高中数学 幂函数零点与函数的应用 板块二 函数的零点完整讲义学生版.docx
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高中数学幂函数零点与函数的应用板块二函数的零点完整讲义学生版
2019-2020年高中数学幂函数、零点与函数的应用板块二函数的零点完整讲义（学生版）
典例分析
题型一：
函数的零点
【例1】若，则方程的根是（）
A．B．－C．2D．－2
【考点】函数的零点【难度】1星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】A
【例2】若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是（）.
A.B.C.D.
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例3】已知函数，若在上存在，使，则实数m的取值范围是.
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】填空
【关键词】无
【解析】∵在上存在，使，则，
∴，解得.
所以，实数m的取值范围是.
点评：
根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式
【答案】
【例4】函数的零点所在区间为（）
A.（1，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，3）
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】C
【例5】函数的零点一定位于区间（）.
A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】易知函数在定义域内是增函数.
∵，
，.
∴，即函数的零点在区间（2,3）.所以选B.
【答案】B
【例6】函数的零点必落在区间（）
A.B.C.D.（1,2）
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】选择
【关键词】xx年，泉州市，高考模拟
【解析】
【答案】C
【例7】函数的零点所在的区间为（）
.A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例8】若函数
有两个零点，则实数a的取值范围是.
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】填空
【关键词】xx年，山东文，高考
【解析】设函数且和函数,则函数
有两个零点,就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点（0,1）,而直线所过的点（0，a）一定在点（0,1）的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.
【答案】
【例9】利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；
（2）.
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】
（1）易知函数在定义域R上是减函数.
用计算器或计算机作出的对应值表或图象.
-3
-2
-1
0
1
2
3
34
13
4
1
-2
-11
-32
由列表或图象可知，，，即，说明函数在区间内有零点，且仅有一个.所以函数的零点所在大致区间为.
（2）易知函数在定义域R上是增函数.
用图形计算器或计算机作出图象.
由图象可知，，，即，说明函数在区间内有零点，且仅有一个.所以函数的零点所在大致区间为.
【答案】
（1）
（2）
【例10】已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点
【例11】画出函数的图象，判断函数在以下区间（-1.5，-1），（0，0.5），（0.8，1.5）内有无零点，并判断零点的个数.
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】通过作出、的对应值表（如下）.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.25
2
2.25
1
-0.25
0
3.25
所以图象为
由上表和上图可知，，，即，说明这个函数在区间内有零点.同样，它在区间（0，0.5）内也有零点.另外，，所以1也是它的零点.由于函数在定义域和（1，）内是增函数，所以它共有3个零点.．
【答案】共有3个零点
【例12】求函数的零点，并画出它的图象.
【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】因为
所以函数的零点为-1，1，2
3个零点把x轴分成4个区间：
（-∞，-1）、（-1，1）、（1，2）、（2，+∞）.
在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-4.38
0
1.88
2
1.13
2
-0.63
0
2.63
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.
【答案】零点为-1，1，2
【例13】函数的图象是在R上连续不断的曲线，且，则在区间上（）.
A.没有零点B.有2个零点
C.零点个数为偶数D.零点个数为k，
【考点】函数的零点【难度】3星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】D
【例14】已知函数和在的图象如下所示：
给出下列四个命题：
①方程有且仅有6个根②方程有且仅有3个根
③方程有且仅有5个根④方程有且仅有4个根
其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.
【考点】函数的零点【难度】3星【题型】填空
【关键词】xx年，北京市石景山，高考一模
【解析】
【答案】①③④
【例15】若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是
A.B.
C.D.
【考点】函数的零点【难度】3星【题型】选择
【关键词】xx年，福建文，高考
【解析】的零点为,的零点为,的零点为,的零点为.现在我们来估算的零点，因为,,所以g（x）的零点x（0,）,又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
【答案】A
题型二：
二次函数的零点与方程
函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.
【例16】函数的零点个数（）.
