初中数学二次函数学案合集.docx
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初中数学二次函数学案合集
第1课时26.1二次函数
一、阅读教科书第4—6页上方
二、学习目标：
1．知道二次函数的一般表达式；
2．会利用二次函数的概念分析解题；
3．列二次函数表达式解实际问题．
三、知识点：
一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．
四、基本知识练习
1．观察：
①y＝6x2；②y＝－
x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．
2．函数y＝（m－2）x2＋mx－3（m为常数）．
（1）当m__________时，该函数为二次函数；
（2）当m__________时，该函数为一次函数．
3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？
哪些不是？
若是二次函数，请指出各项对应项的系数．
（1）y＝1－3x2
（2）y＝3x2＋2x（3）y＝x（x－5）＋2
（4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋
五、课堂训练
1．y＝（m＋1）x
－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（）
A．y＝x＋
B．y＝3（x－1）2C．y＝（x＋1）2－x2D．y＝
－x
3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为
s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（）
A．28米B．48米C．68米D．88米
4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．
5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．
求：
（1）函数y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值；
（3）当y＝－
时，x的值．
6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
六、目标检测
1．若函数y＝（a－1）x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（）
A．a＝1B．a＝±1C．a≠1D．a≠－1
2．下列函数中，是二次函数的是（）
A．y＝x2－1B．y＝x－1C．y＝
D．y＝
3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．
4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．
第5课时二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
一、阅读课本：
第12页～第13页上方．
二、学习目标：
1．会画二次函数的顶点式y＝a（x－h）2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质；
3．会应用二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质解题．
三、探索新知：
画出函数y＝－
（x＋1）2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．
列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y＝－
（x＋1）2－1
…
…
由图象归纳：
1．
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－
（x＋1）2－1
2．把抛物线y＝－
x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－
（x＋1）2－1．
四、理一理知识点
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a（x-h）2
y＝a（x－h）2＋k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴右侧）
2．抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．
五、课堂练习
1．
y＝3x2
y＝－x2＋1
y＝
（x＋2）2
y＝－4（x－5）2－3
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
2．y＝6x2＋3与y＝6（x－1）2＋10_____________相同，而____________不同．
3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝
x2相同的解析式为（）
A．y＝
（x－2）2＋3B．y＝
（x＋2）2－3
C．y＝
（x＋2）2＋3D．y＝－
（x＋2）2＋3
4．二次函数y＝（x－1）2＋2的最小值为__________________．
5．将抛物线y＝5（x－1）2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．
6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．
7．若抛物线y＝a（x－1）2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为
__________________．
六、目标检测
1．
开口方向
顶点
对称轴
y＝x2＋1
y＝2（x－3）2
y＝－（x＋5）2－4
2．抛物线y＝－3（x＋4）2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．
3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）
ABCD
4．将抛物线y＝2（x＋1）2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．
5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）
第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
一、阅读课本：
第14页～第15页上方．
二、学习目标：
1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．
三、探索新知：
1．求二次函数y＝
x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．
解：
将函数等号右边配方：
y＝
x2－6x＋21
2．画二次函数y＝
x2－6x＋21的图象．
解：
y＝
x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．
列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝
x2－6x＋21
…
…
3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．
四、理一理知识点：
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a（x－h）2
y＝a（x－h）2＋k
y＝ax2＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
五、课堂练习
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．
六、目标检测
1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝
x2－2－1的顶点坐标．
2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．
第7课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
一、复习知识点：
第6课中“理一理知识点”的内容．
二、学习目标：
1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；
2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
三、基本知识练习
1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________，与x轴的交点坐标____________．
2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________．
3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________．
4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．
5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________，
△＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________．
四、知识点应用
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物
线与x轴交点的横坐标）．
例1求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．
2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵
坐标）．
例2求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．
3．a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
（1）a决定：
开口方向、形状
（2）c决定与y轴的交点为（0，c）
（3）b与－
共同决定b的正负性
（4）△＝b2－4ac
例3如图，由图可得：
a_______0
b_______0
c_______0
△______0
例4已知二次函数y＝x2＋kx＋9．
①当k为何值时，对称轴为y轴；
②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．
五、课后练习
1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．
2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．
3．如图：
由图可得：
a_______0
b_______0
c_______0
△＝b2－4ac______0
六、目标检测
1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．
2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．
3．如图：
由图可得：
a_________0
b_________0
c_________0
△＝b2－4ac_________0
