新步步高学年高二物理人教版选修34导学案第十一章 第3讲 简谐运动的回复力和能量 Word版含.docx

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第3讲　简谐运动的回复力和能量

[目标定位]　1.知道回复力的概念，了解它的来源.2.理解从力的角度来定义的简谐运动.3.理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、能量等各物理量的变化规律.4.知道简谐运动中机械能守恒，能量大小与振幅有关．会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律．

一、简谐运动的回复力

1．简谐运动的动力学定义：

如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．

2．回复力：

由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力．

3．弹簧振子的回复力与位移的关系：

F＝－kx，式中k是弹簧的劲度系数．

想一想　回复力是不是除重力、弹力、摩擦力等之外的一种新型的力？

它有什么特点？

答案　不是．回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不是一种新型力，所以分析物体的受力时，不分析回复力．

回复力可以由某一个力提供（如弹力），也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力．

二、简谐运动的能量

1．如果摩擦等阻力造成的损耗可以忽略，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的．

2．简谐运动是一种理想化的模型．

想一想　弹簧振子在振动过程中动能与势能相互转化，振子的位移x、回复力F、加速度a、速度v四个物理量中有哪几个与动能的变化步调一致？

答案　只有速度v.

一、简谐运动的回复力

1．对回复力的理解

（1）回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力．

（2）简谐运动的回复力：

F＝－kx

①k是比例系数，并非弹簧的劲度系数（水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数），其值由振动系统决定，与振幅无关．

②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．

③x是指质点对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量．

④回复力的作用总是把物体拉向平衡位置．

2．简谐运动的加速度

据牛顿第二定律，a＝

＝－

x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．

说明：

k是比例系数，不能与弹簧的劲度系数相混淆．

3．判断振动为简谐运动的方法

（1）运动学方法：

找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图象（x－t图象）是一条正弦曲线，就可判定此振动为简谐运动．

（2）动力学方法：

若回复力F与位移x间的关系满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动．

图11－3－1

【例1】　如图11－3－1所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用

B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用

C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大

D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置

解析　回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．

答案　AD

图11－3－2

【例2】　如图11－3－2所示，将一劲度系数为k，原长为L0的轻弹簧的一端固定在倾角为θ的光滑斜面的顶端，另一端连接一质量为m的小球．将小球沿斜面拉下一段距离后松手．证明：

小球的运动是简谐运动．

证明　设小球在弹簧长度为L1时，在平衡位置O，弹簧原长L0，选沿斜面向上为正方向，则由平衡条件得k（L1－L0）－mgsinθ＝0.当小球振动经过O点以上距O点为x处时，受力为F合＝k（L1－L0－x）－mgsinθ，整理得F合＝－kx，因此小球的运动是简谐运动．

二、简谐运动的能量

1．不考虑阻力，弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒．

2．简谐运动的机械能由振幅决定

对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大．如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动．

【例3】　如

图11－3－3

图11－3－3所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.

（1）简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________能相互转化，总机械能________．

（2）振子在振动过程中，下列说法中正确的是（　　）

A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小

B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小

C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小

D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变

（3）若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是（　　）

A．振幅不变B．振幅减小

C．最大动能不变D．最大动能减小

解析　

（1）简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．

（2）振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误．

（3）振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．

答案　

（1）振幅　弹性势　守恒　

（2）ABD　（3）AC

三、简谐运动中各量的变化情况

　如图11－3－4所示的弹簧振子

图11－3－4

位置

A

A→O

O

O→B

B

位移的大小

最大

0

最大

速度的大小

0

最大

0

动能

0

最大

0

势能

最大

最小

最大

总能

不变

不变

不变

不变

不变

图11－3－5

【例4】　如图11－3－5所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是（　　）

A．在第1s内，质点速度逐渐增大

B．在第1s内，质点加速度逐渐增大

C．在第1s内，质点的回复力逐渐增大

D．在第4s内质点的动能逐渐增大

E．在第4s内质点的势能逐渐增大

F．在第4s内质点的机械能逐渐增大

解析　在第1s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒．

答案　BCD

简谐运动的回复力

图11－3－6

1．如图11－3－6所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（　　）

A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力

B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力

C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力

D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力

解析　物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，其大小和方向都随时间变化，D选项正确．

答案　D

2．沿水平方向振动的弹簧振子在做简谐运动的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．在平衡位置，它的机械能最大

