人教版高中数学必修2第三章直线的倾斜角与斜率同步教案1.docx

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人教版高中数学必修2第三章直线的倾斜角与斜率同步教案1

直线的倾斜角与斜率辅导教案

学生姓名

性别

年级

高二

学科

数学

授课教师

上课时间

年月日

第（）次课

共（）次课

课时：

2课时

教学课题

人教版必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率同步教案1

教学目标

知识目标：

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。

能力目标：

具备较强的运算求解能力及应用意识。

情感态度价值观：

享受数学学习

教学重点与难点

1、直线的倾斜角和斜率的概念

2、两点的直线斜率的计算公式

3、直线平行与垂直

（一）倾斜角与斜率

知识梳理

定义

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，____轴正向与直线l向_____方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．

规定

当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__________.

记法

α

图示

范围

0°≤α<180°

作用

（1）

用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__________

（2）

确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：

直线上的一个定点以及它的__________，二者缺一不可

1.倾斜角

[破疑点]　理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：

①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

2.斜率（倾斜角为α）

定义

α≠90°

一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率

α＝90°

斜率不存在

记法

k，即k＝________

范围

________

公式

经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜

率公式为k＝__________

作用

用实数反映了平面直角坐标系内的直线的_________

[破疑点]　①当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于x轴；

②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；

③直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当90°<α<180°时，斜率越大，倾斜角也越大；

④k>0⇔0°<α<90°；k＝0⇔α＝0°；k<0⇔90°<α<180°；k不存在⇔α＝90°.

例题精讲

【题型1、直线的倾斜角的理解】

【例1】

（1）已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是（　　）

A．0°≤β<180°B．15°<β<180°C．15°≤β<180°D．15°≤β<195°

（2）已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为________．

【方法总结】

1.理解直线的倾斜角首先要弄清以下几个问题：

（1）倾斜角定义中含有三个条件：

①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

（2）从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．

（3）直线的倾斜角α的取值范围是：

0°≤α＜180°.

2．求直线倾斜角的方法及关注点：

（1）方法

定义法：

根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．

分类法：

根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论：

α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.

（2）关注点

结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．

【题型2、已知两点坐标求倾斜角和斜率】

【例2】求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角．

（1）（－3,0），（－2，

）；

（2）（1，－2），（5，－2）；

（3）（3,4），（－2,9）；（4）（3,0），（3，

）．

【方法总结】

1.对直线斜率公式的认识：

直线的斜率公式表明了直线相对于x轴正向的倾斜程度，可通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法先求倾斜角，再求斜率要更简便．

2．应用斜率公式时的注意事项：

（1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

（2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

特别提醒：

在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．

【题型3、直线的倾斜角与斜率的综合应用】

【例3】

（1）若三点A（－2,3），B（3，－2），C（

，m）共线，则m的值为________．

（2）已知直线l过点P（－1,2），且与以A（－2，－3），B（3,0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．

【例4】求经过A（m,3），B（1,2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．

【巩固训练】

1.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为（　　）

A.α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°

2.已知坐标平面内三点A（－1,1），B（1,1），C（2，

＋1）．

（1）求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角．

（2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．

3.已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1（2，y1），P2（x2,5），P3（3,1）是此直线上的三点，求x2，y1的值．

4.直线l过点M（－2，m），N（m,4）两点，则直线l的斜率为________．

（二）两条直线平行与垂直的判定

知识梳理

1．平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.

[破疑点]　

（1）当直线l1∥直线l2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．

（2）直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，当k1＝k2时，l1∥l2或l1与l2重合．

（3）对于不重合的直线l1，l2，其倾斜角分别为α，β，有l1∥l2⇔α＝β.

2．垂直

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于_______；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们__________．

[破疑点]　当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．

（1）平行：

倾斜角相同，所过的点不同；

（2）重合：

倾斜角相同，所过的点相同；

（3）相交：

倾斜角不同；

（4）垂直：

倾斜角相差90°.

例题精讲

【题型1、判断两直线平行】

【例1】判断下列各题中的直线l1，l2是否平行：

（1）l1经过点A（－1，－2），B（2,1），l2经过点M（3,4），N（－1，－1）；

（2）l1经过点A（－3,2），B（－3,10），l2经过点M（5，－2），N（5,5）；

（3）l1的倾斜角为60°，l2经过点A（1，

），B（－2，－2

）．

【方法总结】判断两条直线是否平行的步骤

特别提醒：

若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况．

【题型2、判断两条直线的垂直关系】

【例2】判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直：

（1）l1经过点A（－1，－2），B（1,2），l2经过点P（－2，－1），Q（2,1）；

（2）l2经过点A（3,4），B（3,6），l2经过点P（－5,20），Q（5,20）；

（3）l1经过点A（2，－3），B（－1,1），l2经过点C（0，－1），D（4,2）．

【方法总结】两条直线垂直的判定条件：

（1）如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；

（2）两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直．

特别提醒：

若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．

【题型3、两条直线平行与垂直的综合应用】

【例3】已知A（－4,3），B（2,5），C（6,3），D（－3,0）四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．

【方法总结】

（1）在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．

（2）证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．

（3）判断四边形形状，要依据该四边形的特点，且不会产生其他情况．

【例4】已知直线l1经过点A（3，a），B（a－2,3），直线l2经过点C（2,3），D（－1，a－2），若l1⊥l2，求a的值．

【巩固训练】

1.已知直线l1过点A（－1,1）和B（－2，－1），直线l2过点C（1,0）和D（0，－2），试判断直线l1与l2的位置关系．

2.已知四点A（－4,2），B（6，－4），C（12,6），D（2,12），则下面四个结论：

①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD，其中正确结论的序号为（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

3.△ABC的顶点A（5，－1）、B（1,1）、C（2，m），若△ABC为直角三角形，求m的值．

4.已知A（2，a＋1），B（4,2a），C（a＋1,1），D（2a＋1,2），问a为何值时，直线AB和直线CD的位置关系满足；

（1）平行．

（2）垂直．

【课后作业1】

1．如下图，直线l的倾斜角为（　　）

A．45°B．135°C．0°D．不存在

2．已知P1（3,5），P2（－1，－3），则直线P1P2的斜率k等于（　　）

A．2B．1C．

D．不存在

3．下列各组中的三点共线的是（　　）

A．（1,4），（－1,2），（3,5）B．（－2，－5），（7,6），（－5,3）

C．（1,0），（0，－

），（7,2）D．（0,0），（2,4），（－1,3）

4.斜率的绝对值为

的直线的倾斜角为。

5．已知直线l经过A（5，－3）、B（4，y）、C（－1,9）三点，则l的斜率为________，y＝________.

6．如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1、l2的斜率．

【课后作业2】

1．下列说法正确的有（　　）

①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.直线l1的斜率为k1＝－3，直线l2的斜率为k2＝－3，则l1与l2（　　）

A．平行B．垂直C．重合D．平行或重合

3．已知A（－1,1），B（3,3），直线l∥AB，则直线l的斜率为（　　）

A．2B．

C．－2D．－

4．已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为（　　）

A．

B．－

C．aD．－

或不存在

5．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（1,0），C（3,2），则第四个顶点D的坐标为________．

6．判断下列各对直线平行还是垂直：

（1）l1经过点A（0,1），B（1,0），l2经过点M（－1,3），N（2，0）；

（2）l1经过点A（－1，－2），B（1,2），l2经过点M（－2，－1），N（0，－2）；

（3）l1经过点A（1,3），B（1，－4），l2经过点M（2,1），N（2，3）；

（4）l1经过点A（3,2），B（3，－1），l2经过点M（1,1），N（2，1）．