数学知识点人教A版数学必修一第3章《函数的应用》12《用二分法求方程的近似解》示范教案总结.docx

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数学知识点人教A版数学必修一第3章《函数的应用》12《用二分法求方程的近似解》示范教案总结

河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第3章函数的应用-2.示范教案（1.2用二分法求方程的近似解）

教学分析

求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：

运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.

三维目标

1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.

2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.

3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.

重点难点

用二分法求方程的近似解.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.（情景导入）

师：

（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格

，你如何猜？

生1：

先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.

生2：

这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……

生3：

先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……

师：

在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，（相距大约3500米）电工是怎样检测的呢？

是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？

生：

（齐答）按照生3那样来检测.

师：

生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）.

思路2.（事例导入）

有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.（让同学们自由发言，找出最好的办法）

解：

第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.

第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.

第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.

其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？

推进新课

新知探究

提出问题

①解方程2x-16=0.

②解方程x2-x-2=0.

③解方程x3-2x2-x+2=0.

④解方程（x2-2）（x2-3x+2）=0.

⑤我们知道，函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？

⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间?

⑦什么叫二分法?

⑧试求函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内零点的近似值.

⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.

⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.

讨论结果：

①x=8.

②x=-1,x=2.

③x=-1,x=1,x=2.

④x=

x=

x=1,x=2.

⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以

得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=

称为区间（a,b）的中点〕

⑥比如取区间（2，3

）的中点2.5,用计算器算得f（2.5）<0,因为f（2.5）·f（3）<0,所以零点在区间（2.5,3）内.

⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法（bisection）.

⑧因为函数f（x）=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f（x）=lnx+2x-6的对应值表.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f（x）

-4

-1.3

06

1.0986

3.3863

5.6094

7.7918

9.9459

12.0794

14.1972

由表可知，f

（2）<0,f（3）>0,则f

（2）·f（3）<0，这说明f（x）在区间内有零点x0，取区间（2，3）的中点x1=2.5,用计算器算得f（2.5）≈-0.084，因为f（2.5）·f（3）<0，所以x0∈（2.5,3）.

同理,可得表（下表）与图象（如图3-1-2-1）.

区间

中点的值

中点函数的近似值

（2，3）

2.5

-0.084

（2.5,3）

2.75

0.512

（2.5,2.75）

2.625

0.215

（2.5,2.625）

2.5625

0.066

（2.5,2.5625）

2.53-1-2-5

-0.009

（2.53-1-2-5,2.5625）

2.546875

0.029

（2.53-1-2-5,2.546875）

2.5390625

0.010

（2.53-1-2-5,2.5390625）

2.53515625

0.001

图3-1-2-1

由于（2,3）（2.5,3）（2.5,2.75）,所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（见上表）.这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f（x）=lnx+2x-6零点的近似值.

⑨给定精度ε，用二分法求函数f（x）的零点近似值的步骤如下：

1°确定区间［a,b］，验证f（a）·f（b）<0，给定精度ε.

2°求区间（a,b）的中点c.

3°计算f（c）:

a.若f（c）=0，则c就是函数的零点；

b.若f（a）·f（c）<0，则令b=c〔此时零点x0∈（a,c）〕；

c.若f（c）·f（b）<0，则令a=c〔此时零点x0∈（c,b）〕.

4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤2°~4°．

⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.

应用示例

思路1

例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度为0.1）.

活动：

①师生共同探讨交流，引出借助函数f（x）=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并根据f

（1）<0,f

（2）>0,可得出根所在区间（1,2）；

②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；

③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；

④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；

⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.

学生简述上述求方程近似解的过程.

解：

原方程即2x+3x-7=0,令f（x）=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f（x）=2x+3x-7的对应值表与图象（3-1-2-2）.

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

f（x）

-6

-2

3

10

21

40

75

142

273

图3-1-2-2

观察图表可知f

（1）·f

（2）<0,说明这个函数在区间（1，2）内有零点x0.

取区间（1，2）的中点x=1.5,用计算器算得f（1.5）≈0.33.

因为f

（1）·f（1.5）<0,所以x0∈（1,1.5）.

再取区间（1，1.5）的中点x=1.25,用计算器算得f（1.25）≈-0.87.

因为f（1.25）·f（1.5）<0,

所以x0∈（1.25,1.5）.

同理,可得，x0∈（1.375,1.5），x0∈（1.375,1.4375）.

由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,

所以，原方程的近似解可取为1.4375.

例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解（精确度0.1）．

活动：

教师帮助学生分析:

画出函数f（x）=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间（2，3）内，另一个根x2在区间（-1，0）内.

根据图象，我们发现f

（2）=-1<0，f（3）=2>0，这表明此函数图象在区间（2，3）上穿过x轴一次，即方程f（x）=0在区间（2，3）上有唯一解.

图3-1-2-3

计算得f（

）=

>0，发现x1∈（2，2.5）（如图3-1-2-3），这样可以进一步缩小x1所在的区间.

解：

设f（x）=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.

因为f

（2）=-1<0，f（3）=2>0，

所以在区间（2，3）内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.

