5．已知函数f（x）和g（x）均为奇函数，h（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在区间（0，＋∞）上有最大值5，那么h（x）
在（－∞，0）上的最小值为（）
A．－5B．－1C．－3D．5
6．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f
（1）＝0，则不等式
<0的解集为（）
A．（－1,0）∪（1，＋∞）B．（－∞，－1）∪（0,1）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1,0）∪（0,1）
二、填空题
7．设函数f（x）＝
为奇函数，则a＝________.
8．偶函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f（x1）与f（x2）的大小关系是______.
三、解答题
9．已知函数f（x）＝x2＋
（x≠0，常数a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
10．已知函数f（x）＝
.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证：
函数f（x）在定义域上是增函数；
（3）求函数f（x）的最小值．
B组
一、选择题
1．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋b，则f（－1）等于（）
A．0B．2C．－2D．1
2．已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋
]上的偶函数，则5a＋3b＝（）
A.
B.
C．0D．－
3．已知函数f（x）是定义在（－6,6）上的偶函数，f（x）在[0,6）上是单调函数，且f（－2）＜f
（1），则下列不等式成立的是（）
A．f（－1）＜f
（1）＜f（3）B．f
（2）＜f（3）＜f（－4）
C．f（－2）＜f（0）＜f
（1）D．f（5）＜f（－3）＜f（－1）
4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x＋2）＝－f（x），则f（6）的值为（）
A．－1B．0C．1D．2
二、填空题
5．已知偶函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则f（x）≥0的x的取值范围是________.
6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞）上为增函数，若f（1－a）＋f（
－2a）＜0，则实数a的取值范围是________.
三、解答题
7．已知函数f（x）＝1－
.
（1）若g（x）＝f（x）－a为奇函数，求a的值；
（2）试判断f（x）在（0，＋∞）内的单调性，并用定义证明．
8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有
＞0.
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围．
函数性质强化训练AB卷答案
A组
一、选择题
1．下列函数中是奇函数且在（0,1）上递增的函数是（）
A．f（x）＝x＋
B．f（x）＝x2－
C．f（x）＝
D．f（x）＝x3
[答案]D
[解析]∵对于A，f（－x）＝（－x）＋
＝－（x＋
）＝－f（x）；对于D，f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），
∴A、D选项都是奇函数．易知f（x）＝x3在（0,1）上递增．
2．若f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，则下列各式成立的是（）
A．f（－2）＞f（0）＞f
（1）B．f（－2）＞f
（1）＞f（0）C．f
（1）＞f（0）＞f（－2）D．f（0）＞f（－2）＞f
（1）
[答案]B
[解析]因为f（x）是R上的偶函数，所以f（－2）＝f
（2）．又因为f（x）在[0，＋∞）上是增函数，
所以f（0）＜f
（1）＜f
（2），即f（－2）＞f
（1）＞f（0）．故选B.
3．设函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是增函数，则有（）
A．a≥
B．a≤
C．a>－
D．a>
[答案]D
[解析]∵y＝f（x）在R上为增函数，∴2a－1>0，即a>
.
4．设f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）内是增函数，又f（－3）＝0，则f（x）<0的解集是（）
A．{x|－33}B．{x|x<－3或0C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3[答案]B
[解析]x>0时f（3）＝－f（－3）＝0，
又∵f（x）在（0，＋∞）内是增函数，∴x∈（0,3）时f（x）<0，
又∵f（x）为奇函数．当x<0时，只有x∈（－∞，－3）时f（x）<0，故选B.
5．已知函数f（x）和g（x）均为奇函数，h（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在区间（0，＋∞）上有最大值5，那么h（x）
在（－∞，0）上的最小值为（）
A．－5B．－1C．－3D．5
[答案]B
[解析]令F（x）＝h（x）－2＝af（x）＋bg（x），
则F（x）为奇函数．
∵x∈（0，＋∞）时，h（x）≤5，
∴x∈（0，＋∞）时，F（x）＝h（x）－2≤3.
又x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），
∴F（－x）≤3⇔－F（x）≤3
⇔F（x）≥－3.
∴h（x）≥－3＋2＝－1，选B.
6．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f
（1）＝0，则不等式
<0的解集为（）
A．（－1,0）∪（1，＋∞）B．（－∞，－1）∪（0,1）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1,0）∪（0,1）
[答案]D
[解析]奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f
（1）＝0，
＝
<0.
由函数的图象得解集为（－1,0）∪（0,1）．
二、填空题
7．设函数f（x）＝
为奇函数，则a＝________.
[答案]－1
[解析]f（x）＝
（x＋1）（x＋a）为奇函数
⇔g（x）＝（x＋1）（x＋a）为偶函数，
故g（－1）＝g
（1），∴a＝－1.
8．偶函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f（x1）与f（x2）的大小关系是______.
