高中数学组合综合测试题有答案.docx

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高中数学组合综合测试题有答案

高中数学组合综合测试题（有答案）

　　选修2-31.2.2.2组合2

一、选择题

1．某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，则不同的任课方法种数为（）

A．C26C24C22B．A26A24A22

C．C26C24C22C33D.A26C24C22A33

[答案]　A

2．从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排法共有（）

A．120种B．480种

C．720种D．840种

[答案]　B

[解析]　先选后排，从除qu外的6个字母中任选3个字母有C36种排法，再将qu看成一个整体（相当于一个元素）与选出的3个字母进行全排列有A44种排法，由分步乘法计数原理得不同排法共有C36A44＝480（种）．

3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有（）

A．24种B．18种

C．12种D．96种

[答案]　B

[解析]　先选后排C23A33＝18，故选B.

4．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有（）

A．40个B．120个

C．360个D．720个

[答案]　A

[解析]　先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．

5．（2019湖南理，7）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）

A．10B．11

C．12D．15

[答案]　B

[解析]　与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：

第一类：

与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6（个）

第二类：

与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4（个）

第三类：

与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1（个）

与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11（个）

6．北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）

A．C414C412C48B．C1214C412C48

C.C1214C412C48A33D．C1214C412C48A33

[答案]　B

[解析]　解法1：

由题意知不同的排班种数为：

C414C410C46＝141312114！

109874！

652！

＝C1214C412C48.

故选B.

解法2：

也可先选出12人再排班为：

C1214C412C48C44，即选B.

7．（2009湖南理5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）

A．85B．56

C．49D．28

[答案]　C

[解析]　考查有限制条件的组合问题．

（1）从甲、乙两人中选1人，有2种选法，从除甲、乙、丙外的7人中选2人，有C27种选法，由分步乘法计数原理知，共有2C27＝42种．

（2）甲、乙两人全选，再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法．

由分类计数原理知共有不同选法42＋7＝49种．

8．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）

A．6个B．12个

C．18个D．30个

[答案]　B

[解析]　C46－3＝12个，故选B.

9．（2009辽宁理，5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）

A．70种B．80种

C．100种D．140种

[答案]　A

[解析]　考查排列组合有关知识．

解：

可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，

共有C25C14＋C15C24＝70，选A.

10．设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）

A．50种B．49种

C．48种D．47种

[答案]　B

[解析]　主要考查集合、排列、组合的基础知识．考查分类讨论的思想方法．

因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素从1、2、3、4中取，B中元素从2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一个元素．

1　当A＝{1}时，选B的方案共有24－1＝15种，

当A＝{2}时，选B的方案共有23－1＝7种，

当A＝{3}时，选B的方案共有22－1＝3种，

当A＝{4}时，选B的方案共有21－1＝1种．

故A是单元素集时，B有15＋7＋3＋1＝26种．

2　A为二元素集时，

A中最大元素是2，有1种，选B的方案有23－1＝7种．

A中最大元素是3，有C12种，选B的方案有22－1＝3种．故共有23＝6种．

A中最大元素是4，有C13种．选B的方案有21－1＝1种，故共有31＝3种．

故A中有两个元素时共有7＋6＋3＝16种．

3　A为三元素集时，

A中最大元素是3，有1种，选B的方案有22－1＝3种．

A中最大元素是4，有C23＝3种，选B的方案有1种，

共有31＝3种．

A为三元素时共有3＋3＝6种．

4　A为四元素时，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一种．

共有26＋16＋6＋1＝49种．

二、填空题

11．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法．

[答案]　10

[解析]　每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C25＝10种．

12．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有________种．

[答案]　60

[解析]　对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可．

不同排法有A35＝60种．

13．（09海南宁夏理15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种（用数字作答）．

[答案]　140

[解析]　本题主要考查排列组合知识．

由题意知，若每天安排3人，则不同的安排方案有

C37C34＝140种．

14．2019年上海世博会期间，将5名志愿者分配到3个不同国家的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是________种．

[答案]　150

[解析]　先分组共有C35＋C25C232种，然后进行排列，有A33种，所以共有（C35＋C25C232）A33＝150种方案．

三、解答题

15．解方程Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.

[解析]　因为Cx2＋3x＋216＝C5x＋516，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或（x2＋3x＋2）＋（5x＋5）＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.经检验x＝3和x＝－9不符合题意，舍去，故原方程的解为x1＝－1，x2＝1.

16．在MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点（含O点）为顶点，可以得到多少个三角形？

[解析]　解法1：

（直接法）分几种情况考虑：

O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有C15C14个，O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上有C25C14个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON上有C15C24个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C15C14＋C25C14＋C15C24＝54＋104＋56＝90（个）．

解法2：

（间接法）先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C310，但其中OM上的6个点（含O点）中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点（含O点）中任取3点也不能得到三角形，所以共可以得到C310－C36－C35个，即C310－C36－C35＝1098123－654123－5412＝120－20－10＝90（个）．

解法3：

也可以这样考虑，把O点看成是OM边上的点，先从OM上的6个点（含O点）中取2点，ON上的4点（不含O点）中取一点，可得C26C14个三角形，再从OM上的5点（不含O点）中取一点，从ON上的4点（不含O点）中取两点，可得C15C24个三角形，所以共有C26C14＋C15C24＝154＋56＝90（个）．

17．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．

（1）小组赛：

经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；

（2）半决赛：

甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜者；

（3）决赛：

两个胜队参加决赛一场，决出胜负．

问全程赛程共需比赛多少场？

[解析]　

（1）小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C26＝30（场）．

（2）半决赛中甲组第一名与乙组第二名（或乙组第一名与甲组第二名）主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A22＝4（场）．

（3）决赛只需比赛1场，即可决出胜负．

所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35（场）．

18．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？

（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；

（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；

（3）甲、乙、丙各得3本．

[分析]　由题目可获取以下主要信息：

①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；

②题目中的3个问题的条件不同．

解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答．

[解析]　

（1）分三步完成：

第一步：

从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；

第二步：

从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；

第三步：

把剩下的书给丙有C22种方法，

共有不同的分法有C49C35C22＝1260（种）．

（2）分两步完成：

第一步：

将4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；

第二步：

将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法，

共有C49C35C22A33＝7560（种）．

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?

吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:

“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!

”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:

提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

（3）用与

（1）相同的方法求解，

得C39C36C33＝1680（种）．

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。