第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法
一、学习目标：
1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．实际问题中求二次函数解析式．
二、课前基本练习
1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．
2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．
3．将抛物线y＝－（x－1）2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的
解析式为____________________．
4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－
x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解
析式为________________________________．
三、例题分析
例1已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
例2已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
例3已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．
求抛物线的解析式．
四、归纳
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．
2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a（x－h）2＋k．
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），
设两根式：
y＝a（x－x1）（x－x2）．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
五、实际问题中求二次函数解析式
例4要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
六、课堂训练
1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次
函数的解析式．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与
y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？
写出函数关系式及t的取值范围．
七、目标检测
1．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．
第9课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
一、阅读教科书：
P15的探究
二、学习目标：
几何问题中应用二次函数的最值．
三、课前基本练习
1．抛物线y＝－（x＋1）2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
2．抛物线y＝
x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
四、例题分析：
（P15的探究）
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？
五、课后练习
1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：
m）与小球运动时间t（单位：
s）之间的关系式是h＝30t－5t2．小球运动的时间是多少时，小球最高？
小球运动中的最大高度是多少？
3．如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
4．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？
六、目标检测
如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形．当
点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
第11课时实际问题与二次函数
商品价格调整问题
一、阅读课本：
第25～26页上方（探究1）
二、学习目标：
1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；
2．会应用二次函数的性质解决问题．
三、探索新知
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：
如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：
调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？
解：
（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．
（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．
四、课堂训练
1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？
2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月
份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：
上市时间x/（月份）
1
2
3
4
5
6
市场售价P（元/千克）
10.5
9
7.5
6
4.5
3
这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．
（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；
（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；
（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？
最大值为多少？
（收益＝市场售价－种植成本）
五、目标检测
某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：
（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？
最大值是多少？
第12课时实际问题与二次函数
一、阅读课本：
第27页探究3
二、学习目标：
1．会建立直角坐标系解决实际问题；
2．会解决桥洞水面宽度问题．
三、基本知识练习
1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线
的关系式为___________________________________．
2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－
x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为
12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（）
A．3mB．2
mC．4
mD．9m
3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4
米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4
米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
四、课堂练习
1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
（2）求支柱MN的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？
请说说你的理由．
2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：
前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：
如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？
若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
第13课时二次函数综合应用
一、复习二次函数的基本性质
二、学习目标：
灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题．
三、课前训练
1．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（）
2．如图：
（1）当x为何范围时，y1＞y2?
（2）当x为何范围时，y1＝y2?
（3）当x为何范围时，y1＜y2?
3．如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的
图象，则a＝____________．
4．若A（－
，y1），B（－1，y2），C（
，y3）为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
5．抛物线y＝（x－2）（x＋5）与坐标轴的交点分别为A、B、C，则△ABC的面积为__________．
6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线做匀速运动．当点P运动到点D时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．
（1）求点P从点A运动到点D所需的时间．
（2）设点P运动时间为t（秒）
①当t＝5时，求出点P的坐标．
②若△OAP的面积为S，试求出S与
t之间的函数关系式（并写出相应
的自变量t的取值范围）．
五、目标检测
如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A（－1，0），B（3，0）两交点，且交y轴于
点C．
（1）求b、c的值；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．
第4课时二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质
一、阅读课本：
P10—11
二、学习目标：
1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；
2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；
三、探索新知：
画出二次函数y＝－
（x＋1）2，y－
（x－1）2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．
先列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－
（x＋1）2
…
…
y＝－
（x－1）2
…
…
描点并画图．
1．观察图象，填表：
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－
（x＋1）2
y＝－
（x－1）2
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