[答案]f（x1）>f（x2）
[解析]∵x1<0，∴－x1>0，
又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，
∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴f（－x1）>f（x2），
又∵f（x）为偶函数，∴f（x1）>f（x2）．
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．
三、解答题
9．已知函数f（x）＝x2＋
（x≠0，常数a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，＋∞）上为增函数，求实数a的取值范围．
[分析]
（1）题需分情况讨论．
（2）题用定义证明即可．
[解析]
（1）当a＝0时，f（x）＝x2，
对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）＝x2＋
（a≠0，x≠0），
取x＝±1，得f（－1）＋f
（1）＝2≠0，f（－1）－f
（1）＝－2a≠0，
即f（－1）≠－f
（1），f（－1）≠f
（1），
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）设2≤x1＋
－x
－
＝
·[x1x2（x1＋x2）－a]，要使函数f（x）在[2，＋∞）上为增函数，则需f（x1）－f（x2）<0恒成立．
∵x1－x2<0，x1x2>4，
∴只需使a又∵x1＋x2>4，
∴x1x2（x1＋x2）>16，
故a的取值范围是（－∞，16]．
10．已知函数f（x）＝
.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证：
函数f（x）在定义域上是增函数；
（3）求函数f（x）的最小值．
[解析]
（1）要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，
所以函数f（x）的定义域是[－1，＋∞）．
（2）证明：
设－10，
f（x1）－f（x2）＝
－
＝
＝
＝
.
∵－1∴x1－x2<0，
>0，
>0.
∴f（x1）0，
∴函数f（x）在定义域上是增函数．
（3）∵函数f（x）在定义域[－1，＋∞）上是增函数，
∴f（x）≥f（－1）＝0，
即函数f（x）的最小值是0.
B组
一、选择题
1．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋b，则f（－1）等于（）
A．0B．2C．－2D．1
[答案]C
[解析]∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，即b＝0，∴当x≥0时，f（x）＝2x，
∴f（－1）＝－f
（1）＝－2，故选C.
2．已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋
]上的偶函数，则5a＋3b＝（）
A.
B.
C．0D．－
[答案]A
[解析]∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x）即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，又f（x）定义域为[3a－2,2a＋
]，∴3a－2＋2a＋
＝0，∴a＝
.故5a＋3b＝
.
3．已知函数f（x）是定义在（－6,6）上的偶函数，f（x）在[0,6）上是单调函数，且f（－2）＜f
（1），则下列不等式成立的是（）
A．f（－1）＜f
（1）＜f（3）B．f
（2）＜f（3）＜f（－4）
C．f（－2）＜f（0）＜f
（1）D．f（5）＜f（－3）＜f（－1）
[答案]D
[解析]∵f（－2）＝f
（2）＜f
（1），∴f（x）在[0,6]上为减函数，在[－6,0]上为增函数，f（－5）＝f（5），
∴f（－5）＜f（－3）＜f（－1），故选D.
4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x＋2）＝－f（x），则f（6）的值为（）
A．－1B．0C．1D．2
[答案]B
[解析]∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，又f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
∴f（6）＝f
（2）＝f（0＋2）＝－f（0）＝0.
二、填空题
5．已知偶函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则f（x）≥0的x的取值范围是________.
[答案][－2,2]∪{－5,5}
[解析]∵f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴由f（x）在[0,5]上的图象
作出f（x）在[－5,0]上的图象，从而得到f（x）在[－5,5]上的图象（如图）．
根据图象可知：
使f（x）≥0的x的取值范围为[－2,2]∪{－5,5}．
6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞）上为增函数，若f（1－a）＋f（
－2a）＜0，则实数a的取值范围是________.
[答案]（
，＋∞）
[解析]∵y＝f（x）为R上的奇函数，且在[0，＋∞）为增函数，∴f（x）在R上为增函数．
又f（1－a）＋f（
－2a）＜0，
∴f（1－a）＜－f（
－2a）＝f（2a－
）．
∴1－a＜2a－
，即a＞
.
∴实数a的取值范围为（
，＋∞）．
三、解答题
7．已知函数f（x）＝1－
.
（1）若g（x）＝f（x）－a为奇函数，求a的值；
（2）试判断f（x）在（0，＋∞）内的单调性，并用定义证明．
[解析]
（1）由已知得g（x）＝1－a－
，
∵g（x）是奇函数，∴g（－x）＝－g（x），即1－a－
＝－（1－a－
），解得a＝1.
（2）函数f（x）在（0，＋∞）内是单调增函数．证明如下：
任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝1－
－（1－
）＝
.
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，从而
＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（0，＋∞）内是单调增函数．
8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有
＞0.
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围．
[解析]
（1）∵a＞b，∴a－b＞0，
由题意得
＞0，
∴f（a）＋f（－b）＞0.
又f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（－b）＝－f（b），∴f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）．
（2）由
（1）知f（x）为R上的单调递增函数，
∵f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，
∴f（1＋m）≥－f（3－2m），
即f（1＋m）≥f（2m－3），
∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.
∴实数m的取值范围为（－∞，4]．
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