B．在最大位移处，它的弹性势能最大

C．从平衡位置向最大位移处运动过程中，它的弹性势能减小

D．从最大位移处向平衡位置运动的过程中，它的机械能减小

解析　弹簧振子在振动过程中机械能守恒，故A、D错误；位移越大，弹簧的形变量越大，弹性势能越大，故B正确，C错误．

答案　B

3．（2013·全国新课标理综Ⅱ，34）如图11－3－7，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平桌面上左右振动．振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则：

A________A0（填“>”、“<”或“＝”），T________T0（填“>”、“<”或“＝”）．

图11－3－7

解析　小球通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大．向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动．小物块a与弹簧组成的系统机械能小于原来系统的机械能，所以小物块a的振幅减小，A

答案　<　<

简谐运动中各量的变化情况

4．弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中（　　）

A．振子所受的回复力逐渐增大

B．振子离开平衡位置的位移逐渐增大

C．振子的速度逐渐增大

D．振子的加速度逐渐增大

解析　在振子向着平衡位置运动的过程中，振子所受的回复力逐渐减小，振子离开平衡位置的位移逐渐减小，振子的速度逐渐增大，振子的加速度逐渐减小，选项C正确．

答案　C

题组一　简谐运动的回复力

1．对简谐运动的回复力公式F＝－kx的理解，正确的是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．k只表示弹簧的劲度系数

B．式中的负号表示回复力总是负值

C．位移x是相对平衡位置的位移

D．回复力只随位移变化，不随时间变化

解析　位移x是相对平衡位置的位移；F＝－kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反．

答案　C

2．物体做简谐运动时，下列叙述正确的是（　　）

A．平衡位置就是回复力为零的位置

B．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态

C．物体到达平衡位置，合力一定为零

D．物体到达平衡位置，回复力一定为零

解析　平衡位置是回复力等于零的位置，但物体所受合力不一定为零，A、D对．

答案　AD

3．对于弹簧振子，其回复力和位移的关系，下列图中正确的是（　　）

解析　由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图象应如选项C所示．

答案　C

4．弹簧振子的质量是2kg，当它运动到平衡位置左侧2cm时，受到的回复力是4N，当它运动到平衡位置右侧4cm时，它的加速度是（　　）

A．2m/s2，向右B．2m/s2，向左

C．4m/s2，向右D．4m/s2，向左

解析　由振动的对称性知右侧4cm处回复力为8N，由a＝－

＝－

知a＝4m/s2，方向向左．

答案　D

图11－3－8

5．如图11－3－8所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（　　）

A．0B．kxC.

kxD.

kx

解析　当物体离开平衡位置的位移为x时，弹簧弹力的大小为kx，以整体为研究对象，此时A与B具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx＝（m＋M）a，故a＝

.以A为研究对象，使A产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝

kx.故正确答案为D.

答案　D

题组二　简谐运动的能量

6．关于振幅，以下说法中正确的是（　　）

A．物体振动的振幅越大，振动越强烈

B．一个确定的振动系统，振幅越大，振动系统的能量越大

C．振幅越大，物体振动的位移越大

D．振幅越大，物体振动的加速度越大

解析　振动物体的振动剧烈程度表现为振幅的大小，对确定的一个振动装置，振幅越大，振动越剧烈，振动能量也就越大．在物体振动过程中振幅是最大位移的大小，而偏离平衡位置的位移是不断变化的，因此C项错．物体振动的加速度是不断变化的，故D项错．

答案　AB

7．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T，那么它的动能、势能变化的周期为（　　）

A．2TB．TC.