A.0个B.1个C.2个D.不能确定
【考点】二次函数的零点与方程【难度】1星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】C
【例17】函数的零点是.
【考点】二次函数的零点与方程【难度】1星【题型】填空
【关键词】无
【解析】
【答案】2或3
【例18】方程的两根都大于2，求实数a的取值范围
【考点】二次函数的零点与方程【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】令
，要使的两根都大于2，则应满足
解得
∴
即.
【答案】
【例19】若方程
的根都为正数，求m的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】
（1）当此方程为一次方程时，即时，方程的根为，满足题意
（2）当m≠1时，依题意有
，解得0＜＜1
综上，m的取值范围是（0,1].
【答案】（0,1].
【例20】若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】由题意，k≠0，∴
解得或k＞3.
【答案】或k＞3
【例21】关于的方程的两个实根、满足，则实数m的取值范围。
【考点】二次函数的零点与方程【难度】2星【题型】填空
【关键词】无
【解析】设
，则
，
即：
，解得：
．
【答案】
【例22】已知关于x的方程的两个实根和，满足，求实数的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】本题根据根的判别式和韦达定理也可以求出，但比较麻烦，现在利用函数以及函数的图象来解，非常容易.
令
要使方程的两个实根满足
∵的开口向上，∴只需即可
即：
×
即，解得，
即的取值范围为
【答案】
【例23】已知二次方程的两个根分别属于（-1,0）和（0,2）,求的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】设=，则=0的两个根分别属于（-1,0）和（1,2）.
所以，即，∴．
【答案】
【例24】已知m∈R，函数恒有零点，求实数a的取值范围。
【考点】二次函数的零点与方程【难度】3星【题型】解答
【关键词】无
【解析】
（1）当时，解得恒有解，此时；．
（2）当时，∵，即恒有解，
∴恒成立，
令
∵恒成立，
∴，解得,
综上所述知，当时，；
当时，.
【答案】当时，；
当时，
【例25】若函数在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求区间[a，b].
【考点】二次函数的零点与方程【难度】3星【题型】解答
【关键词】无
【解析】的最大值只能是，或f（a），或f（b），f（x）的最小值只能是或其中之一，令，且，即可得关于a、b的方程组，解出a、b的值.
当a值由负值增大到正值时，区间[a，b]在x轴上自左向右移动，因此在求的最值时，须按区间[a，b]的位置分类求解.
图象顶点坐标为，，.
（1）当a由在[a，b]上单调递增得，f（a）=2a，且f（b）=2b，即
于是a、b是二次方程的两个负根，但此方程两根异号，故区间[a，b]不存在
（2）当时，
在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，因而在处取得最大值，
在区间端点或处取得最小值，即
则
，
∴，解得，于是得区间.
（3）当时
由在[a，b]上单调递减得，，且，即
解得或（舍去），即得区间[1，3].
综上所述，所求区间为[1，3]或
【答案】[1，3]或
【例26】已知关于x的二次方程。
（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围.
（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围.
【考点】二次函数的零点与方程【难度】3星【题型】解答
【关键词】无
【解析】
（1）条件说明抛物线与x轴的交点分别在区间和内，画出示意图，得
∴.
（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组
（这里0＜－m＜1是因为对称轴应在区间（0，1）内通过）
得到
【答案】
（1）
（2）
【例27】已知
：
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程【难度】3星【题型】解答
【关键词】无
【解析】
（1）
，解得且.
（2）或.解得.
【答案】
【例28】已知二次函数为常数，且满足条件：
，且方程有等根
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m，n］和
［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由
【考点】二次函数的零点与方程【难度】3星【题型】解答
【关键词】无
【解析】
（1）∵方程有等根，∴，得b=2．
由知此函数图象的对称轴方程为，得，
故．
（2），∴4n1，即
而抛物线的对称轴为∴时，在［m，n］上为增函数
若满足题设条件的m，n存在，则，
又，∴，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］
由以上知满足条件的m、n存在，．
【答案】
（1）
（2）
【例29】若关于x的方程
有唯一的实根，求实数a的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程【难度】3星【题型】解答
【关键词】无
【解析】法一
原方程等价于即
令=+12+6+3
（1）若抛物线=与轴相切，
有Δ=144－4（6+3）=0即=.
