初二数学知识整理.docx

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初二数学知识整理

11.1与三角形有关的线段

1.由不同一条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形

2.顶点是A,B,C的三角形，记作△ABC，读做三角形ABC

3.三角形两边的和大于第三边

4..三角形两边的差小于第三边

5.从△的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高

6.连接△ABC的顶点A和他所对的边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的高

7.三角形的三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心

8.画∠A的平分线AD，∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线

9.三角形具有稳定性

11.2

10.三角形的内角和等于180°

11.直角三角形两个锐角互余

12.有两个角互余的三角形是直角三角形

13.三角形的一边与另一边的延长线，叫做三角形的外角

14、 多边形的定义：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形

15.三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和

16.由n条线段组成的角叫n边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形

17.各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等

18.多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

19.从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形

20.n边形共有n（n－3）÷2条对角线

21.公式：

边形的内角和为180°

22多边形的外角和等于360°

23.多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加外角和为180°

（3）：

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定 

边边边：

三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”） 边角边:

两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”） 

角边角:

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”） 

角角边:

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”） 

斜边.直角边：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”） 

4、证明两个三角形全等的基本思路：

二、角的平分线：

1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 

2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

 三、学习全等三角形应注意以下几个问题：

（1）:

要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与      “对角”的不同含义； 

（2）：

表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； 

（3）：

“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； 

（4）：

时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对

顶角” 

    1、全等三角形的概念 

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

 2、全等三角形的表示和性质 

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：

记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） 

（2）角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） 

（3）边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

 直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 4、全等变换 

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：

把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：

将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：

将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

第十二章  轴对称 

一、轴对称图形 

1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

 2.  把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

4.轴对称的性质 

  ①关于某直线对称的两个图形是全等形。

             ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

    ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

    ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

 二、线段的垂直平分线 

    1.   经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等  3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 三

、

用

坐

标

表

示

轴

对

称

小

结

：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为

4.轴对称的性质 

  ①关于某直线对称的两个图形是全等形。

             ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

    ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

    ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

 二、线段的垂直平分线 

    1.   经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等  3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 三

、

用

坐

标

表

示

轴

对

称

小

结

：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为

相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 

四、（等腰三角形）知识点回顾 1.等腰三角形的性质 

①.等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角） 

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一） 2、等腰三角形的判定：

    如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（等角对等边） 

五、（等边三角形）知识点回顾 1.等边三角形的性质：

等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。

 2、等边三角形的判定：

  ①三个角都相等的三角形是等边三角形。

   ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

 1、等腰三角形的性质 

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：

等腰三角形的两个底角相等（简称：

等边对等角）

2、等腰三角形的判定 

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：

等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形 

推论2：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

 推论3：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定 

 等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线 

1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角； 

2、等腰三角形两腰上的

1、两边上中线相等的三

角形是等腰三角形； 2、如果一个三角形的一

边中线垂直这条边

知识点一：

分式的定义 

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式

子BA

叫做分式，A

为分子，B为分母。

知识点二：

与分式有关的条件 ①分式有意义：

分母不为0（0B） ②分式无意义：

分母为0（0B） 

③分式值为0：

分子为0且分母不为0（00BA ） 

④分式值为正或大于0：

分子分母同号（00BA或

00BA） 

⑤分式值为负或小于0：

分子分母异号（00BA或

00BA） 

⑥分式值为1：

分子分母值相等（A=B） 

⑦分式值为-1：

分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：

分式的基本性质 

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：

CBCABA，CBC

ABA，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：

分式的符号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 

BBABBAAA 

注意：

在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐

含条件B0。

 知识点四：

分式的约分 

定义：

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：

把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

 注意：

①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

       ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：

最简分式的定义 

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

 知识点五：

分式的通分 

① 分式的通分：

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：

取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

 确定最简公分母的一般步骤：

 Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； 

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：

分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：

dbcadcba

分式除以分式：

把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为 

cc

bdadbadcba 

② 分式的乘方：

把分子、分母分别乘方。

式子 n

nn

baba

③ 分式的加减法则：

同分母分式加减法：

分母不变，把分子相加减。

式子表示为 

cbacbca 

异分母分式加减法：

先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为 

bdbcaddcba 

整式与分式加减法：

可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：

在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解

题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分

析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

知识点六整数指数幂 

① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。

即 任何不等于零的数的零次幂都等于1） 

其中m，n均为整数。

 科学记数法 若一个数x是0

的数，则可以表示为n

10a（10a1，即

a的

整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。

如0.000000125=-7

101.25 

 若一个数x是x>10的数则可以表示为n10a（10a1，即a

的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。

如120 000 000=8

101.2 

7个0 

9个数字 

知识点七分式方程的解的步骤 

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程） 

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：

①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

 知识点八列分式方程 基本步骤 

① 审—仔细审题，找出等量关系。

 ② 设—合理设未知数。

③ 列—根据等量关系列出方程（组）。

 ④ 解—解出方程（组）。

注意检验 ⑤ 答—答题。