取2与3的平均数2.5，因为f（2.5）=0.25>0，

所以2

再取2与2.5的平均数2.25，因为f（2.25）=-0.4375<0，

所以2.25

如此继续下去，得f

（2）<0，f（3）>0

x1∈（2,3）,

f

（2）<0,f（2.5）>0

x1∈（2,2.5）,

f（2.25）<0，f（2.5）>0

x1∈（2.25,2.5）,

f（2.375）<0，f（2.5）>0

x1∈（2.375,2.5）,

f（2.375）<0，f（2.4375）>0

x1∈（2.375,2.4375）.

因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.

点评：

利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.

思路2

例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解（精确度0.1）.

活动：

学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.

分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间（2，3）内.

图3-1-2-4

解：

设f（x）=lgx+x-3，设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.

用计算器计算，得

f

（2）<0，f（3）>0

x1∈（2,3），

f（2.5）<0，f（3）>0

x1∈（2.5,3），

f（2.5）<0，f（2.75）>0

x1∈（2.5,2.75），

f（2.5）<0，f（2.625）>0

x1∈（2.5,2.625），

f（2.5625）<0，f（2.625）>0

x1∈（2.5625,2.625）.

因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.

例2求方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根（精确度0.1）.

解：

设f（x）=lnx-2x+3

则原方程的根为函数f（x）的零点.

设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.

如图3-1-2-5,因为f

（1）=1,f

（2）=-0.306852819,

所以f

（1）f

（2）<0,即函数f（x）在［1,2］内有一个零点.根据

二分法，用计算器得出以下表格：

x

y

1

1

2

-0.306852819

3

-1.901387711

4

-3.613705639

5

-5.390562088

6

-7.208240531

7

-9.054089851

8

-10.92055846

（步长为1）

x

y

1

1

1.5

50.405465108

2

-0.306852819

2.5

-1.083709268

3

-1.901387711

3.5

-2.747237032

4

3.613705639

4.5

-4.495922603

（步长为0.5）

x

y

1

1

1.25

0.723143551

1.5

0.405465108

1.75

0.059615787

2

-0.306852819

2.25

-0.689069783

2.5

-1.083709268

2.75

-1.488399088

（步长为0.25）

x

y

1

1

1.125

0.867783035

1.25

0.723143551

1.375

0

.568453731

1.5

0.405465108

1.625

0.235507815

1.75

0.059615787

1.875

-0.12139134

（步长为0.125）

x

y

1.5

0.405465108

1.5625

0.3-2-1-287102

1.625

0.235507815

1.6875

0.148248143

1.75

0.059615787

1.8125

-0.030292892

1.875

-0.12139134

1.9375

-0.213601517

（步长为0.0625）

由上述表格可以得到下表与图象3-1-2-5:

区间

中点的值

中点函数近似值

（1,2）

1.5

0.405465108

（1.5,2）

1.75

0.059615787

（1.75,2）

1.875

-0.12139134

（1.75,1.875）

1.8125

-0.030292892

图3-1-2-5

因为f（1.75）=0.059

615787>0,f（1.8125）=-0.030292892<0,

所以x1∈（1.75,1.8125）.

由于|1.8125-1.75|=0.0625<0.1,

所以区间（1.75,1.8125）内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根.

点评：

①先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.

②二分法,即逐渐逼近的方法.

③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易.

知能训练

1.根据下表中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为（）

x

-1

0

1

2

3

ex

0.37

1

2.27

7.39

20.0

x+2

1

2

3

4

5

A.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）

2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

答案:

1.C.设f（x）=ex-x-2,f

（1）<0,f

（2）>0,即f

（1）f

（2）<0,∴x∈（1,2）.

2.C.设f（x）=2x-x2（下表）,画出函数y=2x与y=x2的图象（图3-1-2-6）.

x

-1

0

1

2

3

4

5

f（x）

-0.5

1

1

2

-1

0

7

图3-1-2-6

由图与表,知有三个根.

拓展提升

从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？

（此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识）

答案:

至少需要检查接点的个数为4.

课堂小结

活动：

学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.

引导方法：

从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.

①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.

②思想方法：

函数方程思想、数形结合

思想.

作业

课本P92习题3.1A组1、3.

设计感想

“猜价格”的游戏深受人们的喜欢,它是二分法的具体应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用.本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性.

习题详解

（课本第88页练习）

1.

（1）令f（x）=-x2+3x+5,作出函数f（x）的图象（图3-1-2-7

（1）），它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.

（2）2x（x-2）=-3可化为2x2-4x+3=0，令f（x）=2x2-4x+3,作出函数f（x）的图象（图3-1-2-7

（2）），它与x轴没有交点，所以方程2x（x-2）=-3无实数根.

（3）x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f（x）=x2-4x+4,作出函数f（x）的图象（图3-1-2-7（3）），它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.

（4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f（x）=2x2+2x-5,作出函数f（x）的图象（图3-1-2-7（4）），它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.

图3-1-2-7

2.