将=代入式有=－6不满足式，∴≠.
（2）若抛物线=与轴相交，
注意到其对称轴为=－6，
故交点的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件是：
解得.
∴当时原方程有唯一解.
法二
原方程等价于
③
问题转化为：
求实数的取值范围，
使直线与抛物线
有且只有一个公共点.
虽然两个函数图象都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，
可将③变形为+12+3=－6（＜－20或>0），
再在同一坐标系中分别也作出抛物线=+12+3和直线=－6，
如图，显然当3＜－6≤163，时，
直线=－6与抛物线有且只有一个公共点.
【答案】
题型三：
函数的图像与方程
【例30】方程在下列的哪个区间内有实数解（）.
A.B.C.D.
【考点】函数的图象与方程【难度】1星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例31】有解的区域是（）
A． B． C．D．
【考点】函数的图象与方程【难度】1星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例32】若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象与方程【难度】1星【题型】选择
【关键词】无
【解析】令，得：
，∵，∴，即．
【答案】A
【例33】函数零点的个数为.
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】3
【例34】当时，函数的值有正值也有负值，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】D
【例35】关于x的方程有解，则a的取值范围是。
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】显然有，原方程可化为
∴．
【答案】
【例36】已知函数的图象如下，则（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
，．
当时，，当时，，∴，故，
答案为A．
【答案】A．
【例37】是方程的解，则这三个数的大小关系是。
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】
在同一坐标系中作出函数和的图象，
可以看出：
，，∴，∴
【答案】
【例38】函数的图象与轴交点的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】令，
∵∴，解得或
即方程只有两个实数根
【答案】B
【例39】若关于的方程有负根，则实数的取值范围是
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】填空
【关键词】无
【解析】由得：
，解得：
．
【答案】
【例40】关于x的不等式，当时恒成立，则实数的取值范围为
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】设，则t∈［1，3］，
原不等式可化为：
，
等价于大于的最大值
∵在[1，3]上为减函数，∴
∴，解得：
．
【答案】
【例41】直线与曲线的公共点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】将代入得：
，显然该关于的方程有两正解，故关于的方程有四解，所以交点有4个，答案D
【答案】Ｄ
【例42】若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是.
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】设函数，由题意可知，函数在内恰有一个零点.
∴，解得.
【答案】
【例43】试判断方程的实数解的个数是多少
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】本题是一个超越方程，对这类方程用解方程的办法无法求出方程的解.可以构造函数，直接用数形结合看图象来得出结论
令，，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图：
可以很明显的看到图象有两个交点.所以原方程的实数解的个数为2个.
【答案】2
【例44】试判断方程实根的个数.
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】本题利用先去根号，在讨论一元二次方程的根的个数的方法也能做，但步骤较繁复，而且容易出错，不如利用函数的图象简单明了.
令，，如下图所示在同一直角坐标系内画出两函数的图象：
由图可知：
当，即时，函数有两个交点，即方程有2个实根；
当，即时，函数有3个交点，即方程有3个实根；
当，即时，函数有4个交点，即方程有4个实根；
当，即时，函数有2个交点，即方程有2个实根；
当，即时，函数没有交点，即方程没有实数根；
综上所述：
当时，方程有4个实根；当时，方程有3个实根；当或时，方程有2个实根；当时，方程没有实根.
【答案】当时，方程有4个实根；当时，方程有3个实根；当或时，方程有2个实根；当时，方程没有实根.
【例45】若为方程的解，为不等式的解，为方程的解，则、、从小到大依次为；
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】填空
【关键词】无
【解析】，，在同一坐标系内作出函数和函数的图象，可以看出，答案为
【答案】
【例46】设依次是方程，，的实数根，试比较的大小．
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】解答
【关键词】无
【解析】在同一坐标内作出函数，
，的图象
从图中可以看出，
又，故
【答案】
【例47】求证方程在内必有一个实数根.
