>b>a.。

形如：

，则

。

定义新运算

特殊数列求和

运用相关公式：

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n

数论

奇偶性问题

奇

奇=偶奇×奇=奇

奇

偶=奇奇×偶=偶

偶

偶=偶偶×偶=偶

位值原则

形如：

=100a+10b+c

数的整除特征：

整除数

特征

末尾是0、2、4、6、8

各数位上数字的和是3的倍数

末尾是0或5

各数位上数字的和是9的倍数

奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数

4和25

末两位数是4（或25）的倍数

8和125

末三位数是8（或125）的倍数

7、11、13

末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数

整除性质

如果c|a、c|b，那么c|（a

b）。

如果bc|a，那么b|a，c|a。

如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。

如果c|b,b|a,那么c|a.

a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

带余除法

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。

用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r

6.唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

n=p1

×p2

×...×pk

约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n=p1

×p2

×...×pk

那么：

n的约数个数：

d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）

n的所有约数和：

（1+P1+P1

+…p1

）（1+P2+P2

+…p2

）…（1+Pk+Pk

+…pk

）

同余定理

①同余定义：

若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b（modm）

②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。

③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

9．完全平方数性质

①平方差：

-B

=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

②约数：

约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解：

把数字分解，使他满足积是平方数。

④平方和。

10．孙子定理（中国剩余定理）

11．辗转相除法

12．数论解题的常用方法：

枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

几何图形

平面图形

⑴多边形的内角和

N边形的内角和=（N-2）×180°

⑵等积变形（位移、割补）

三角形内等底等高的三角形

平行线内等底等高的三角形

公共部分的传递性

极值原理（变与不变）

⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2=a︰b；S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4

⑷相似三角形性质（份数、比例）

①

;S1︰S2=a2︰A2

②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=（a+b）2

⑸燕尾定理

S△ABG：

S△AGC＝S△BGE：

S△GEC＝BE：

EC；

S△BGA：

S△BGC＝S△AGF：

S△GFC＝AF：

FC；

S△AGC：

S△BCG＝S△ADG：

S△DGB＝AD：

DB；

⑹差不变原理

知5-2=3，则圆点比方点多3。

⑺隐含条件的等价代换

例如弦图中长短边长的关系。

⑻组合图形的思考方法

化整为零

先补后去

正反结合

立体图形

⑴规则立体图形的表面积和体积公式

⑵不规则立体图形的表面积

整体观照法

⑶体积的等积变形

①水中浸放物体：

V升水=V物

②测啤酒瓶容积：

V=V空气+V水

⑷三视图与展开图

最短线路与展开图形状问题

⑸染色问题

几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

典型应用题

植树问题

①开放型与封闭型

②间隔与株数的关系

方阵问题

外层边长数-2=内层边长数

（外层边长数-1）×4=外周长数

外层边长数2-中空边长数2=实面积数

列车过桥问题

①车长+桥长=速度×时间

②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间

③车长甲+车长乙=速度差×追及时间

列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题

车长=速度和×相遇时间

车长=速度差×追及时间

年龄问题

差不变原理

鸡兔同笼

假设法的解题思想

牛吃草问题

原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间

平均数问题

盈亏问题

分析差量关系

和差问题

和倍问题

差倍问题

逆推问题

还原法，从结果入手

代换问题

列表消元法

等价条件代换

行程问题

相遇问题

路程和=速度和×相遇时间

追及问题

路程差=速度差×追及时间

流水行船

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

多次相遇

线型路程：

甲乙共行全程数=相遇次数×2-1

环型路程：

甲乙共行全程数=相遇次数

其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数

环形跑道

行程问题中正反比例关系的应用

路程一定，速度和时间成反比。

速度一定，路程和时间成正比。

时间一定，路程和速度成正比。

钟面上的追及问题。

时针和分针成直线；

时针和分针成直角。

结合分数、工程、和差问题的一些类型。

行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。

计数问题

加法原理：

分类枚举

乘法原理：

排列组合

容斥原理：

总数量=A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC

常用：

总数量=A+B-AB

抽屉原理：

至多至少问题

握手问题

在图形计数中应用广泛

角、线段、三角形，

长方形、梯形、平行四边形

正方形

分数问题

量率对应

以不变量为“1”

利润问题

浓度问题

倒三角原理

例：

工程问题

①合作问题

水池进出水问题

按比例分配

方程解题

等量关系