（1）作出函数图象（图3-1-2-8

（1））,因为f

（1）=1>0,f（1.5）=-2.875<0,所以f（x）=-x3-3x+5在区间（1,

1.5）上有一个零点.

又因为f（x）是（-∞,+∞）上的减函数，所以f（x）=-x3-3x+5在区间（1,1.5）上有且只有一个零点.

（2）作出函数图象（图3-1-2-8

（2））,因为f（3）<0,f（4）>0,所以f（x）=2x·ln（x-2）-3在区间（3,4）上有一个零点.

又因为f（x）=2x·ln（x-2）-3在（2,+∞）上是增函数,所以f（x）在（3,4）上有且仅有一个零点.

（3）作出函数图象（图3-1-2-8（3））,因为f（0）<0,f

（1）>0,所以f（x）=ex-1+4x-4在区间（0,1）上有一个零点.

又因为f（x）=ex-1+4x-4在（-∞,+∞）上是增函数,所以f（x）在（0,1）上有且仅有一个零点.

（4）作出函数图象（图3-1-2-8（4））,因为f（-4）<0,f（-3）>0,f（-2）<0,f

（2）<0,f（3）>0,所以f（x）=3（x+2）（x-3）（x+4）+x在（-4,-3）,（

-3,-2）,（2,3）上各有一个零点.

图3-1-2-8

（课本第91页练习）

1.由题设可知f（0）=-1.4<0,f

（1）=1.6>0,

于是f（0）·f

（1）<0,

所以函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点x0.

下面用二分法求函数f（x）=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间（0，1）内的零点.

取区间（0，1）的中点x1=0.5,用计算器可算得f（0.5）=-0.55.

因为f（0.5）·f

（1）<0,所以x0∈（0.5,1）.

再取区间（0.5，1）的中点x2=0.75,用计算器可算得f（0.75）≈0.32.

因为f（0.5）·f（0.75）<0,所以x0∈（0.5,0.75）.

同理,可得x0∈（0.625,0.75），x0∈（0.625,0.6875），x0∈（0.65625,0.6875）.

由于|0.6875-0.65625|=0.03125<0.1,

所以原方程的近似解可取为0.65625.

2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f（x）=x+lgx-3,用计算器可算得f

（2）≈-0.70,f（3）≈0.48.于是f

（2）·f（3）<0,

所以这个方程在区间（2,3）内有一个解x0.

下面用二分法求方程x=3-lgx在区间（2,3）的近似解.

取区间（2,3）的中点x1=2.5,用计算器可算得f（2.5）≈-0.10.因为f（2.5）·f（3）<0,所以x0∈（2.5,3）.

再取区间（2.5,3）的中点x2=2.75,用计算器可算得f（2.75）≈0.19.因为f（2.5）·f（2.75）<0,所以x0∈（2.5,2.75）.

同理,可得x0∈（2.5,2.625）,x0∈（2.5625,2.625）,x0∈（2.5625,2.59375）,x0∈（2.578125,2.59375）,x0∈（2.5859375,2.59375）.

由于|2.5859375-2.59375|=0.0078125<0.

01,

所以原方程的近似解可取为2.59375.

（课本第92页习题3.1）

A组

1.A,C

点评：

需了解二分法求函数的近似零点的条件.

2.由x,f（x）的对应值表可得f

（2）·f（3）<0,f（3）·f（4）<0,f（4）·f（5）<0,

又根据“如果函数y=f（x）在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点.”可知函数f（x）分别在区间（2，3），（3，4），（4，5）内有零点.

3.原方程即（x+1）（x-2）（x-3）-1=0,令f（x）=（x+1）（x-2）（x-3）-1,可算得f（-1）=-1,f（0）=5.

于是f（-1）·f（0）<0,

所以这个方程在区间（-1,0）内有一个解.

下面用二分法求方程（x+1）（x-2）（x-3）=1在区间（-1，0）内的近似解.

取区间（-1，0）的中点x1=-0.5,用计算器可算得f（-0.5）=3.375.

因为f（-1）·f（-0.5）<0,所以x0∈（-1,-0.5）.

再取（-1，-0.5）的中点x2=-0.75,用计算器可算得f（-0.75）≈1.58.

因为f（-1）·f（-0.75）<0,所以x0∈（-1,-0.75）.

同理,可得x0∈（-1,-0.875），x0∈（-0.9375,-0.875）.

由于|（-0.875）-（-0.9375）|=0.0625<0.1,

所以原方程的近似解可取为-0.9375.

4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f（x）=0.8x-1-lnx,f（0）没有意义，用计算器算得f（0.5）≈0.59,f

（1）=-0.2.

于是f（0.5）·f

（1）<0,

所以这个方程在区间（0.5,1）内有一个解.

下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间（0，1）内的近似解.

取区间（0.5，1）的中点x1=0.75,用计算器可算得f（0.75）≈0.13.

因为f（0.75）·f

（1）<0,所以x0∈（0.75,1）.

再取（0.75,1）的中点x2=0.875,用计算器可算得f（0.875）≈-0.04.

因为f（0.875）·f（0.75）<0,所以x0∈（0.75,0.875）.

同理,可得x0∈（0.8125