【考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择
【关键词】无
【解析】设函数.由函数的单调性定义，可以证出函数在是减函数.
而，，即，说明函数在区间内有零点，且只有一个.所以方程在内必有一个实数根.
点评：
等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化.此题可变式为研究方程的实根个数.
【答案】设函数.由函数的单调性定义，可以证出函数在是减函数.
而，，即，说明函数在区间内有零点，且只有一个.所以方程在内必有一个实数根
【例48】三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：
“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：
“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：
“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围
是．
【考点】函数的图象与方程【难度】3星【题型】填空
【关键词】无
【解析】∵，∴原不等式可化为：
当时，和同时取到最小值5，故．
【答案】
【例49】已知函数的图象与直线只有一个公共点，求这个公共点的坐标．
【考点】函数的图象与方程【难度】3星【题型】选择
【关键词】无
【解析】由，得
因为两个图象只有一个公共点，所以，解得：
当时，，；
当时，
当时，公共点的坐标是；
当时，公共点的坐标是．
【答案】当时，公共点的坐标是；
当时，公共点的坐标是．
题型四：
函数零点的应用
【例50】若关于x的方程有实根，求实数a的取值范围．
【考点】函数的零点的应用【难度】3星【题型】选择
【关键词】无
【解析】设，则原方程可变为①
原方程有实根，即方程①有正根．
令
（1）方程①有两个正实根，则
解得；
（2）方程①有一个正实根和一个负实根，则，解得：
．
综上：
【答案】
【例51】已知关于的方程
有两个不同的实根，求的取值范围.
【考点】函数的零点的应用【难度】3星【题型】解答
【关键词】无
【解析】设，原方程化为：
，即
…………………………①
原问题等价于方程①有两个不同的正根，
解得：
.
【答案】
【例52】已知，t∈[，8]，对于值域内的所有实数m，不等式恒成立，求的取值范围．
【考点】函数的零点的应用【难度】3星【题型】解答
【关键词】无
【解析】∵t∈[，8]，∴∈[，3]，∴∈[，3]．
原题转化为：
>0恒成立，
当时，不等式不成立．
∴，令，m∈[，3]，
则：
，解得：
．
∴的取值范围为．
【答案】
【例53】已知函数
若则与的大小关系为
【考点】函数的零点的应用【难度】3星【题型】选择
【关键词】无
【解析】其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，
∵，与的中点在（－1，）之间，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∴，答案为A．
【答案】
【例54】若对于任意，函数
的值恒大于零, 则的取值范围是。
【考点】函数的零点的应用【难度】3星【题型】选择
【关键词】无
【解析】设，显然，
则
，即，解得：
．
【答案】
【例55】设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（）
A．0B．9C．12D．18
【考点】函数的零点的应用【难度】3星【题型】选择
【关键词】无
【解析】由知的图象有对称轴，方程的6个根在轴上对应的点关于直线对称，依次设为
，故6个根的和为18，答案为D．
【答案】
【例56】已知，（、、∈R），则有（）
A．B．C．D．
【考点】函数的零点的应用【难度】3星【题型】选择
【关键词】无
【解析】提示一：
依题设有
∴是实系数一元二次方程的一个实根；
∴△＝≥0∴，答案为B．
提示二：
去分母，移项，两边平方得：
＋＝20．
∴，答案为B．
【答案】B
【例57】已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是（）
A．3B．4C．5D．6
【考点】函数的零点的应用【难度】3星【题型】选择
【关键词】无
【解析】由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出与的图象，可以看出，交点个数为4．
【答案】B
【例58】关于的方程，给出下列四个命题：
1当时，方程恰有2个不同的实根；
2当时，方程恰有5个不同的实根；
3当时，方程恰有4个不同的实根；
4当时，方程
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