D.

解析　振动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，没方向．C正确．

答案　C

图11－3－9

8．如图11－3－9为一水平弹簧振子的振动图象，由此可知（　　）

A．在t1时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大

B．在t2时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小

C．在t3时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小

D．在t4时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大

解析　题图描述的是一个质点在不同时刻的位置，t2和t4是在平衡位置处，t1和t3是在最大位移处，头脑中应出现弹簧振子振动的实物图形．根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹性力为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大，即弹性力为最大，所以B项正确．

答案　B

图11－3－10

9．如图11－3－10所示，一弹簧振子在B、C间做简谐运动，平衡位置为O，振幅为A，已知振子的质量为M.若振子运动到C处时，将一质量为m的物体放到M的上面，m和M一起运动且无相对滑动，下列叙述正确的是（　　）

A．振幅不变B．振幅减小

C．最大动能不变D．最大动能减小

解析　振子运动到C处时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能．由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．

答案　AC

图11－3－11

10．如图11－3－11所示，轻质弹簧一端固定在墙上，一质量为m＝1kg的滑块以v＝6m/s的速度沿光滑水平面向左运动与弹簧相碰，弹簧被压缩，则此系统的最大弹性势能为________J．当滑块压缩弹簧速度减为2m/s时，此时系统的弹性势能为________J.

解析　全过程机械能守恒，由E＝Ek＋Ep＝Epmax＝Ekmax，得Epmax＝Ekmax＝

mv

＝18J，当v＝2m/s时，Ep＝E－Ek＝

mv

－

mv2＝16J.

答案　18　16

题组三　简谐运动的综合应用

11．一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内（　　）

A．振子的速度逐渐增大

B．振子的位移逐渐增大

C．振子正在向平衡位置运动

D．振子的速度方向与加速度方向一致

解析　振子由平衡位置向最大位移处运动过程中，振子的位移越来越大，加速度增大，速度方向与加速度方向相反，振子做减速运动，速度越来越小，故A、D错误，B正确；振子向平衡位置运动的过程中，位移减小，回复力变小，加速度变小，故C错误．

答案　B

12．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图11－3－12所示，则可知（　　）

图11－3－12

A．两弹簧振子完全相同

B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1

C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大

D．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝2∶1

解析　由图可知f甲∶f乙＝1∶2，因此振子不相同，A、D选项不正确；由图可知C正确；因F甲＝k甲A甲，F乙＝k乙A乙，由于k甲和k乙关系未知，因此无法判断F甲∶F乙＝2∶1.所以B不正确．

答案　C

图11－3－13

13．如图11－3－13所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知（　　）

A．在0.1s时，由于位移为零，所以振动能量为零

B．在0.2s时，振子具有最大势能

C．在0.35s时，振子具有的能量尚未达到最大值

D．在0.4s时，振子的动能最大

解析　弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，振幅不变，选项A错；在0.2's时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．

答案　B

图11－3－14

14．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图11－3－14所示．

（1）求t＝0.25×10－2s时的位移；

（2）在t＝1.5×10－2s到2×10－2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？

（3）在t＝0到8.5×10－2s时间内，质点的路程、位移各多大？

解析　

（1）由题图可知A＝2cm，T＝2×10－2s，振动方程为x＝Asin

＝－Acosωt＝－2cos

tcm＝－2cos100πtcm

当t＝0.25×10－2s时，x＝－2cos

cm＝－

cm.

（2）由图可知在1.5×10－2～2×10－2s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．

（3）从t＝0至8.5×10－2s时间内为

个周期，质点的路程为s＝17A＝34cm，质点0时刻在负的最大位移处，8.5×10－2s时刻质点在平衡位置，故位移为2cm.

答案　

（1）－

cm　

（2）变大　变大　变小　变小　变大　（3）34cm　2cm